Решить задачу оптимизации с помощью математических пакетов.

6.6.3. Варианты задания

Таблица 6.6-1

№ вар.	f(x)	t	p
	– 2 (1 + x) e^–^x – 2 cos(x)
	(x – 1)
	10 sin(x³) cos(-x)
	x² cos(x + 3) – 4
	cos(x – 5) e²^x^{/ 3}
	– 4 sin(x) + x^{1 / 2}
	– 5 sin³(x) – cos³(x)
	– cos(2x + 1) ln(2 / x) + 3
	x sin(x + 1) – cos(x – 5)
	(1 + x²)^{1 / 2} + e^–^x
	– 8 sin(- x³) e^–^x
	5 e^–^x + 4 x + x³ / 3
	sin(x – 1) – x cos(x + 3)
	3 cos(x²) / ln(x + 5)
	sin(x²) + 1 / (2 – x)
	sin(e^x) – e^–^x + 1
	sin(x + 1) e^{2 /}^x
	– 5 x sin(x + 1) + 2 cos(x)
	1 + sin(4x) / ln(x)
	2 sin(4x) ln(– x) – 3
	x^{3 / 2} – 2 x sin(x)
	x sin(x) + cos(x) + 5
	e^–^x sin(2x)
	sin(2x) – 2 sin(x)
	sin(2x) – x
	cos(– 2x) e^–^x
	e^–^x sin(– 2x)
	e^–^x cos(– 2x)
	cos(x + 2) + cos(2x) + x
	cos(2x) + 2 sin(x)

В табл. 6.6-1 t – номер метода для вычисления минимума с точностью 10^-4
(п.6 задания), p – номер метода для вычисления трех итераций (п.3 задания). Значения параметров t и p соответствуют: 1 – методу дихотомии, 2 – методу золотого сечения.

Содержание отчета

1. Индивидуальное задание.

2. Результаты исследования индивидуального варианта задания:

· график функции ;

· начальный отрезок неопределенности;

· результаты проверки аналитического условия унимодальности функции на выбранном отрезке.

3. Результаты «ручного просчета», представленные в табл. 6.6.2, и длина отрезка, содержащего точку минимума, после трех итераций.

Таблица 6.6-2

№ итерации	a	b	x₁	x₂	f(x₁)	f(x₂)

4. Схема алгоритма и программа решения задачи оптимизации и результаты контрольного тестирование программы.

5. Результаты «расчета на ПК», представленные в табл. 6.6.3.

Таблица 6.6-3

№ итерации	a	b	x₁	x₂	f(x₁)	f(x₂)

6. Число итераций, необходимых для локализации точки минимума, и результат сравнения с «расчетами на ПК».

7. Результаты решения задачи оптимизации, полученные с помощью пакетов.

6.6.5. Пример выполнения контрольного задания

1. Задание для решения задачи одномерной оптимизации:

· функция, для которой необходимо найти минимум – ;

· методы решения задачи оптимизации для «ручного расчета» – золотого сечения и дихотомии;

· методы решения задачи оптимизации для «расчета на ПК» – золотого сечения и дихотомии.

2. Исследование задания:

· график функции :

· начальный отрезок неопределенности (отрезок, содержащий точку минимума) выберем по построенному графику - отрезок [2.5; 3.5] - начальный отрезок неопределенности;

· результат проверки выполнения аналитического условия унимодальности функции на выбранном отрезке:

;

при , так как sin(x) и cos(x) не

обращаются в нуль одновременно и .

Значения сведем в следующую таблицу:

х	2.5	2.6	2.7	2.8	2.9	3.0	3.1	3.2	3.3	3.4	3.5
f’(x)	-1.44	-1.34	-1.15	-0.94	-0.69	-0.42	-0.13	0.19	0.52	0.87	1.23

На отрезке [2.5; 3.5 ] функция монотонно возрастает, следовательно, функция

y=f(x) - унимодальная на этом отрезке.

Метод золотого сечения

Результаты «ручного расчета» и длина отрезка, содержащего точку

Минимума после трех итераций

Результаты «ручного расчета» трех итераций представим в табл. 6.6-2:

Таблица 6.6-2

N	a	b	x₁	x₂	f(x₁)	f(x₂)
	2.5	3.5	2.88197	3.11803	-3.04210	-3.14073	0.61803
	2.88197	3.5	3.11803	3.26393	-3.14073	-3.11750	0.38197
	2.88197	3.26393	3.02786	3.11803	-3.12179	-3.14073	0.23607
	3.02786	3.26393	3.11803	3.17376	-3.14073	-3.13996	0.23603

Для метода золотого сечения теоретическая длина отрезка неопределенности после трех итераций равна , что совпадает с полученной длиной отрезка неопределенности.

Схема алгоритма, программа и результаты контрольного тестирования

Схема алгоритма приведена на рис. 6.6.3-2 в [2]. Программу студенты должны составить самостоятельно.

Результаты решения задачи оптимизации с помощью «расчета на ПК»

Результаты решения задачи оптимизации методом золотого сечения с точностью E = 10^-4 представлены в таб. 6.6-3:

Таблица 6.6.-3

N	a	b	x₁	x₂	f(x₁)	f(x₂)
	2.5	3.5	2.88197	3.11803	-3.0421	-3.14073	0.61803
	2.88197	3.5	3.11803	3.26393	-3.14073	-3.11750	0.38197
	2.88197	3.26393	3.02786	3.11803	-3.12179	-3.14073	0.23607
	3.02786	3.26393	3.11803	3.17376	-3.14073	-3.13996	0.14590
	3.02786	3.17376	3.08359	3.11803	-3.13637	-3.14073	0.09017
	3.08359	3.17376	3.11803	3.13932	-3.14073	-3.14158	0.05573
	3.11803	3.17376	3.13932	3.15248	-3.14158	-3.14141	0.034444
	3.11803	3.15248	3.13119	3.13932	-3.14142	-3.14158	0.02129
	3.13119	3.15248	3.13932	3.14435	-3.14158	-3.14158	0.01316
	3.13119	3.14435	3.13621	3.13932	-3.14155	-3.14158	0.00813
	3.13621	3.14435	3.13932	3.14124	-3.14158	-3.14159	0.00503
	3.13932	3.14435	3.14124	3.14243	-3.14159	-3.14158	0.00311
	3.13932	3.14243	3.13051	3.14124	-3.14159	-3.14159	0.00192
	3.14051	3.14243	3.14124	3.14169	-3.14159	-3.14159	0.00119
	3.14124	3.14243	3.14169	3.14197	-3.14159	-3.14159	0.00073
	3.14124	3.14197	3.14152	3.14169	-3.14159	-3.14159	0.00045
	3.14152	3.14197	3.14169	3.14180	-3.14159	-3.14159	0.00028
	3.14152	3.14180	3.14163	3.14169	-3.14159	-3.14159	0.00017
	3.14163	3.14180	3.14169	3.14173	-3.14159	-3.14159	0.00011
	3.14169	3.14180	3.14173	3.14176	-3.14159	-3.14159	0.00007

6. Число итераций, необходимых для локализации точки минимума и Е=10^-4

Теоретическая величина погрешности для метода золотого сечения определяется длиной конечного отрезка неопределенности после N итераций . Отсюда имеем , (L₂₀=0.000066034).

Длина отрезка равна 0.00011 при расчете на ПК (N=19 ). Точность достигнута при N=20. То есть, расчет совпадает с теоретической оценкой.

Метод дихотомии

Результаты «ручного расчета» и длина отрезка, содержащего точку минимума после трех итераций

Значение параметра метода дихотомии для ручного просчета равен d = = 0.01.

Результаты вычислений представлены в табл. 6.6-2:

N	a	b	X₁	X₂	F(X₁)	F(X₂)
	2.5	3.5	2.995	3.005	-3.109	-3.113	0.505
	2.995	3.5	3.2425	3.2525	-3.125	-3.122	0.2575
	2.995	3.2525	3.119	3.129	-3.1407	-3.141	0.134
	3.119	3.2525	3.181	3.191	-3.139	-3.138	0.072

Для метода дихотомии длина отрезка неопределенности после трех итераций равна

Схема алгоритма, программа и результаты контрольного тестирования

Схема алгоритма приведена на рис. 6.6.1-4 в [2]. Программу студенты должны составить самостоятельно.

⇐ Предыдущая 12