Основные сведения из теории.

К дифракции света относятся любые отклонения от правил и соотношений, определяемых приближением геометрической оптики, т.е. в тех случаях, когда длиной волны излучения нельзя пренебречь, и волновые свойства света играют доминирующую роль. Одним из наиболее ярких дифракционных эффектов является дифракция на решетке. Этот эффект является частным случаем дифракции на пространственных периодических структурах, к которым относятся в частности: дифракция рентгеновских лучей в кристаллах, дифракция света на стоячих волнах в акустооптических модуляторах и других. Теория дифракции на таких структурах лежит в основе когерентной оптики и, в частности, теории Аббе образования изображения в микроскопе.

В основе волновой теории света лежит принцип Гюйгенса - Френеля, основная идея которого состоит в том, что каждая точка волнового фронта является источником вторичных сферических волн, а амплитуда и фаза этого источника равны соответственно амплитуде и фазе пришедшей в данную точку волны. Напряженность электромагнитного поля в произвольной точке пространства равна сумме напряженностей полей от каждого вторичного источника, достигших этой точки. Радиусы кривизны этих волн зависят от расстояния от данной точки до источников и при достаточно большом удалении точки волны могут считаться плоскими. Такая ситуация называется дифракцией в приближении Фраунгофера или дифракцией в плоских волнах. Условием такого приближения является то, что размер объекта, на котором происходит дифракция , расстояние от объекта до точки наблюдения и длина волны излучения связаны соотношением

, (4.1)

где выражение является радиусом первой зоны Френеля. Если выполняется такое условие, то говорят, что наблюдения проводятся в дальней зоне.

Математически, принцип Гюйгенса - Френеля в приближении Фраунгофера записывается с помощью интеграла

, (4.2)

где , - распределения комплексных амплитуд в плоскости наблюдения и в плоскости объекта, где происходит дифракция, соответственно; , - координаты в отмеченных выше плоскостях; - расстояние между этими плоскостями; - волновое число; - длина волны излучения; - константа, зависящая от расстояния, влияющая лишь на общую яркость дифракционного распределения, но никак не сказывающейся на его структуре (это так называемая нормировочная постоянная, ее можно положить равной единице, и мы в дальнейшем будем ее опускать). В этом выражении предполагается бесконечная область интегрирования, однако на практике эта область фактически конечна: она либо ограничена непрозрачным экраном ( или несколькими экранами ), либо поле сосредоточено в некоторой области, хотя спадая, простирается до бесконечности (например, по экспоненциальному закону ). Площадь этой области определяет размер объекта, на котором происходит дифракция ( ).

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от некоторого объекта. Этот объект влияет на проходящее сквозь него излучение, изменяя его амплитуду и фазу, и может быть описан комплексной функцией пропускания.

, (4.3)

Рис 4.1а амплитудная структура

Рис 4.1б фазовая структура

Рис 4.1в амплитудно - фазовая структура

где - амплитудное пропускание, определяемое прозрачностью объекта в точке , - фазовое пропускание, которое в частности связано с функцией профиля одной из поверхностей объекта (если другая поверхность плоская) соотношением

, (4.4)

где - показатель преломления вещества объекта, - волновое число. Если на объект падает волна с комплексным распределением амплитуд

, (4.5)

то после прохождения объекта, распределение комплексных амплитуд станет

, (4.6)

т.е. распределение амплитуд поля и фаз позади объекта будут

, . (4.7)

В соответствии со сказанным, периодические структуры, называемые еще решетками, бывают трех типов - амплитудные, фазовые и амплитудно-фазовые. На рисунках (рис 4.1а, 4.1б, 4.1в) показаны сечения таких структур (решеток). Очевидно, что амплитудно-фазовая решетка является обобщением периодических структур, так как два других типа решеток являются ее частными случаями.

Рассмотрим дифракцию на одномерной периодической структуре, называемой еще решеткой. Пусть ее пропускание описывается комплексной, периодической с периодом в направлении оси , а в направлении - постоянной функцией , т.е.

(4.8)

Предположим, что на решетку падает световая волна с постоянной амплитудой и плоским волновым фронтом в направлении нормали к решетке. Распределение поля после решетки будет . Если решетка имеет ширину (в направлении оси ) , а длину , где - число элементов решетки (будем считать, что длина решетки в точности равна целому числу элементов), то дифракционный интеграл в этом случае примет вид

(4.9)

где - область, занимаемая решеткой (область интегрирования), а в постоянную включено значение амплитуды падающего света . Так как не зависит от , то по можно выполнить интегрирование (вынести множитель за знак интеграла по , после чего интеграл по вычисляется без труда). Включив результат интегрирования по в , которая будет зависеть только от , запишем (4.9) в виде однократного интеграла

(4.10)

Разбивая область интегрирования на отрезки длиной периода , запишем интеграл (4.10) в виде суммы

(4.11)

Используя периодичность функции (рис. 4.2), выражение (4.11) можно записать как

(4.12)

(4.13)

Это выражение можно преобразовать, используя теорему смещения, которая очень легко доказывается с помощью замены переменной интегрирования

Применяя, получим

(4.14)

Выражение в квадратных скобках представляет собой геометрическую прогрессию. Суммируя ее, получим

(4.15)

Так как фиксируется лишь интенсивность электромагнитного поля, то для ее определения необходимо взять квадрат модуля (4.14)

(4.16)

где - так называемая структурная функция решетки, представляющая собой распределение освещенности в дифракционной картине от одного элемента структуры.

Из (4.16) следует, что распределения всех периодических структур имеют общий характер, описываемый множителем перед интегралом, а конкретный вид распределения определяется интегральным выражением. График зависимости приведен на рис 4.3. Он может быть получен умножением графика на график структурной функции , который является для огибающей. Построим график . Введем безразмерную переменную , т.е. будем исследовать зависимость

(4.17)

Данная формула представляет собой отношение двух периодических функций, причем период знаменателя , а период числителя в раз меньше, т.е. . Из теории периодических функций известно, что их отношение также будет периодической функцией с наибольшим у этих функций периодом .

Знаменатель обращается в нуль при

(4.18)

где - целое число, однако в этих точках и числитель обращается в нуль, т.е. в этих точках возникает неопределенность типа . Раскрывая ее по правилу Лопиталя, найдем, что значение функции в этих точках равно .

Так как , то минимум функции, когда , т.е. при , т.е. при

(4.19)

Так как числитель функции осциллирует значительнее чем знаменатель, то можно считать, что будет иметь также максимумы приблизительно в тех точках, когда , т.е. при

(4.20)

Значения в этих точках будут и при больших значениях (это можно доказать) т.е. их величины значительно меньше, чем у максимумов, положения которых определено (4.18).

Таким образом, рассматриваемая функция будет иметь главные максимумы в точках, определяемых условиями

(4.21а)

откуда положения главных максимумов

(4.21б)

По аналогии определим положения максимумов . Они называются побочными (из 4.20)

(4.22)

и минимумов

(4.23)

Из анализа выражений (4.21) - (4.23) следует, что между двумя главными максимумами находится побочных максимума, разделенных минимумами, так как расстояние между побочными максимумами в раз меньше, чем между главными. График этой функции показан на рис 4.3а.

Структурная функция, как уже отмечалось, представляет собой дифракционное распределение интенсивности от одного элемента периодической структуры. Это значительно более плавно изменяющаяся функция, и ее примерный вид показан на рис 4.3б. Наконец, дифракционное распределение от всей структуры показано на рис 4.3в и получено как произведение двух верхних графиков.

Из сказанного ясно, что основным параметром, характеризующим дифракционную структуру, является ее пространственный период , именно от него зависят положения главных максимумов. Все остальные параметры дифракционного распределения играют второстепенную роль. Параметр носит название постоянной решетки.

Рассмотрим плоскую одномерную амплитуднуюдифракционную решетку или, просто дифракционную решетку. Она состоит из ряда прозрачных прямоугольных отверстий шириной и шириной непрозрачной части так, что . Согласно (16), влияние этих параметров скажется через структурную функцию решетки, для чего надо вычислить интеграл

, (4.24)

где - функция пропускания одного элемента решетки.

. (4.25)

В этом случае интеграл примет очень простой вид, и его вычисление проводится без труда

(4.26)

После определения квадрата модуля полученного выражения и подстановки его в (4.16), распределение освещенности в дифракционной картине примет вид

(4.27)

Распределение освещенности от решетки с показан на рис 4.4. Так как ширина структурной функции обратно пропорциональна размеру прозрачной части штриха - координата первого минимума , то решетке присуще некоторое противоречие: при уменьшении - с одной стороны все большее число главных максимумов имеют достаточно большую амплитуду, а с другой - через решетку проходит меньше света. Это особенно важно при использовании дифракционной решетки в качестве диспергирующего элемента в спектральных приборах - в них используется зависимость положения главных максимумов от , и их координаты пропорциональны номерам (порядкам) главных максимумов. Возможны ситуации, когда минимумы структурной функции совпадают с главными максимумами. Рассмотрим условия их возникновения. Минимумы структурной функции возникают при , т.е. при . Сравнивая это выражение с (4.18), найдем, что это совпадение выполнится при . Именно такой случай представлен на рис 4.4, где третий главный максимум подавлен первым минимумом структурной функции.