Тема 1. 50 баллов. Постановка задачи математического программирования (МП).

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Тема 1. 50 баллов. Постановка задачи математического программирования (МП).

Операция – управляемое мероприятие, направленное на достижение цели.

Условие задачи математического программирования состоит из:

(1) = - целевой функции, характеризующей зависимость

результата операций от её факторов, переменных ЗМП.

(2) системы ограничений, состоящей из m равенств

или неравенств, показывающих

… связи между факторами операции.,

Допустимым решением ЗМП называют любой n-мерный вектор , удовлетворяющий системе ограничений (2) и естественному условию неотрицательности переменных

Совокупность всех допустимых решений образуют область в n-мерном пространстве – ОДР.

Решить ЗМП – выбрать из всех допустимых решений то, при котором результат операции будет наилучшим (целевая функция (1) достигнет своего наибольшего или наименьшего значения).

Оптимальным решением ЗМП называется допустимое решение ЗМП, при котором целевая функция = достигаетэкстремума.

Тема 2. 75 баллов.

Графическое решение задач математического программирования.

Рассмотрим ЗМП с двумя неизвестными:

- целевая функция - система ограничений

1) Строим ОДР задачи.

Областью решения каждого из неравенств будет часть плоскости, ограниченная линией . Очевидно, что решением системы неравенств будет пересечение всех их областей решений. ОДР задачи МП – общая часть областей решений всех неравенств системы ограничений.

Если ОДР – пустое множество, задача не имеет решения в силу несовместности системы ограничений.

Если ОДР – непустое множество, задача может иметь одно или бесконечное множество решений.

2) Строим линии уровня целевой функции (линии, в которых значение функции постоянно).

=С –уравнения линий уровня.

Если Z – линейная функция, то её линии уровня – семейство прямых, перпендикулярных вектору градиенту этой функции.

Вектором градиентом функции называется вектор , координаты которого равны частным производным этой функции. Вектор градиент показывает направление максимального возрастания значения функции.

3) Двигаясь от одной линии уровня к другой в направлении вектора градиента (в задачах на максимум) или в противоположном направлении (в задачах на минимум), находим опорную кривую.

Опорная кривая _ такая линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с ОДР, и, при этом, не разделяет её на части.

4) Находим оптимальное решение задачи – общие точки ОДР и опорной кривой.

Тема 4. 100 баллов. Симплекс метод.

Симплекс метод – это метод целенаправленного перебора опорных решений задачи линейного программирования (ЗЛП).

Основания для применения симплекс метода:

1) ОДР ЗЛП – выпуклое множество с конечным числом угловых точек;

2) оптимальное решение ЗЛП – это одна из угловых точек ОДР;

3) угловые точки ОДР – базисные решения (опорные планы) системы ограничений.

Базисные решения – допустимые решения вида , содержащие r базисных и n-r свободных переменных.

Все свободные переменные равны нулю, а базисные переменные равны соответствующим свободным членам в преобразованной (разрешённой относительно базисных переменных) системе ограничений.

Чтобы решения системы уравнений ограничений были допустимыми, должно выполняться

условие неотрицательности свободных членов:

При любых преобразованиях уравнений системы ограничений, свободные члены уравнений должны оставаться неотрицательными.

Чтобы выполнить это условие, в процессе преобразований системы методом Жордано-Гаусса, выбираем разрешающий элемент в k-ом столбце только после вычисления вспомогательного параметра :

= , здесь r- номер строки, в которой находится разрешающий элемент k-ого столбца.

[делим каждый свободный член на каждый элемент k-ого столбца, выбираем наименьшее отношение и по его местоположению определяем строку k-ого столбца, содержащую разрешающий элемент ]

Алгоритм применения симплекс – метода.

1) Приводим ЗЛП к каноническому виду.

Алгоритм решения ТЗ,

1) находим начальное базисное допустимое (опорное) решение, состоящее из (n+m+1) заполненных клеток таблицы поставок методом северо-западного угла или методом минимальной стоимости. Убеждаемся в его «опорности» методом вычёркивания рядов с одной заполненной клеткой из матрицы поставок.

2) проверяем оптимальность найденного решения (используя различные критерии оптимальности)

3) если найденное решение не оптимально, изменяем его, используя « сдвиг по циклу »: увеличиваем объём перевозок во всех нечётных клетках цикла и уменьшаем во всех чётных на величину ( равен наименьшему из объёмов перевозок в чётных клетках цикла). Переходим к пункту 2).

Построение начального решения:

В клетку (i, j) таблицы поставок вносим максимально возможный объём перевозки, равный оставшимся запасам i-го поставщика или неудовлетворённым потребностям j -го потребителя. Затем вычёркиваем из таблицы поставщика или потребителя, потребности которого полностью удовлетворены. (одна заполненная клетка таблицы – один вычеркнутый ряд матрицы).

Метод северо-западного угла: последовательнозаполняем правую верхнюю клетку таблицы поставок.

Метод минимальной стоимости – в первую очередь заполняем клетки с наименьшей стоимостью первозки.