Решение сравнений первой степени

Сравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид:

f(x) 0 (mod m); f(х) = ах + а_n. (1)

Решить сравнение – значит найти все значения х, ему удовлетворяющие. Два сравнения, которым удовлетворяют одни и те же значения х, называются равносильными.

Если сравнению (1) удовлетворяет какое-либо x = x_1, то (согласно 49) тому же сравнению будут удовлетворять и все числа, сравнимые с x₁, по модулю m: x x₁(mod m). Весь этот класс чисел считается за одно решение. При таком соглашении можно сделать следующий вывод.

66.Сравнение (1) будет иметь столько решений, сколько вычетов полной системы ему удовлетворяет.

Пример. Сравнению

6x – 4 0 (mod 8)

среди чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 полной системы вычетов по модулю 8 удовлетворяют два числа: х = 2 и х = 6. Поэтому указанное сравнение имеет два решения:

x 2 (mod 8), х 6 (mod 8).

Сравнение первой степени перенесением свободного члена (с обратным знаком) в правую часть можно привести к виду

ax b (mod m). (2)

Рассмотрим сравнение, удовлетворяющее условию (а, m) = 1.

Согласно 66 наше сравнение имеет столько решений, сколько вычетов полной системы ему удовлетворяет. Но когда x пробегает полную систему вычетов по модулю т, то ах пробегает полную систему вычетов (из 60). Следовательно, при одном и только одном значении х, взятом из полной системы, ах будет сравнимо с b. Итак,

67. При (а, m) = 1 сравнение ax b (mod m) имеет одно решение.

Пусть теперь (a, m) = d > 1. Тогда, чтобы сравнение (2) имело решения, необходимо (из 55), чтобы b делилось на d, иначе сравнение (2) невозможно ни при каком целом х. Предполагая, поэтому b кратным d, положим a = a₁d, b = b₁d, m = m₁d. Тогда сравнение (2) будет равносильно такому (по сокращении на d): a₁x b₁ (mod m), в котором уже (а₁, m₁) = 1, и потому оно будет иметь одно решение по модулю m₁. Пусть х₁– наименьший неотрицательный вычет этого решения по модулю m_1,тогда все числа х, образующие это решение, найдутся в виде

x x₁(mod m₁). (3)

По модулю же mчисла (3) образуют не одно решение, а больше, именно столько решений, сколько чисел (3) найдется в ряде 0, 1, 2, ..., m – 1 наименьших неотрицательных вычетов по модулю m. Но сюда попадут следующие числа (3):

x₁, x₁ + m₁, x₁ + 2m₁, ..., x₁ + (d – 1) m₁,

т.е. всего d чисел (3); следовательно, сравнение (2) имеет d решений.

Получаем теорему:

68. Пусть (a, m) = d. Сравнение ax b (mod m) невозможно, если b не делится на d. При b, кратном d, сравнение имеет d решений..

69.Способ решения сравнения первой степени, основанный на теории непрерывных дробей:

Разлагая в непрерывную дробь отношение m: а,

и рассматривая две последние подходящие дроби:

согласно свойствам непрерывных дробей (согласно 30 ) имеем

Итак, сравнение имеет решение

для разыскания, которого достаточно вычислить P_n_{– 1} согласно способу, указанному в 30.

Пример. Решим сравнение

111x = 75 (mod 321). (4)

Здесь (111, 321) = 3, причем 75 кратно 3. Поэтому сравнение имеет три решения.

Деля обе части сравнения и модуль на 3, получим сравнение

37x = 25 (mod 107), (5)

которое нам следует сначала решить. Имеем

q
P₃

Значит, в данном случае n = 4, P_n_–₁ = 26, b = 25, и мы имеем решение сравнения (5) в виде

x –26 ∙ 25 99 (mod 107).

Отсюда решения сравнения (4) представляются так:

х 99; 99 + 107; 99 + 2 ∙ 107 (mod 321),

т.е.

х º 99; 206; 313 (mod 321).

Вычисление обратного элемента по заданному модулю

70.Если целые числа a и n взаимно просты, то существует число a′ , удовлетворяющее сравнению a ∙ a′ ≡ 1(mod n). Число a′ называется мультипликативным обратным к a по модулю n и для него используется обозначение a^-¹(mod n).

Вычисление обратных величин по некоторому модулю может быть выполнено решением сравнения первой степени с одним неизвестным, в котором за x принимается число a′ .

Чтобы найти решение сравнения

a ∙ x ≡ 1(mod m),

где (a, m)= 1,

можно воспользоваться алгоритмом Евклида (69) или теоремой Ферма-Эйлера, которая утверждает, что если (a, m) = 1, то

a^{φ (}^m⁾ ≡ 1(mod m).

Поэтому

x ≡ a^{φ (}^m^)–1 (mod m).

Группы и их свойства

Группы – один из таксономических классов, используемых при классификации математических структур с общими характерными свойствами. Группы имеют две составляющие: множество (G) и операции ( ), определенные на этом множестве.

Понятия множества, элемента и принадлежности являются базисными неопределяемыми понятиями современной математики. Любое множество определяется элементами, входящими в него (которые, в свою очередь, тоже могут быть множествами). Таким образом, мы говорим, что множество определено или задано, если для любого элемента мы можем сказать, принадлежит ли он этому множеству или нет.

Для двух множеств A, B записи B A, B A, B ∩ A, B A, B \ A, A × B означают соответственно, что B является подмножеством множества A (т.е. любой элемент из B содержится также и в A, например, множество натуральных чисел содержится в множестве действительных чисел; кроме того, всегда A A), B является собственным подмножеством множества A (т.е. B A и B ≠ A), пересечение множеств B и A (т.е. все такие элементы, которые лежат одновременно и в A, и в B, например пересечение целых чисел и положительных действительных чисел есть множество натуральных чисел), объединение множеств B и A (т.е. множество, состоящее из элементов, которые лежат либо в A, либо в B), разность множеств B и A (т.е. множество элементов, которые лежат в B, но не лежат в A), декартово произведение множеств A и B (т.е. множество пар вида (a, b), где a A, b B). Через |A| всегда обозначается мощность множества A, т.е. количество элементов в множестве A.

Операция – это правило, согласно которому любым двум элементам множества G (a и b) ставится в соответствие третий элемент из G: а b.

Множество элементов G с операцией называется группой, если удовлетворяются следующие условия:

1. Ассоциативность: для любых элементов a, b, c G выполняется равенство a (b c) = (a b) c.

2. Единичный элемент: существует такой элемент е G, что при любом a G выполняются равенства a e = e a = a.

3. Обратный элемент: для каждого a G найдется элемент a′ G, удовлетворяющий соотношению a a′ = a′ a = e.

Элемент e из G называется нейтральным элементом группы, а элемент a′ – обратным элементом к a. Обратный элемент обозначается a′ = a^-¹.

Группы, в которых операция коммутативна, то есть для любой пары a, b G выполняется равенство a b = b a, называются коммутативными группами, или абелевыми группами.

Число элементов в группе называется ее порядком.

С точки зрения решения уравнений основное свойство группы в том, что в ней однозначно разрешены уравнения вида:

a x = b

y a = b,

при любых a, b G.

Примеры:

1. Целые, рациональные, действительные, комплексные числа по сложению.

2. Ненулевые рациональные, действительные, комплексные числа по умножению.

Все эти группы являются абелевыми.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 789 10 Следующая ⇒