Построить зависимость числа итераций от заданной точности – n(E).

Решить нелинейное уравнение с помощью математических пакетов.

6.2.3. Варианты задания

Таблица 6.2-1

№	Уравнение	t	p	№	Уравнение	t	p
	x - cos(x / 3) = 0				2x –x lgx – 7 = 0
	x + ln(4x) – 1 = 0				x+ cosx = 1
	ex – 4 e-x – 1 = 0				x + lg(1 + x) = 1, 5
	x ex – 2 = 0				2 sin(x – 0, 6) = 1, 5
	4 (x2 + 1) ln(x) – 1 = 0				lg(1 + 2x) = 2 – x
	2 – x – sin(x / 4) = 0				lg(x)/(x + 1)2 = 0
	x2 + ln(x) – 2 = 0				= 1/x
	cos(x)–(x + 2)1/2 + 1 = 0				3x + cosx + 1 = 0
	4 (1 + x1/2) ln(x) – 1 = 0				2 – x lg(x)=0
	5 ln(x) – x1/2 = 0				(x – 1)2 =
	ex + x3 – 2 = 0				(2 – x)ex = 0, 5
	3 sin (x1/2) + x – 3 = 0				2, 2x – 2x = 0
	0.1x2 – x ln(x) = 0				5x – 8log(x) = 8
	cos(1 + 0.2x2) – x = 0				x – ex = 0
	3 x – 4 ln(x) – 5 = 0				x = (x + 1)3
	sin(1 – 0.2x2) – x = 0				x =
	ex – e-x – 2 = 0				sin0, 5x + 2 =(x/2)2
	x – sin(1 / x) = 0				2 = 0, 5x + log(x – 1)
	ex + ln(x) – x = 0				sin (0, 5 + x) = 2x – 0, 5
	1–x+sin(x)–ln(1+x) = 0				lg(2 + x) + x2 = 3
	(1–x)1/2–cos(1–x) = 0				lg(1 + 2x) = 2 – x
	sin(x2)+cos(x2)–10x = 0				ln( x/6) + = 0
	x2 – ln(1 + x) – 3 = 0				log2( x) = 1/(x+2)
	cos(x / 2) ln(x – 1) = 0				e–x = 2 – x2
	cos(x/5) (1+x)1/2–x = 0				2ex = x2 - 2
	3x – e-x = 0				2x2 – ex/2 = 0
	4(1+x1/2) ln(x)–10 = 0				2 arctg x – 3x + 2 = 0
	sin(x)–31/2cos(x)+4x–4 = 0				sin (x – 0, 5) – x + 0, 8 = 0
	x – 1 / (3 + sin(3.6x)) = 0				(x – 3)2 lg(x – 2) = – 2
	0.25x3 + cos(x / 4) = 0				x + 3 + cos x –x2 = 0
	2 – x = ln x				(x – 1)2 lg(x+11) = 1
	x2 + 4sinx = 0				e2x cos(2x) + x = 0
	tg (0, 36x + 0, 4) = x2				x2 cos2x = – 1
	1 + lgx = 0, 5				(2 – x ) 2x = 1
	2 lgx – x/2+ 1 = 0				( x – 2)2 – 1 = 2x
	x – sinx = 0, 25				ex + x +1 = 0
	lg (0, 4x + 0, 4) = x2				0, 5x – 3 = (x + 2)2
	– cos0, 387x = 0				(x – 2)2 lg(x + 5) = 1
	lgx –7/(2x+6)= 0				(x –4)2 log(x – 3) = 1
	tg(0, 5x + 0, 2) = x2				2x2 – 2x = 20
	3x – cosx – 1 = 0				x log3(x + 1) = 1
	x + lgx = 0, 5				0, 5x – 3 + (x + 1)2 = 0
	1, 8x2 – sin10x = 0				2 arcctg x – x + 3 = 0
	ctg 1, 05x – x2 = 0				5x – 6x – 3 = 0
	x lgx – 1, 2 = 0				2 cos (x)+ x2 = 3x – 2

 

В табл. 6.2-1 t – номер метода для «расчета на ПК»; p – номер метода для «ручного расчета».

Номера методов: 1 – половинное деление; 2 – итерации; 3 – Ньютона; 4 – хорд.

 

Содержание отчета

 

1. Индивидуальное задание (уравнение, методы решения).

2. Результат отделения корней (интервалы, где находятся корни уравнения).

3. Результаты исследования задания для «ручного расчета»:

· условие сходимости вычислительного процесса;

· начальное приближение;

· условие окончания процесса уточнения.

4. Результаты «ручного расчета», представленные в табл. 6.2.-2а для метода половинного деления или в табл. 6.2.-2б для остальных методов.

Таблица 6.2-2а

к	a	b	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f( (a+b)/2)	b-a

 

Таблица 6.2-2б

к	x	f(x)

 

5. Оценки погрешностей результатов «ручного расчета».

6. Результаты исследования задания для « расчета на ПК»:

· условие сходимости вычислительного процесса;

· начальное приближение;

· условие окончания процесса уточнения.

7. Схема алгоритма, программа решения задачи методом уточнения корня для « расчета на ПК» и результаты контрольного тестирования.

8. Результаты «расчета на ПК», представленные в табл. 6.2-3.

 

Таблица 6.2-3

E	n	x	f(x)
0.01
0.001
0.0001

 

9. «Погрешность» результатов «расчета на ПК».

10. Зависимость числа итераций от заданной точности в логарифмическом масштабе –
табл. 6.2-4.

Таблица 6.2-4

E	0.01	0.001	0.0001
n

 

11. Результаты решения задачи, полученные с помощью математических пакетов.

6.2.5. Пример выполнения задания

 

6.2.5.1. Пример выполнения задания с использованием MathCad

 

1. Задание для решения нелинейных уравнений:

· уравнение ;

· методы решения нелинейных уравнений для ручного расчета – половинного деления, итерации, Ньютона и хорд;

· методы решения нелинейных уравнений для расчета на ПК – половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

Отделение корней

Следовательно, уравнение 1 - 3х + cos(x) = 0имеет единственный корень на отрезке [0; 1].

Вычислим корень уравнения аналитически средствами MathCad и MatLab.

или

> > x=solve('1-3*x+cos(x)=0') x = .60710164810312263122482837345049 >

В качестве точного решения уравнения примем x*=0.607102.

 

Метод половинного деления

3. Исследование задания для «ручного расчета»

Метод половинного деления сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [0; 1] функция меняет знак ( ) и монотонна (f’(x)< 0), то условие сходимости выполняется.

Выберем за начальное приближение середину отрезка =0.5.

Результаты «ручного расчета» трех итераций

> 0, следовательно, < 0, следовательно, < 0, следовательно,

Результаты вычислений представить в виде табл. 6.2-2а.

 

n	a	b	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f( (a+b)/2)	b-a
				-1.459	0.5	0.377	0.5
	0.5		0.377	-1.459	0.75	-0.518	0.25
	0.5	0.75	0.377	-0.518	0.625	-0.064	0.125
	0.5	0.625	0.377	-0.064	0.563	0.158	0.063

После трех итераций приближение к корню x₃=0.563.

 

Погрешность численного решения нелинейных уравнений

В качестве точного решения уравнения примем x*=0.6071, а x₃=0.5630.

Оценим погрешности результатов . Погрешность равна

0.0441.

6. Исследование задания для «расчета на ПК»

Исследование для метода половинного деления приведено в п. 1 настоящего примера.

Схема алгоритмов, программа и контрольное тестирование

Базовая схема алгоритма метода половинного деления приведена на рис.6.2.3-2 в [2], а программу студенты должны написать самостоятельно и провести контрольное тестирование.

 

Результаты «расчета на ПК»

Результаты расчета приближенного корня уравнения с различной точностью по программе, написанной по схеме алгоритма рис. 6.2.3-2 с различными значениями точности, приведены в следующей таблице:

 

E	n	x	f(x)
0. 01		0.605	5.8E-03
0. 001		0.6069	6.0E-04
0.0001		0.60709	5.5E-05

Погрешность результата «расчета на ПК»

Примем за точное решение x*=0.607102.

 

ε	Погрешность
0.01	0.0021
0.001	0.0002
0.0001	0.00001

Зависимость числа итераций от точности в логарифмическом масштабе

Для метода половинного деления по данным таблицы построим зависимость n(lgE )

 

ε	0.01	0.001	0.0001
n

 

Метод итераций

3. Исследование задания для «ручного расчета»

Приведем уравнение f(x)=0 к виду . Тогда рекуррентная формула . Для сходимости процесса итерации необходимо, чтобы при . Если то сходимость не обеспечена.

В случае, когда свободный х выразить не удается, целесообразно воспользоваться следующим приемом, позволяющим обеспечить выполнение условий сходимости.

Построим функцию где параметр может быть определен по правилу: если то если то где .

Приведем уравнение f(x)=0 к виду x = (cos(x)+1)/3и проведем исследование.

 

Выберем начальное значение (в методе итераций x₀– произвольное значение из отрезка [a; b] ), например, x₀=0, и с использованием итерационной функции выполним три итерации.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Анализ затрат на производство и реализацию продукции. Точка безубыточности.
2. Апостериорная оценка точности рассчитанных координат
3. Априорная оценка точности рассчитанных координат
4. Безубыточности точка (Breakeven Point)
5. Более подробно о нелокальности и мнимых числах
6. БОЛЕЗНИ ВИТАМИННОЙ НЕДОСТАТОЧНОСТИ.
7. В электроустановках напряжением до 1000В операции по установке и снятию заземлений разрешается выполнять одному работнику, имеющему группу III, из числа оперативного персонала.
8. ВОЗНИКНОВЕНИЕ МНОГОКЛЕТОЧНОСТИ
9. Глава XIII. Память на числа, хронологию и цены.
10. Для уремической стадии хронической почечной недостаточности
11. Единовременные пособия для граждан из числа детей-сирот
12. Исследование точности обработки деталей