ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: изучение законов гармонического колебательного дви-

жения на примере математического маятника.

Приборы и принадлежности: математический маятник, секундомер, линейка.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Колебательным движением (колебанием) называется процесс, при котором система, многократно отклоняясь от своего состояния равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему.

Если этот возврат совершается через равные промежутки времени, то колебание называется периодическим.

Колебания называются свободными или собственными, если они происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия.

Простейшим случаем периодических колебаний является гармоническое колебательное движение.

Гармоническим называется колебание, при котором колеблющаяся величина изменяется по закону синуса ( или косинуса):

х = х_мsin ( ) ( 1)

В механике: смещение х колеблющейся точки от положения равновесия меняется по закону синуса( или косинуса)).

Максимальная величина смещения х_м от положения равновесия называется амплитудой гармонического колебания. Аргумент ( _о) _,стоящий под знаком синуса( или косинуса), называется фазой колебания. _о– начальная фаза ( при t = 0). Величина называется циклической частотой гармонического колебания:

= 2 (2)

Величина Т называется периодом колебаний – время одного полного колебания-, величина = 1/ T (Гц)– частотой колебания – число колебаний в единицу времени.

Мгновенная скорость гармонического колебания

V = = х_мcos( t + _o) (3)

Ускорение: а = = - ²х_мsin( t + _o) = - ²х (4)

Уравнение + ²х = 0 (5)

называется дифференциальным уравнением гармонического колебания. Решение этого уравнения приводится к виду (1).

Гармонические колебания происходят под действием силы

F = ma = - m ²х = - кх, где к = m ², (6)

пропорциональной смещению и направленной к положению равновесия. Ею может быть, например, сила упругости (пружинный маятник). Возвращающие силы могут иметь и иную, не упругую природу. В этих случаях (математический маятник) они называются квазиупругими силами (от латинского quasi – как бы, якобы).

Так как к = m ²= , то период гармонического колебания можно вычислить по формуле

T= 2 (7)

Рассмотрим механическую колебательную систему, называемую математическим маятником.

Математическим маятником называется материальная точка, под- вешенная на невесомой и нерастяжимой нити - рисунок 1.

llll

дддддд

Если такой маятник вывести из положения равновесия, то он будет испытывать действие силы, возвращающей его в это положение и равной

F = - mg sin

При малых углах отклонения дугу, описываемую маятником, можно заменить хордой. Тогда

sin = , а величина силы

F = - = - кх,

т.е. при малых углах отклонения силы, вызывающие колебания, будут пропорциональны смещению, направлены к положению равновесия, и, следовательно, колебания маятника будут гармоническими.

Учитывая, что к = mg/l, то период колебаний математического маятника можно рассчитать по следующей формуле:

T =2 (8)

Из формулы (8) следует, что период колебаний математического маятника зависит от длины маятника l и ускорения силы тяжести g, но не зависит от массы маятника m и амплитуды колебаний x_m

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДОВ ИЗМЕРЕНИЯ

Определив период колебания математического маятника известной длины, можно рассчитать величину ускорения силы тяжести в данном месте Земли (ускорение силы тяжести зависит от географической широты места) по формуле

g = (9)

Математический маятник, применяемый в этой работе, представляет собой массивный шар небольшого радиуса (по сравнению с длиной маятника), подвешенный на двойной нити для того, чтобы колебания происходили возможно более строго в одной плоскости. Расстояние от точки подвеса маятника до пола L= З, 20 м, радиус шара R = 3, 95 см.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Определите длину маятника. Для этого измерьте расстояние от пола до верхней точки шара х (см.рис.2). Вычислите длину маятника по формуле

l = L - (х - R),

полученный результат занесите в таблицу

2. Выведите маятник из положения равновесия, отклонив его на угол примерно 4-5^о, и предоставьте ему возможность колебаться. Измерьте промежуток времени t, в течение которого маятник совершает 20 полных колебаний. Измерения проведите 5 раз.

3. Произведите необходимые расчеты, заполните таблицу выбранного варианта работы (посоветуйтесь с преподавателем).

Отчетная таблица. Вариант 1