Ручной расчет» трех итераций

 

 

Результаты вычислений удобно представить в виде табл. 6.2-2b.

 

к	Xк	f(xк)
	0.6667	-0.2141
	0.5953	4.21 • 10-2
	0.6093	-7.9496 • 10-3

Погрешность численного решения нелинейных уравнений

Оценим погрешность результата, полученного после трех итераций.

Погрешность результата, вычисленного методом итерации, можно оценить с помощью

выражения 6.2.3-4 в [2]:

.

 

6. Исследование задания для «расчета на ПК»

Исследование для метода итерации приведено в п. 1 настоящего примера.

Схема алгоритмов, программа и контрольное тестирование

Базовая схема алгоритма метода итерации приведена на рис.6.2.3-5 в [2], а программу студенты должны написать самостоятельно и провести контрольное тестирование.

 

Результаты «расчета на ПК»

Результаты расчета приближенного корня уравнения с различной точностью, по программе, написанной по схеме алгоритма рис. 6.2-3-5 с различными значениями точности, приведены в следующей таблице:

 

E	n	x	f(x)
0. 01		0.606	4.93E-03
0. 001		0.6069	5.302E-04
0.0001		0.60708	5.6925E-05

Погрешность результата «расчета на ПК»

Принимаем за точное решение x*=0.607102, тогда погрешность результатов «расчета на ПК».

Примем за точное решение x*=0.607102.

 

ε	Погрешность
0.01	0.0011
0.001	0.0002
0.0001	0.00002

Зависимость числа итераций от точности в логарифмическом масштабе

Для метода итерации по данным таблицы построим зависимость n(E)

 

ε	0.01	0.001	0.0001
n

 

Метод Ньютона

3. Исследование задания для «ручного расчета»

Из условия для уравнения 1- 3х + cos(x) = 0, где , а выберем начальное приближение к корню: .

Для получения решения уравнения методом Ньютона воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

В нашем случае

 

Ручной расчет» трех итераций

 

 

Представим вычисления в виде следующей табл. 6.2-2b.

 

k	Xk	f(xk)
		-1.4597
	0.6200	-4.62•10-2
	0.6071	-6. 7875 •10-5
	0.6071	-6.7875 •10-5

 

 

Погрешность численного решения нелинейных уравнений

x*=0.607102; x₃=0.607100.

Погрешности результатов 0.000002.

Оценку погрешности результата, вычисленного методом Ньютона, можно проводить по формуле 6.2.3-11 в [2]:

Оценим погрешность после трех итераций:

Тогда .

 

6. Исследование задания для «расчета на ПК»

Исследование приведено в п. 1 настоящего примера.

Схема алгоритмов, программа и контрольное тестирование

Базовая схема алгоритма метода Ньютона приведена на рис.6.2.3-7 в [2], а программу студенты должны написать самостоятельно и провести контрольное тестирование.

 

 

Результаты «расчета на ПК»

Результаты расчета приближенного корня уравнения с различной точностью по программе, написанной по схеме алгоритма рис. 6.2-3-7 в [2] с различными значениями точности, приведены в следующей таблице:

 

E	n	x	f(x)
0.01		0.607
0.001		0.6071
0.0001		0.6071

Погрешность результата «расчета на ПК»

Принимаем за точное решение x*=0.607102, тогда погрешности результатов «расчета на ПК»

ε	Погрешность
0.01	0.0001
0.001	0.000
0.0001	0.000

Зависимость числа итераций от точности в логарифмическом масштабе

Для метода Ньютона деления по данным таблицы построим зависимость n(lgE)

 

ε	0.01	0.001	0.0001
n

 

Метод хорд

3. Исследование задания для «ручного расчета».

Проверка выполнения условий сходимости. Для сходимости метода необходимо знакопостоянство на отрезке [a; b].

Выбор начального приближения. Видрекуррентной формулы зависит от того, какая из точек aили bявляется неподвижной. Неподвижен тот конец отрезка [a; b ] , для которого знак функции f(x ) совпадает со знаком ее второй производной. Тогда второй конец отрезка можно принять за начальное приближение к корню, то есть точку х₀.

Рекуррентная формула метода хорд (6.2.3-13) в [2]:

 

где - неподвижная точка.

Выше было показано, что для функции f(x)=1–3x+cosx < 0 на отрезке [0; 1] неподвижной точкой является точка x=b=1, так как f(1)> 0.

Таким образом, полагая x₀=a=0, получим сходящуюся последовательность приближений к корню.

В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает следующий вид

 

Условие окончания процесса уточнения корня. Оценку погрешности можно проводить по любой из формул (6.2.3-15 или 6.2.3-16) в [2].

 

Ручной расчет» трех итераций

Для получения решения уравнения методом хорд воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

 

Результаты вычислений удобно представить в виде следующей таблицы:

n	Xn	f(xn)
	0.5781	0.1032549
	0.6059	4.080772 •10-3
	0.6070	1.590771•10-4

 

Погрешность численного решения нелинейных уравнений

x*=0.607102; x₃=0.607000.

Погрешность результата 0.000102.

 

Погрешность результата, вычисленного методом хорд, оцениваем по формуле
6.2-3-15 в [2]. Тогда после трех итераций

 

6. Исследование задания для «расчета на ПК»

Исследование метода хорд приведено в п. 1 настоящего примера.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. He верьте никому старше трех лет
2. Берлинская конференция исполкомов трех Интернационалов
3. Билет 27. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПЕРЕВОДА. МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ПЕРЕВОДА: ДЕНОТАТИВНО-СИТУАТИВНАЯ, ТРАНСФОРМАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ, СЕМАНТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ТРЕХФАЗНАЯ МОДЕЛЬ О.КАДЕ, ИНТЕГРАТИВНАЯ МОДЕЛЬ И ДР.
4. В каком ряду во всех трёх словах пропущена безударная проверяемая гласная корня?
5. Восприятие мира в трех измерениях
6. Высшие гармоники в трехфазных цепях
7. Глава 182. Трехсторонние переговоры (часть 1)
8. Глава 318: Убийство трех экспертов
9. Другие названия: трехлапник, трилистник водяной, трифоль, лихорадочник, бобовник
10. Из одежды, сумки или другой ручной клади, находившихся при потерпевшем
11. Измерение мощности в трехфазных цепях
12. Использование трехмерных эффектов