Основные законы распределения вероятности параметров надежности элементов технических систем.

В теории надежности приходится встречаться со множеством величин, случайных по своей природе.

К ним относятся:

· наработка до отказа для однотипных объектов;

· наработка между соседними отказами для восстанавливаемого объекта;

· суммарная наработка объекта до среднего (капитального) ремонта;

· время восстановления ремонтируемых объектов;

· суммарная стоимость ремонтов и др.

Наиболее полно случайная величина может быть охарактеризована законом распределения случайной величины в виде функции распределения F(t) = P(T < t) или плотности распределения (для непрерывной случайной величины)

ƒ (t) = .

В зависимости от характера самих объектов, условий работы и способов соединения элементов в соответствии с работой имеют место следующие наиболее распространенные законы распределения случайных величин:

· нормальный закон распределения (закон Гауса);

· экспоненциальный (показательный) закон;

· закон распределения Вейбулла;

· распределение Пуассона.

Экспоненциальное распределение

Распределение случайной положительной величины называется экспоненциальным, если его плотность распределения вероятности имеет вид

ƒ (t) = 𝜆 , t ≥ 0, (1)

где 𝜆 – параметр распределения, 𝛌 > 0.

Характер изменения f(t) для различных λ показан на рис. 1. Из рисунка видно, что чем больше λ, тем быстрее уменьшается во времени f(t).

Рисунок 1

Пусть λ (t) = x, тогда ƒ (t) = 𝛌 . Математическое ожидание и дисперсию случайной величины, удовлетворяющей уравнению (1), находят по формулам:

M(t) = ; (2)

σ ²(t) =

Экспоненциальное распределение часто используется при рассмотрении внезапных отказов в тех случаях, когда явления износа и старения выражены настолько слабо, что ими можно пренебречь. Наработка до отказа многих невосстанавливаемых элементов радиоэлектронной аппаратуры подчиняется экспоненциальному распределению.

После окончания периода приработки поток отказов у восстанавливаемых объектов часто становится простейшим. В этом случае наработка между соседними отказами имеет экспоненциальное распределение.

В ряде случаев в первом приближении принимают, что время восстановления ТУ распределено по экспоненциальному закону.

Распределение Вейбулла.

Случайная положительная величина имеет распределение Вейбулла, если для плотности распределения справедливо уравнение

ƒ (t) = , (3)

где а и b – параметры распределения.

Параметры a и b могут очень сильно менять вид кривой. На рис. 2 показан характер изменения f(t) при изменении b. При b = 1 распределение Вейбулла вырождается в экспоненциальное распределение.

Рисунок 2.

Для математического ожидания и дисперсии случайной величины, удовлетворяющей уравнению (2) справедливы формулы:

M(t) = aГ(1 - , (4)

σ ²(t) = a²[Г(1 - , (5)

где Г(P) = , а х – табличная гамма – функция.

Наработка до отказа у многих невосстанавливаемых объектов имеет распределение Вейбулла. К таким объектом относятся, например, подшипники качения, отдельные типы электронных ламп, полупроводниковых приборов, приборы СВЧ, некоторые объекты, у которых отказ наступает вследствие усталостного разрушения.

Нормальное распределение.

Плотность вероятности нормального распределения находят по уравнению:

ƒ (t) = ; t ≥ 0, (6)

где а и σ – параметры распределения, a > 0, σ > 0, а s < 0, 25.

В общем случае нормально распределенная случайная величина изменяется в интервале (- , ), а время t не имеет отрицательного значения, поэтому необходимо выполнение условия < 0, 25. В этом случае практически весь диапазон изменения случайной величины будет иметь положительные значения.

Вид кривой плотности распределения для нормального закона изображен на рис. 3. Из рисунка видно, что этот закон симметричен относительно а и обладает максимальной плотностью в точке t = a.

Рисунок 3

Параметры закона а и σ являются его числовыми характеристиками:

M(t) = a,

σ ² (t) = a².

Наработка до отказа невосстанавливаемых объектов иногда приближенна распределена по нормальному закону (Гаусса).

Это характерно для объектов, подверженных старению и износу. Суммарная наработка восстанавливаемого объекта до капитального ремонта и время восстановления ремонтируемых объектов в ряде случаев приближенно распределены по нормальному закону.

Нормальное распределение часто используют для приближенных расчетов в тех случаях, когда имеет место биноминальное распределение или распределение Пуассона.

Распределение Пуассона.

Случайная величина имеет распределение Пуассона тогда, когда вероятность, что она принимает целое положительное значение, находится по формуле

P(x₁) = , (7)

где а – параметр распределения, а > 0.

Для математического ожидания и дисперсии имеют место уравнения:

M(t) = a, (8)

σ ² (t) = a². (9)

Распределение Пуассона является частным случаем биноминального распределения, когда число испытаний n достаточно велико, а вероятность наступления события А в одном испытании достаточно мала (Р < 0, 1). Этот закон называют еще «редких событий» из – за малости Р.

При больших значениях a функцию распределения для закона Пуассона можно приближенно заменить функцией нормального распределения с числовыми характеристиками, вычисленными по формулам (8) и (9).

Закону Пуассона подчиняются следующие случайные величины:

· число отказов элементов за время t, если наработка до отказа у каждого из однотипных элементов распределена по экспоненциальному закону;

· число отказов за время t для восстанавливаемого объекта, у которого промежутки времени между соседними отказами имеют экспоненциальное распределение;

· число дефектных изделий в выборке, если доля дефектных изделий q < 0, 1 и др.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒