Тема 6.2. Лабораторная работа Методы решения нелинейных уравнений

Тема 6.2. Лабораторная работа Методы решения нелинейных уравнений

 

Вопросы, подлежащие изучению

 

1. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.

2. Этапы численного решения уравнения.

3. Аналитический и графический методы отделения корней.

4. Уточнение корня методами половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

5. Графическая иллюстрация методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

6. Условие окончания вычислений при использовании методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

7. Сходимость метода итерации, выбор начального значения корня, правило выбора итерирующей функции и оценка погрешности метода итерации.

8. Теорема о сходимости метода Ньютона и оценка погрешности метода.

9. Правило выбора неподвижной точки, начальной точки и условие сходимости метода хорд.

10. Условия окончания вычислений в методах итерации, Ньютона и хорд.

11. Сравнение методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

12. Алгоритмы и программы решения нелинейных уравнений на языке программирования.

13. Решение нелинейных уравнений средствами математических пакетов

 

Задание

 

1. Выбрать индивидуальное задание из табл. 6.2-1 по указанию преподавателя:

• нелинейное уравнение;
• метод решения нелинейных уравнений для «ручного расчета»;
• метод решения нелинейных уравнений для «расчета на ПК».

Отделить корни уравнения.

3. Провести исследование нелинейного уравнения для «ручного расчета»:

· проверить выполнение условий сходимости вычислительного процесса, в случае расходящегося процесса – сделать необходимые преобразования для обеспечения сходимости;

· выбрать начальное приближение;

· сформулировать условия окончания этапа уточнения корня.

4. Провести «ручной расчет» трех итераций.

5. Оценить погрешность результата «ручного расчета».

6. Провести исследование нелинейного уравнения для «решения на ПК»:

· проверить выполнение условий сходимости вычислительного процесса, в случае расходящегося процесса – выполнить последовательность шагов для обеспечения сходимости;

· выбрать начальное приближение;

· сформулировать условия окончания процесса уточнения корня.

7. Составить схему алгоритма, написать программу для решения нелинейных уравнений для «расчета на ПК» и провести контрольное тестирование программы, воспользовавшись исходными данными и результатами примера из п. 6.2-5.

8. Решить нелинейное уравнение с различной точностью, воспользовавшись написанной программойдля«расчета на ПК».

9. Вычислить «погрешность» результата «расчета на ПК» при известном точном решении.

Построить зависимость числа итераций от заданной точности – n(E).

Решить нелинейное уравнение с помощью математических пакетов.

6.2.3. Варианты задания

Таблица 6.2-1

№	Уравнение	t	p	№	Уравнение	t	p
	x - cos(x / 3) = 0				2x –x lgx – 7 = 0
	x + ln(4x) – 1 = 0				x+ cosx = 1
	ex – 4 e-x – 1 = 0				x + lg(1 + x) = 1, 5
	x ex – 2 = 0				2 sin(x – 0, 6) = 1, 5
	4 (x2 + 1) ln(x) – 1 = 0				lg(1 + 2x) = 2 – x
	2 – x – sin(x / 4) = 0				lg(x)/(x + 1)2 = 0
	x2 + ln(x) – 2 = 0				= 1/x
	cos(x)–(x + 2)1/2 + 1 = 0				3x + cosx + 1 = 0
	4 (1 + x1/2) ln(x) – 1 = 0				2 – x lg(x)=0
	5 ln(x) – x1/2 = 0				(x – 1)2 =
	ex + x3 – 2 = 0				(2 – x)ex = 0, 5
	3 sin (x1/2) + x – 3 = 0				2, 2x – 2x = 0
	0.1x2 – x ln(x) = 0				5x – 8log(x) = 8
	cos(1 + 0.2x2) – x = 0				x – ex = 0
	3 x – 4 ln(x) – 5 = 0				x = (x + 1)3
	sin(1 – 0.2x2) – x = 0				x =
	ex – e-x – 2 = 0				sin0, 5x + 2 =(x/2)2
	x – sin(1 / x) = 0				2 = 0, 5x + log(x – 1)
	ex + ln(x) – x = 0				sin (0, 5 + x) = 2x – 0, 5
	1–x+sin(x)–ln(1+x) = 0				lg(2 + x) + x2 = 3
	(1–x)1/2–cos(1–x) = 0				lg(1 + 2x) = 2 – x
	sin(x2)+cos(x2)–10x = 0				ln( x/6) + = 0
	x2 – ln(1 + x) – 3 = 0				log2( x) = 1/(x+2)
	cos(x / 2) ln(x – 1) = 0				e–x = 2 – x2
	cos(x/5) (1+x)1/2–x = 0				2ex = x2 - 2
	3x – e-x = 0				2x2 – ex/2 = 0
	4(1+x1/2) ln(x)–10 = 0				2 arctg x – 3x + 2 = 0
	sin(x)–31/2cos(x)+4x–4 = 0				sin (x – 0, 5) – x + 0, 8 = 0
	x – 1 / (3 + sin(3.6x)) = 0				(x – 3)2 lg(x – 2) = – 2
	0.25x3 + cos(x / 4) = 0				x + 3 + cos x –x2 = 0
	2 – x = ln x				(x – 1)2 lg(x+11) = 1
	x2 + 4sinx = 0				e2x cos(2x) + x = 0
	tg (0, 36x + 0, 4) = x2				x2 cos2x = – 1
	1 + lgx = 0, 5				(2 – x ) 2x = 1
	2 lgx – x/2+ 1 = 0				( x – 2)2 – 1 = 2x
	x – sinx = 0, 25				ex + x +1 = 0
	lg (0, 4x + 0, 4) = x2				0, 5x – 3 = (x + 2)2
	– cos0, 387x = 0				(x – 2)2 lg(x + 5) = 1
	lgx –7/(2x+6)= 0				(x –4)2 log(x – 3) = 1
	tg(0, 5x + 0, 2) = x2				2x2 – 2x = 20
	3x – cosx – 1 = 0				x log3(x + 1) = 1
	x + lgx = 0, 5				0, 5x – 3 + (x + 1)2 = 0
	1, 8x2 – sin10x = 0				2 arcctg x – x + 3 = 0
	ctg 1, 05x – x2 = 0				5x – 6x – 3 = 0
	x lgx – 1, 2 = 0				2 cos (x)+ x2 = 3x – 2

 

В табл. 6.2-1 t – номер метода для «расчета на ПК»; p – номер метода для «ручного расчета».

Номера методов: 1 – половинное деление; 2 – итерации; 3 – Ньютона; 4 – хорд.

 

Содержание отчета

 

1. Индивидуальное задание (уравнение, методы решения).

2. Результат отделения корней (интервалы, где находятся корни уравнения).

3. Результаты исследования задания для «ручного расчета»:

· условие сходимости вычислительного процесса;

· начальное приближение;

· условие окончания процесса уточнения.

4. Результаты «ручного расчета», представленные в табл. 6.2.-2а для метода половинного деления или в табл. 6.2.-2б для остальных методов.

Таблица 6.2-2а

к	a	b	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f( (a+b)/2)	b-a

 

Таблица 6.2-2б

к	x	f(x)

 

5. Оценки погрешностей результатов «ручного расчета».

6. Результаты исследования задания для « расчета на ПК»:

· условие сходимости вычислительного процесса;

· начальное приближение;

· условие окончания процесса уточнения.

7. Схема алгоритма, программа решения задачи методом уточнения корня для « расчета на ПК» и результаты контрольного тестирования.

8. Результаты «расчета на ПК», представленные в табл. 6.2-3.

 

Таблица 6.2-3

E	n	x	f(x)
0.01
0.001
0.0001

 

9. «Погрешность» результатов «расчета на ПК».

10. Зависимость числа итераций от заданной точности в логарифмическом масштабе –
табл. 6.2-4.

Таблица 6.2-4

E	0.01	0.001	0.0001
n

 

11. Результаты решения задачи, полученные с помощью математических пакетов.

6.2.5. Пример выполнения задания

 

6.2.5.1. Пример выполнения задания с использованием MathCad

 

1. Задание для решения нелинейных уравнений:

· уравнение ;

· методы решения нелинейных уравнений для ручного расчета – половинного деления, итерации, Ньютона и хорд;

· методы решения нелинейных уравнений для расчета на ПК – половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

Отделение корней

Следовательно, уравнение 1 - 3х + cos(x) = 0имеет единственный корень на отрезке [0; 1].

Вычислим корень уравнения аналитически средствами MathCad и MatLab.

или

> > x=solve('1-3*x+cos(x)=0') x = .60710164810312263122482837345049 >

В качестве точного решения уравнения примем x*=0.607102.

 

Метод половинного деления

3. Исследование задания для «ручного расчета»

Метод половинного деления сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [0; 1] функция меняет знак ( ) и монотонна (f’(x)< 0), то условие сходимости выполняется.

Выберем за начальное приближение середину отрезка =0.5.

Результаты «расчета на ПК»

Результаты расчета приближенного корня уравнения с различной точностью по программе, написанной по схеме алгоритма рис. 6.2.3-2 с различными значениями точности, приведены в следующей таблице:

 

E	n	x	f(x)
0. 01		0.605	5.8E-03
0. 001		0.6069	6.0E-04
0.0001		0.60709	5.5E-05

Метод итераций

3. Исследование задания для «ручного расчета»

Приведем уравнение f(x)=0 к виду . Тогда рекуррентная формула . Для сходимости процесса итерации необходимо, чтобы при . Если то сходимость не обеспечена.

В случае, когда свободный х выразить не удается, целесообразно воспользоваться следующим приемом, позволяющим обеспечить выполнение условий сходимости.

Построим функцию где параметр может быть определен по правилу: если то если то где .

Приведем уравнение f(x)=0 к виду x = (cos(x)+1)/3и проведем исследование.

 

Выберем начальное значение (в методе итераций x₀– произвольное значение из отрезка [a; b] ), например, x₀=0, и с использованием итерационной функции выполним три итерации.

 

Результаты «расчета на ПК»

Результаты расчета приближенного корня уравнения с различной точностью, по программе, написанной по схеме алгоритма рис. 6.2-3-5 с различными значениями точности, приведены в следующей таблице:

 

E	n	x	f(x)
0. 01		0.606	4.93E-03
0. 001		0.6069	5.302E-04
0.0001		0.60708	5.6925E-05

Метод Ньютона

3. Исследование задания для «ручного расчета»

Из условия для уравнения 1- 3х + cos(x) = 0, где , а выберем начальное приближение к корню: .

Для получения решения уравнения методом Ньютона воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

В нашем случае

 

Результаты «расчета на ПК»

Результаты расчета приближенного корня уравнения с различной точностью по программе, написанной по схеме алгоритма рис. 6.2-3-7 в [2] с различными значениями точности, приведены в следующей таблице:

 

E	n	x	f(x)
0.01		0.607
0.001		0.6071
0.0001		0.6071

Метод хорд

3. Исследование задания для «ручного расчета».

Проверка выполнения условий сходимости. Для сходимости метода необходимо знакопостоянство на отрезке [a; b].

Выбор начального приближения. Видрекуррентной формулы зависит от того, какая из точек aили bявляется неподвижной. Неподвижен тот конец отрезка [a; b ] , для которого знак функции f(x ) совпадает со знаком ее второй производной. Тогда второй конец отрезка можно принять за начальное приближение к корню, то есть точку х₀.

Рекуррентная формула метода хорд (6.2.3-13) в [2]:

 

где - неподвижная точка.

Выше было показано, что для функции f(x)=1–3x+cosx < 0 на отрезке [0; 1] неподвижной точкой является точка x=b=1, так как f(1)> 0.

Таким образом, полагая x₀=a=0, получим сходящуюся последовательность приближений к корню.

В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает следующий вид

 

Условие окончания процесса уточнения корня. Оценку погрешности можно проводить по любой из формул (6.2.3-15 или 6.2.3-16) в [2].

 

Результаты «расчета на ПК»

Результаты расчета приближенного корня уравнения с различной точностью по программе, написанной по схеме алгоритма рис. 6.2-3-10 с различными значениями точности, приведены в следующей таблице:

 

E	n	x	f(x)
0.01		0.6060	4.08077Е-03
0.001		0.60706	1.590771Е-04
0.0001		0.607057	1.590771Е-04

Отделение корней

%Команды MatLab f=inline('1-3*x+cos(x)'); x=-2: 0.5: 2; y=f(x); plot(x, y, 'k', 'LineWidth', 4); grid on title('f=1-3*x+cos(x)'); %или график функций f1(x)=cos(x) и f2(x)=3x-1. %Команды MatLab x=-2: 0.5: 2; y1=cos(x); y2=3*x-1; grid on plot(x, y1, 'k-', x, y2, 'k--', 'LineWidth', 4); grid on title('y1=cos(x) y2=3x-1'); %Таким образом, можно выбрать отрезок равный [0; 1].

Метод половинного деления

3. Исследование задания для «ручного расчета»

Убедимся, что на отрезке [0; 1] корень существует и он единственный:

Найдем первую и вторую производные функции f(x).

 

%Команды MatLab syms x1 df1=diff('1-3*x1+cos(x1)', x1, 1) df1 = -3-sin(x1) f2=diff('1-3*x1+cos(x1)', x1, 2) f2 = -cos(x1)

 

Построим графики первой и второй производных функции f(x)

 

%Команды MatLab x=0: 0.1: 1; df1=-3-sin(x); df2=-cos(x); plot(x, df1, 'k-', x, df2, 'k--', 'LineWidth', 4); grid on title('df1=-3-sin(x) df2=-cos(x)');

 

Анализируя поведение первой и второй производных, можно сделать вывод, что условия

существования и единственности корня уравнения выполняются (df1 – монотонно

убывающая функция на отрезке [0; 1], а df2 - сохраняет знак).

 

Проверка выполнения условия сходимости. Метод половинного деления сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [0; 1] функция меняет знак ( ) и монотонна (f’(x)< 0), то условие сходимости выполняется.

 

Выбор начального приближения. В качестве начального приближения выбирается середина отрезка = 0.5.

Условие окончания процесса уточнения корня. Для оценки погрешности метода половинного деления справедливо условие: , то есть длина отрезка, полученного на n-ом шаге, должна быть меньше заданной точности - .

 

Метод итераций

3. Исследование задания для «ручного расчета»

Проверка выполнения условий сходимости. При уточнении корня методом итерации приводят уравнение f(x)=0 к виду . Тогда рекуррентная формула .

• Для сходимости процесса итерации необходимо, чтобы при . Если то сходимость не обеспечена. В этом случае могут быть использованы приемы из п. 6.2.3-2 в [2].

Рассмотрим правило выбора параметра на примере:

• , следовательно,
• f’(0)=-3, f’(1)=-3-sin1=-3.84, .
• Полагаем . Тогда рекуррентная формула где

 

Выбор начального приближения. Начальное значение в методе итерации – произвольное значение из отрезка [a; b]. Например, x₀=0.

Условие окончания процесса уточнения корня. Для оценки погрешности метода итерации справедливо условие:

Метод Ньютона

3. Исследование задания для «ручного расчета»

Проверка выполнения условий сходимости. Проверим выполнение достаточных условий сходимости для рассматриваемого уравнения. Выше был определён отрезок[0; 1], где выполнены условия

· ,

· и знакопостоянны и отличны от нуля.

Выбор начального приближения. Из условия выбирается начальное значение .

Условие окончания процесса уточнения корня . Оценку погрешности вычисления корня уравнения, полученного по методу Ньютона, можно провести по выражению 6.2-12 в [2]:

Тогда из требования обеспечения заданной точности можно воспользоваться следующим правилом останова: выражение 6.2.3-11 в [2].

 

Метод хорд

3. Исследование задания для «ручного расчета».

Проверка выполнения условий сходимости. Для сходимости метода необходимо знакопостоянство на отрезке [a; b].

 

Выбор начального приближения. Видрекуррентной формулы зависит от того, какая из точек aили b является неподвижной. Неподвижен тот конец отрезка [a; b], для которого знак функции f(x)совпадает со знаком ее второй производной. Тогда второй конец отрезка можно принять за начальное приближение к корню, то есть точку х₀.

Рекуррентная формула метода хорд (6.2.3-13) в [2]

где - неподвижная точка.

Выше было показано, что для функции f(x)=1–3x+cosx < 0 на отрезке [0; 1]. Неподвижной точкой является точка x=b=1, так как f(1)> 0.

Таким образом, полагая x₀=a=0, получим сходящуюся последовательность к корню.

В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает следующий вид

 

Условие окончания процесса уточнения корня. Оценку погрешности можно проводить по любой из формул (6.2.3-15 или 6.2.3-16) в [2]:

 

Тема 6.2. Лабораторная работа Методы решения нелинейных уравнений

 

Вопросы, подлежащие изучению

 

1. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.

2. Этапы численного решения уравнения.

3. Аналитический и графический методы отделения корней.

4. Уточнение корня методами половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

5. Графическая иллюстрация методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

6. Условие окончания вычислений при использовании методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

7. Сходимость метода итерации, выбор начального значения корня, правило выбора итерирующей функции и оценка погрешности метода итерации.

8. Теорема о сходимости метода Ньютона и оценка погрешности метода.

9. Правило выбора неподвижной точки, начальной точки и условие сходимости метода хорд.

10. Условия окончания вычислений в методах итерации, Ньютона и хорд.

11. Сравнение методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

12. Алгоритмы и программы решения нелинейных уравнений на языке программирования.

13. Решение нелинейных уравнений средствами математических пакетов

 

Задание

 

1. Выбрать индивидуальное задание из табл. 6.2-1 по указанию преподавателя:

• нелинейное уравнение;
• метод решения нелинейных уравнений для «ручного расчета»;
• метод решения нелинейных уравнений для «расчета на ПК».

Отделить корни уравнения.

3. Провести исследование нелинейного уравнения для «ручного расчета»:

· проверить выполнение условий сходимости вычислительного процесса, в случае расходящегося процесса – сделать необходимые преобразования для обеспечения сходимости;

· выбрать начальное приближение;

· сформулировать условия окончания этапа уточнения корня.

4. Провести «ручной расчет» трех итераций.

5. Оценить погрешность результата «ручного расчета».

6. Провести исследование нелинейного уравнения для «решения на ПК»:

· проверить выполнение условий сходимости вычислительного процесса, в случае расходящегося процесса – выполнить последовательность шагов для обеспечения сходимости;

· выбрать начальное приближение;

· сформулировать условия окончания процесса уточнения корня.

7. Составить схему алгоритма, написать программу для решения нелинейных уравнений для «расчета на ПК» и провести контрольное тестирование программы, воспользовавшись исходными данными и результатами примера из п. 6.2-5.

8. Решить нелинейное уравнение с различной точностью, воспользовавшись написанной программойдля«расчета на ПК».

9. Вычислить «погрешность» результата «расчета на ПК» при известном точном решении.

1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. III. Интегральная математическая модель расчета газообмена в здании, при пожаре
2. IV. Математическая двухзонная модель пожара в здании
3. LANGUAGE IN USE - Повторение грамматики: система времен английских глаголов в активном залоге
4. Linux - это операционная система, в основе которой лежит лежит ядро, разработанное Линусом Торвальдсом (Linus Torvalds).
5. SWIFT как система передачи данных.
6. VI. Приемно-комплексная система
7. Автоматическая система сепарирования Алькап. Назначение, принцип действия.
8. Авторская технология преподавания математики «Учителя года-98» В.Л. Ильина
9. Адамс Б. Эффективное управление персоналом: Сделайте так, чтобы ваши служащие работали с максимальной отдачей, - М: АСТ Астрель, 2008. – 367 с.
10. Административная итоговая контрольная работа по окружающему миру за 1 класс
11. Адресно-аналоговая система пожарной сигнализации
12. АНАЛИЗ ОДНОМЕРНЫХ ПОТОКОВ ПРИ НЕЛИНЕЙНЫХ