Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Сборник задач по микроэкономике.



Общая экономическая теория

Сборник задач по микроэкономике.

Учебное пособие для студентов всех форм обучения факультета экономики и управления

Кафедра ОЭТ

Составитель Баталов С.М.

Екатеринбург

Содержание.

Раздел 1. Теория спроса и предложения.

Раздел 2. Теория потребительского поведения.

Раздел 3. Теория производства.

Раздел 4. Теория конкуренции и монополии.

Раздел 5. Рынки факторов производства.

Теория капитала и процента.

Рынок земли

Рынок труда

Общее равновесие

Ответы и решения задач.

Сборник содержит более 100 неповторяющихся задач и решений по всем разделам стандартного курса микроэкономики, читаемого на факультете экономики и управления УГТУ-УПИ для всех экономических специальностей. Является учебным пособием для начального и углубленного изучения курса и носит несколько математизированный характер.

Ттр


_

Доп. Задача 2.17. Аналогично задаче на построение функции спроса по кривым потребительского выбора, построить функцию предложения труда в координатах: ставка з./пл. - количество времени труда. Соотнести оси Ттр.

 

Раздел 5. Рынки факторов производства.

 

Теория капитала и процента.

 

Задача 5.1. Гражданин вложил в банк 1000 рублей на три года. Определить сумму вклада к концу срока при начислении 10 % годовых: а) по правилу простого процента, б) по правилу сложного процента. Записать формулу определения суммы вклада для обоих случаев.

 

Задача 5.2. Рыночная ставка аренды земли за сотку составляет 200 р./год. Средний банковский процент по вкладам - 5% в год. Найти рыночную цену земли при отсутствии рисков и конъюнктурных колебаний.

 

Задача 5.3. Предприятие инвестировало 5000 рублей в приобретение технологии, в результате чего чистый прирост дохода от выпуска продукции (за вычетом амортизации) оказался равным 250 рублей в год.

а) Определить годовую норму прибыли на инвестированный капитал.

б) если теоретически срок применяемости (морального износа) технологии составляет 5 лет, то какова общая норма прибыли на инвестированный капитал.

в) Каков при этом должен быть совокупный годовой прирост дохода (без текущих издержек), что бы окупить капиталовложения при сохранении общей нормы прибыли. Какова будет норма амортизации (к вложенному капиталу).

 

Задача 5.4. Облигация выпущена на 3 года. Ежегодный доход -150 р., конечная выплата - 2000 р., рыночная ставка - 10 % годовых. Найти текущую стоимость облигации.

Задача 5.5. У вас есть возможность инвестировать средства в проект, который будет приносить доход на протяжении трех лет. Согласно расчетам, по проекту А в первый год Вы получите 200 руб. во второй -250, и третий - 220 руб. По проекту В денежные потоки 300, 100, 270 руб. соответственно. Какой из проектов более выгоден, если рыночная ставка процента 10 % годовых.

 

Задача 5.6. Вы откладывали ежегодно по 100 т.р. в начале каждого года в банк в течение трех лет. В третьем году вы хотите купить дом за 399 т.р. при условии оплаты в течение трех лет в конце каждого года по трети указанной стоимости. Хватит ли вам этих денег. Банковский процент r = 10%.

 

Задача 5.7. Купец продает товар ценой 10 т.р. Покупатель хотел бы купить в рассрочку тремя взносами через год оплатой равными частями, 1-й взнос сразу. Какой размер ежегодного взноса установит купец? Банковский процент r = 10%.

 

Задача 5.8. Инвестор имеет два варианта вложения денег: купить землю или приобрести облигации на одну и ту же сумму. Рента = 4.5 т.р./год, облигация погашается в течение трех лет по 20 т.р. в конце каждого года. Какой вариант вложения денег выгоднее, обосновать. Средний банковский процент R= 10 %.

 

Задача 5.9. Вложения в производство составили в начале 1 года - 100 т.р., второго - 50 т.р. третьего - 50 т.р., доход за исключением текущих издержек составил: в конце первого года -10 т.р., второго - 15 т.р., третьего и последующих - по 20 т.р. На сколько % возрос капитал вкладчика благодаря этому проекту, если средняя ставка банковского процента по вкладам - 5 % в год.

 

Задача 5.10. Спекулянт приобрел по рыночной цене 1000 руб. вексель номиналом 2000 рублей и сроком погашения через два года. По какой цене он сможет, при необходимости, продать этот вексель через год?

 

Задача 5.11. На счет в банке положена сумма 2000 рублей сроком на 1 год, ставка по вкладу - 20 % в год. Ожидаемый темп инфляции - 15 % за год.

Определить: - реальную стоимость сбережений по истечении года

- текущую дисконтированную стоимость будущего дохода;

- вероятную ставку банковского процента при отсутствии инфляционных ожиданий со стороны банка.

 

Задача 5.12. К предыдущей задаче. Если бы реальная ставка % была бы отрицательной, то какова была бы ставка дисконтирования. Можно ли тогда учесть % по другим активам, на пример по недвижимости. Доказать это. Что еще может служить ориентиром при дисконтировании?

Зада

ча 5.13. Обещанный доход через 10 лет составляет 10000 р. Определить текущую стоимость будущего дохода, если:

а) вероятность исчезновения источника будущего дохода за 10 лет составляет Рисч/10 = 0.4;

б) ежегодный риск потери источника будущего дохода Рисч/год = 0.05. При этом средняя ставка банковского процента - 10 % в год.

 

 

­ Задача 5.14. Дисконтная облигация выпущена на 3 года. Ежегодный доход -500 р., рыночная ставка - 10 % годовых. а) Найти текущую стоимость облигации. Б) то же при наличии ежегодного риска разорения эмитента облигации 5 %.

Задача 5.15. Правительство города установило городской бюджет в размере 400 млн. руб. на год, учитывая его расход равными долями в конце каждого квартала. Неучтенная инфляция составила 5 % в квартал. Каково реальное исполнение бюджета (т.е. реальные доходы получателей бюджетных средств).

Задача 5.16. Дано: ежегодная амортизация стоимости оборудования - 1000, зарплата управляющих - 100, затраты на сырье и материалы - 200, зарплата основных рабочих - 500. Определить ежегодные затраты постоянного и переменного капитала ( c и v ), основных и оборотных средств, постоянные и переменные издержки ( FC и VC ).

 

Задача 5.17. Ставка % по вкладам населения 12, 5 годовых. Банк использует их вклады для предоставления в пользование кредитных карточек населению за 1, 25 % месячных с помесячным их обновлением. Деньги расходуются в среднем с середины месяца. Какова %-я маржа (прибавок) банка.

Товарные и фондовые биржи.

Задача 5.18. Продавец и покупатель заключили опционный контракт на сумму 100 р. с премией в 10 р. Для двух вариантов: опцион на покупку товара (актива) и опцион на продажу. Рассчитать выигрыш/ проигрыш покупателя и продавца для пяти вариантов цен, сложившихся фактически на рынке на момент поставки товара (передачи актива). Прим. В опционе активная сторона имеет право осуществить сделку, или отказаться от нее, а пассивная сторона обязана ее осуществить по требованию активной. За это активная сторона платит пассивной премию, которая не возвращается при разрыве контракта.

 

Реальная рыночная цена  
Опцион на покупку Продавец          
покупатель          
Опцион на продажу Продавец          
покупатель          

Рынок земли

Задача 5.19. Дана функция спроса на продукцию, выращиваемую на данных земельных участках Q ( P ) и себестоимость производства продукции на каждом участке земли. Считается, что себестоимость производства продукции для каждого участка постоянна, объем производства на всех участках одинаков и равен 1. Найти:

а) Предельный участок земли, количество сдаваемой в аренду или используемой земли, количество производимой продукции и цену продукции,

б) Если количество вводимой в сельхоз. производство земли ограничено 4-мя лучшими участками, то определить цену продукции, общую, абсолютную и дифференциальную ренту для каждого используемого участка.

 

Цена продукции 100 90 80 70 60 50

Объем продаж 2 3 4 5 6 7

 

Номер участка 1 2 3 4 5 6 7 8

С/с. продукции 70 60 65 60 55 75 80 100

 

Задача 5.20. Дана функция спроса на продукцию, выращиваемую на данных земельных участках Q (P), производительность каждого земельного участка, объем производства и себестоимость единицы продукции на них. Найти предельный участок земли, количество используемой земли, общую, абсолютную и дифференциальную ренту для каждого участка. Участок используется целиком.

 

Цена продукции, Р, р./кг. 50 40 35 30 25 20

Объем продаж, Q, кг. 1000 2000 3500 5000 7000 10000

 

Номер участка 1 2 3 4 5

Объем производства, V, кг 1200 800 1500 2000 1500

С/с. продукции, р./кг 30 27 36 40 32

Производительность, q, кг/м2 1.2 1.6 1.0 0.8 1.0

 

Рынок труда

 

 

Задача 5.21. Дано: предельный продукт труда МРL=2, предельный продукт капитала МРк=5, цена труда РL=1, цена капитала Рк=20.

а) выгоднее вкладывать средства в увеличение применения труда или капитала?

б) если предельный доход от увеличения производства MRq=3, то стоит увеличить или уменьшить применение труда, капитала?

 

 

Задача 5.22. Дано: МС - предельные издержки найма труда, W - цена труда, МRL - предельный доход труда для производителя. По приведенному рисунку определить оптимальный объем найма труда:

- для фирмы, являющейся совершенным конкурентом на рынке товара и прайс-тейкером на рынке труда

- для фирмы, являющейся прайс-тейкером на рынке товара и монопсонистом на рынке труда

- для фирмы, являющейся монополистом на рынке товаров и совершенным конкурентом на рынке труда

- для фирмы, являющейся монополистом на рынке товаров и монопсонистом на рынке труда

 

 


МС

 

       
   
 


W

MRL1

MRL2

 
 


0 1 2 3 4 Колич. труда

 

Задача5.23. Заполнить пустые места таблицы. Дать, где необходимо, общепринятые названия указанных величин.

 

Наименование величины Формула расчета Значение величины
Количество труда L    
Количество продукции Q    
Цена продукции P    
Цена труда W    
Средние затраты количества труда            
Средние издержки (стоимости) труда            
Предельные издержки труда            
Совокупные издержки труда            
Предельные издержки предоставления труда (по оценке самого работника)            
Средние издержки предоставления труда            
Общий доход производства            
Средний продукт труда            
Средний доход на труд            
Предельный продукт труда            
Предельный доход производства            
Предельный доход труда            
Прибыль производителя            
Рента работника            

 

 

Задача 5.24. Даны кривые спроса и предложения труда ( DL и SL ). Pпрод. = Const. Показать:

 

- предельный доход труда для производителя MRLпр = DL

- предельный продукт труда MPL = DL(L)/P,

- совокупный продукт TPL = S0AEF / P

- средний продукт на работника АPL = (S0AEF / P) / L

- совокупный доход от труда, общий доход производителя TRL = S0ADF

- средний доход предпринимателя на одного работника ARL = S0ADF / L

- совокупные издержки на труд для предпринимателя (фонд зарплаты) TCL = å з/пл = SOBDF

- средние издержки на труд для предпринимателя ACL = SOBDF / L = = OB

- предельные издержки на труд для предпринимателя MCL = dTCL/dL = (SL(L)*L)’L

- предельные издержки труда для работников MCLL = SL(L) = OB

- прибыль производителя Пр = TRL – å з/пл = ABD,

- издержки труда для работников ТСLL = OCDF,

- ренту владельцев рабочей силы (работников) Rраб = å з/пл – ТСLL = OBDF – OCDF = CBD

 

 
 


W (з/пл)

 
 


А SL

D

В

 

DL

С E

DL(L) / P

0 F L (Колич. труда )

 

Подсказки: ABD, DL(L)/P, CBD, (S0AEF / P) / L, SOBDF, S0ADF / L, (SL(L)*L)’L, SOBDF / L, S0AEF / P, SL(L), S0ADF, DL, OCDF

 

 

Общее равновесие

 

Задача 5.25. Рассмотрим рынок земли под строительство, рынок строительных работ, рынок стройматериалов, рынок вторичного жилья. Будем считать, что земля под вторичным жильем неотделима от рынка жилья, и не связана с первым рынком. Заданы краткострочные кривые спроса и предложения на всех рынках.

Произошло сокращение предложения земли под строительство.

а) Показать на графиках, как на это прореагируют другие рынки в краткострочном периоде.

б) показать на графике реакцию исходного рынка в следующем периоде на изменения, произошедшие на одном из сопряженных рынков в результате первоначального сокращения предложения земли (обратная связь)

в) показать процесс дальнейшего приспособления рынков в долгосрочном периоде (второе приближение, третье приближение, окончательное общее равновесие)

 

Задача 5.26. Вводное замечание. Цена за товар ( приобретаемую ценность ) необязятельно есть денежная сумма, это может быть потеря другой ценности ( на пример - времени ) при приобретении или пользовании товаром, услугой. Пусть приобретаемая ценность - проезд по городу на автомашине. Чем больше количество автомобилей, тем, при неизменной пропускной способности, больше цена проезда (потери времени и сил). Это ограничивает спрос на автомобили. Если увеличить пропускную способность ради уменьшения цены проезда, то это приведет к росту числа автомобилей и несущественному уменьшению цены проезда.

 

Дано: пропускная способность ( предложение проезда ) Пс = 1000

Спрос на проезд Сп зависит от цены проезда Цп и количества автомобилей А: Сп = 2000 – 10*Цп + А

Предложение автомобилей зависит от цены авто.: Па = 10*Ца

Спрос на автомобили Са = 5000 – 20*Ца – 10*Цп.

Определить: а) количество автомобилей в городе, количество проездов, цену автомобилей, цену проезда в состоянии общего равновесия данных рынков.

б) пусть в результате дорожно-строительных мероприятий пропускная способность увеличилась в 1, 5 раза. Какова новая цена проезда, если взаимосвязь между рынками не успела проявиться

в) каково новое общее равновесие (цены, количества) после окончания всех переходных процессов с учетом взаимосвязей

г) решите пункт в) при условии абсолютной эластичности спроса на авто по цене проезда

Са = 5000 – 20*Ца – 10*Цп + 1000000*(Цп. первонач. – Цп )

 

 

Ответы и решения задач.

2.13.

       
   
 
 


х2 а) т.1 à т.2

б) т.1 à т.3

в) Эфф. дох. т.1 à т.4

Эфф. зам. т.4 à т.3

 
 


2

замещения 3 1

дохода 4 U4

U3

U1. U2.

х1

Эффект

замещ. дох.

или схематично:

Эффект дохода – на сколько условно изменится потребление товаров 1 и 2

при изменении дохода, что бы привести х2

к такому же изменению полезности. å зам

Эффект замещения - изменение потребления, дох

соответствующее изменению пропорций цен

при неизменной полезности ( по Самуэльсону) зам дох

По Фишеру: эффект замещения и дохода связан

не с постоянством полезности, а с постоянством х1

суммарных расходов å

 

2.14. а) Рост цены хотя бы на один товар можно рассматривать как уменьшение дохода. Эффект дохода от цены можно рассмотреть по отдельному эффекту от уменьшения дохода. Для товара высшей группы объем потребления уменьшится. Нормальный товар (не престижа или др.) с ростом цены покупают меньше. При этом спрос частично переходит на товар с неизменной ценой. Ответ представлен в задаче 2.11.

 

 

б) х2 в) х2

å зам зам

å дох

дох дох дох

       
   


зам зам

х1 х1

å å

 

 

г) х2

 
 


å

зам дох

дох

зам

х1

å

 

 

д) С ростом цены товар становится менее доступным, потому эффект дохода отрицательный, но из-за увеличения престижности кривые равной полезности смещаются так, что потребление товара увеличивается. Так что суммарный эффект может оказаться положительным. Разумно графически решается только по правилу Фишера.

 

       
   
 


д) х2 U2 и Uпром. - измененный

набор кривых безразличия.

после изменения цены.

 
 


х2

 

U1

зам.

å

дох.

Uпром.

U2

зам х1

å дох

 

2.15.

доход,

I

 
 


р1

р4

р3 р2

0

х1

цена, р

 

р4

р3

р2

р1

0 x1’ x1” x1’” x1”” х1

 

 

2.16.

w3

Доход + U5 w2

U4

3 w1

U3

зам 2 U2

å U1

дох. 1

 
 

 


0 Ттр

Т1 Т2

 

_ дох å

зам

 

1) U2 = 0 доход компенсирует труд, U2 – 5 > 0, U1 < 0 бесплатный труд несет отрицательную полезность.

2) Т1

3) Т1 à Т2

4) Эффект дохода уменьшает потребность в труде, эффект замещения повышает его результативность

5) А) на пример, U3 б) U1

6) На пример, точка 2. Независимый доход сдвигает бюджетную линию параллельно вверх.

7) Сдвиг линий полезности относится к рассмотрению дохода только от данного труда, линий дохода - суммарного дохода.

 

 
 


2.17.

з/пл, w

       
 
   
 


w3

w2

w1

 
 


Т3 Т1 Т2 Труд, Ч

 

3.9.

Q, ед. прод. 0 1 2 3 4 5 6

ТС, д.е. 10 15 18 22 28 36 46

ATC oo 15 9 7, 3 7 7, 25 7, 7

MC 5 3 4 6 8 10

VC 5 8 12 18 26 36

AVC 5 4 3 4, 5 5, 25 6

TR 0 10 20 30 40 50 60

Пр - 10 - 5 2 8 12 14 14

 

При цене 10 д.е./ед.пр. оптимальный объем производства Qопт = 5, 5 ед.пр.

Максимальный долгосрочный налог Нмах = Р – АТСmin = 10 – 7 = 3 д.е./ед.пр.

Максимальный краткосрочный налог Нмах = Р – АVСmin = 10 – 3 = 7 д.е./ед.пр.

Прибыль = (Р – АТС)*Q = Р*Q – ТС = 55 – 41 = 14

После введения переменного налога

Q, ед. прод. 0 1 2 3 4 5 6

ТС 10 17 22 28 36 46 58

МС 7 12 18 26 36 48

Qопт = 1, 5 Пр = 15 – 13, 5 = 1, 5

После введения переменного налога

Q, ед. прод. 0 1 2 3 4 5 6

ТС 12 17 20 24 30 38 48

МС 5 3 4 6 8 10

Qопт = 5, 5 Пр = 55 – 43 = 12

После введения налога на прибыль

Q, ед. прод. 0 1 2 3 4 5 6

Пр - 10 - 5 1 4 6 7 7

 

Выводы: переменный налог стимулирует снижение объема производства и понижает прибыль; постоянный налог, а так же налог на прибыль не влияет на оптимальный объем производства, но уменьшает привлекательность бизнеса и его устойчивость.

 

3.10.

а) FC = 125 AFC = 125/q

АТС = 0, 02 *(q – 20) 2 + 5 + 125/q в точке минимума АТС’= 0

АТС’= 0, 04 q – 0, 8 – 125/q 2 = 0 или q 2 (q – 20) = 125

Qmin = 25; АTСmin = 10, 5

АVC = 0, 02*(q – 20 ) 2 + 5 в точке минимума АVС’= 0

Qmin = 20; АVСmin = 5

MC = VC’ = 0, 06*q 2 – 1, 6*q +13

Qmin = 10, 3; MСmin = 2, 9

В точке оптимального объема производства МС = Р

MC = 0, 06*q 2 – 1, 6*q +13 = 20 Qопт = 30, 5 Пр = 8, 7*30, 5 = 265, 2

 

 
 


Сс МС

20

 

 

Пр/q

 
 


АТС

10

 

АVC

 
 

 

 


0 10 20 25 30 Q

 

б) В долгосрочном периоде в условиях совершенной конкуренции фирмы входят в отрасль до тех пор, пока не снизят уровень прибыли до нормального, то есть пока цена не установится на уровне средних минимальных экономических издержек.

АТС min = 10, 5 = Ротрасли. Тогда Q отр = 1500 – 50*10, 5 = 975

При объеме производства каждой фирмы в точке минимума издержек

Qi min = 25 N фирм = 975/25 = 39

 

3.11. В точке безубыточности TR = TC = VC + FC; то есть при q = 20

20 * 36 = 220 + FC FC = 500 тогда можно построить все функции

 

Q 10 20 30 40 50

VC 100 220 360 680 1100

ТС 600 720 860 1180 1600

ТR 360 720 1080 1440 1800

Пр - 240 0 220 260 200

АС 60 36 28 29 32

МС 12 12 32 42

МС - соответствует функции предложения.

 

 

3.12. d F x1 x1

Ex1 = -------- * ----- = 1/3 * x1– 2/3 * x2 2/3 * ------------------ = 1/3

d x1 F x1 1/ 3 * x2 2/3

 

Ex2 = 2/3 Eå = Ex1 + Ex2 = 1 Эффект масштаба постоянный.

 

3.13. В точке равновесия d x2 Px1

-------- = -- ---------

d x1 Px2

 

x1 1/4 = Fi/ x2 1/4 x1 = Fi/ x2 x1’ = - Fi/ x2 2 = - 4/1 = - 4

__ __

x2 = 2 / Ö Fi так же находим x1 = 1/ 2Ö Fi отсюда

 

x2 / x1 = 4

Эффект масштаба производства определяется по величине

факторной эластичности.

 

d F xi

Е = ------ * ------; В формуле типа F = x1a * x2 b (формула Кобба-

d xi F Дугласа)

факторная эластичность есть соответствующие

показатели степени

Ex1, 2 = ¼ Eå = å Ei = ½

 

Эффект масштаба производства отрицателен

 

3.14. Минимальная цена в краткосрочном периоде равна минимуму средних переменных издержек, в долгосрочном периоде - минимуму средних общих издержек.

ТС2 – ТС2 80*22 – 60*26

ТСi = АТСi * Qi AVC = ----------------- = --------------------- = 10

Q2 – Q1 80 – 60

Pmin кратк. = 10 Pmin долг. = 22

 

 

3.15. FC (120 – 80) т.р./мес.

Qбезубыт = --------------; AVC = ---------------------------- = 200 р./шт.

P – AVC (400 – 200) шт./мес.

FC = ТСi – VCi = TC1 – AVC * Q1 =

= 120 т.р./мес. – 200р./шт.* 400 шт. = 40 т.р./мес.

 

40т.р./мес.

Qбезубыт. = ----------------------- = 800 шт.

(250 – 200) р./шт.

 

3.16. Альтернативные издержки - это издержки упущенных возможностей. Студент упускает: а) не платить 10 т.р./г. – плата за обучение

б) 15 т.р./г. - могут быть получаемы на другой работе во время, занятое обучением.

Таким образом, действительные издержки здесь = сумме альтернативных издержек = экономическим издержкам = 10 + 15 = 25 т.р./г.

Неявные издержки = Полные (экономические) издержки – явные издержки = = 25 – 10 = 15 т.р./г.

Дополнительная прибыль от В/о = (25 – 15) = 10 т.р./г.

25 т.р./г. * 5 лет

Срок окупаемости В/о Т ок = ------------------------- = 12, 5 лет

10 т.р./год

 

3.17.

Бухгалтерские издержки 1 млн.р. 2 млн.р.

Альтернативные издержки

от иной продукции 1, 5 2, 2

от вложения в облигации 1, 3 2, 6

от сдачи земли в аренду 0, 1 0, 1

Экономические издержки есть сумма одновременно возможных доходов от наилучшего альтернативного использования ресурсов

1, 5 > (1, 3 + 0, 1) => 1, 5 2, 6 + 0, 1 = 2, 7

Неявные издержки 1, 5 – 1, 0 = 0, 5 2, 7 – 2, 0 = 0, 7

Бухгалтерская прибыль 2, 0 – 1, 0 = 1, 0 2, 5 – 2, 0 = 0, 5

Экономическая прибыль 2, 0 – 1, 5 = 0, 5 2, 5 – 2, 7 = - 0, 2

Нормальная прибыль здесь = неявные издержки

Вывод: а) предприятие рентабельно и экономически целесообразно

б) предприятие рентабельно, но лучше поискать иные способы вложения средств

 

3.18.

а) 50 р. г) Пр. рын. = цена - изд. = 100 – 80 = 20 р.

б) 80 р. д) Пр. усл. = инд.цена (денежное выражение полезности,

в) 100 р. действительный доход) - изд. = 50 – 80 = - 30

 

 

3.19. Еå = ½ + ¼ = ¾ < 1 отрицательная отдача от масштаба

 

3.20. R ½ = MRTS x1/ x2 = MP2 / MP1 = (dF/ dx2): (dF/dx1) = 3: 2 = 1, 5

 

 

3.21. 20.

 

 

3.22. цена предельный предельный

продукции продукт доход

d F xi * P d F xi d F

Exi = ------*----- ---- = ----- * P * ------- = ----- = MPi MPi*P = MRi =

d xi F P dxi F*Pi d xi

 

 

     


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-04-11; Просмотров: 1381; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.402 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь