Абсолютно непрерывные и дискретные распределения.

Дискретные распределения

Определение 1. Случайная величина называется простой или дискретной, если она принимает не более, чем счётное число значений. То есть , где - разбиение Ω.

Распределение простой случайной величины тогда по определению задаётся: . Введя обозначение , можно задать функцию p(a_i) =p_i. Очевидно, что . Используя счётную аддитивность , легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение X.

Определение 2. Функция p(a_i) = p_i, где часто называется дискретным распределением.

Дискретное распределение обладает следующими свойствами:

1. ;

2. .

Абсолютно непрерывные распределения

Определение. Распределение случайной величины X называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция , такая что . Функция f_X тогда называется плотностью распределения случайной величины X.

Пример. Пусть f(x) = 1, когда , и 0 иначе. Тогда , если .

Очевидно, что для любой плотности распределения f_X верно равенство . Верна и обратная

Теорема. Если функция такая, что:

1. ;

2. ,

то существует распределение такое, что f(x) является его плотностью.

Просто применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к простому соотношению между кумулятивной функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения.

Теорема. Если f(x) — непрерывная плотность распределения, а F(x) — его кумулятивная функция, то

2. .

Типовые распределения: биноминальное, пуассоновское, нормальное.

Биноминальное распределение в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна .

Обозначение , Область значений , где m – целое

Параметры n – целое положительное число (испытаний), – параметр схемы Бернулли (вероятность " успеха" ) величину 1-p принято обозначать буквой q.

Плотность (функция вероятности) Плотность дискретна: . Здесь – число сочетаний из n элементов по m, причем .

Математическое ожидание np

Дисперсия npq

Функция распределения

Полезные свойства

1. Как известно, функции биномиального и бета распределений связаны следующим соотношением: = .

2. Симметричности бета-распределения соответствует симметричность хвостов распределения биномиального: = .

3. Сумма k независимых случайных величин есть также биномиальная случайная величина , у которой .

4. Согласно теореме Муавра-Лапласа при биномиальное распределение сходится к нормальному. Вот стандартная формулировка:

если npq> 5 и 0.1 < p < 0.9, то , где – стандартное нормальное распределение.

В учебниках по статистике говорится, что если npq> 25, то эту аппроксимацию можно применять при произвольных значениях p. Если же значение p мало, то биномиальное распределение принято аппроксимировать пуассоновским: . Считается, что эту последнюю аппроксимацию следует применять при p< 0.1.

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Обозначение

Область значений x – целое,

Параметры Параметр положения

Плотность (функция вероятности)

Математическое ожидание , Дисперсия

Функция распределения

Нормальное распределение

Нормальное распределение, также называемое гауссовским распределением или распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

Обозначение N(x| , )

Область значений

Параметры Параметр положения , математическое ожидание. Параметр масштаба , стандартное отклонение.

Плотность (функция вероятности)

Математическое ожидание

Дисперсия

Функция распределения Не выражается в элементарных функциях

Схема Бернулли и полиноминальная схема: основные формулы.

Схема Бернулли

Под схемой Бернулли понимают конечную серию повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления (удачи) одного исхода при одном испытании обозначают , а непоявления (неудачи) его . Я. Бернулли установил, что вероятность ровно успехов в серии из повторных независимых испытаний вычисляется по следующей формуле:

То значение , при котором число является максимальным из множества { }, называется наивероятнейшим, и оно удовлетворяет условию

np - q m np+ p,

Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из событий с вероятностью ( . Вероятность появления раз первого события и - второго и -го находится по формуле

При достаточно большой серии испытаний формула Бернулли становится трудно применимой, и в этих случаях используют приближенные формулы. Одну из них можно получить из предельной теоремы Пуассона:

В полиномиальной (мультиноминальной) схеме осуществляется переход от последовательности независимых испытаний с двумя исходами ( А и ) к последовательности независимых испытаний с К исключающими друг друга исходами А₁, А₂, …, А_к. При этом в каждом испытании события А₁, А₂, …, А_кнаступают соответственно с вероятностями Р₁, P₂, …, P_к. Тогда вероятность P_n(m₁, m₂, …, m_k) того, что в n независимых испытаниях событие А₁ произойдёт m₁ раз, А₂– m₂, А_к– m_к раз (m₁ + m₂ +… + m_k = n), определится по формуле:

(1)
Эта формула получается с учётом того, что событие, состоящее в появлении в n независимых испытаниях события А₁m₁раз, А₂– m₂и т.д. события А_к– m_к раз

(m₁ + m₂ +… + m_k = n), можно представить в виде суммы несовместных вариантов, вероятность каждого из которых по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна , а число вариантов определяется числом перестановок с повторениями из n элементов.

В частном случае двух исходов при m₁= m, m₂= m – n, P₁= Р, Р₂= q, где q=1 – Р,

формула (1) представляет собой формулу Бернулли.

3. Условные вероятности. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Независимые случайные величины

Условные вероятности.

Условная вероятность — это вероятность некоторого события A, при условии наступления некоторого другого события B; записывается P(A|B) и читается «вероятность A при условии B», или «вероятность A при данном B».

Совместная вероятность двух событий — это вероятность их пересечения. Совместная вероятность A и B записывается или

Замечания

Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна: .

Если , то изложенное определение условной вероятности неприменимо.

Условная вероятность является вероятностью, то есть функция , заданная формулой , удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.

Независимость событий.

В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют независимыми, если значение одной из них не влияет на вероятность значений другой.

События и называются независимыми, если

Замечание. Если и независимы и , то

Аналогично, если и независимы (и )

Формула полной вероятности.

Пусть некоторое событие А может произойти вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности наступления события А при наступлении события H_i .

Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А.

Формулы Байеса(везде упоминается только одна).

Формула Байеса: , где

P(A) — априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

P(A | B) — вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

P(B | A) — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

P(B) — вероятность наступления события B.

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒