I. Основные теоретические сведения

И решение типовых примеров

Вычисление площади плоской фигуры

В декартовых координатах

Пусть требуется вычислить площадь некоторой плоской области D (фигуры), ограниченной заданными линиями в декартовой системе координат. Эту задачу можно решить с помощью двойного интеграла

, (1)

где S- искомая площадь; D- область интегрирования; х, у – переменные интегрирования.

Чтобы вычислить двойной интеграл (1), его сводят к повторному (двукратному). Это можно сделать двумя способами в зависимости от вида области интегрирования.

1-й способ. Пусть область ограничена снизу и сверху непрерывными линиями и , причем всякая прямая, параллельная оси Оу и проходящая через внутреннюю (т. е. не лежащую на границе) точку области, пересекает каждую из них только в одной точке.

Слева и справа область ограничена отрезками прямых х=а и х=b. В частном случае эти отрезки могут превращаться в точки (рис.1). Такая область называется правильной (простой) в направлении оси Оу, и в этом случае интеграл (1) вычисляется по формуле

(2)

Выражение, стоящее в правой части равенства (2), называется повторным интегралом, его вычисление сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных интегралов. Сначала нужно найти внутренний интеграл

который является непрерывной функцией от x. Потом вычисляют внешний интеграл

Пределы внутреннего интеграла в общем случае переменные, они указывают границы изменения переменной интегрирования у при постоянном (фиксированном) значении аргумента х. Пределы внешнего интеграла всегда постоянны, они указывают границы, в которых может изменяться аргумент х.

В случае, когда сверху или снизу область ограничена линиями, состоящими из нескольких участков, заданных разными уравнениями, ее разбивают прямыми, параллельными оси Оу, на части так, чтобы в каждой из них верхняя и нижняя линии границы задавались бы лишь одним уравнением каждая, а интеграл (1) вычисляют, используя свойства аддитивности двойного интеграла.

Например, если область интегрирования D приходится разбивать на две области D₁ и D₂ (рис.2), то в этом случае

. (3)

Рис. 1 Рис. 2

2-й способ. Пусть область интегрирования D-правильная в направлении оси Ох (рис.3)

Рис. 3 Рис. 4

Тогда

. (4)

Здесь интегрирование ведется сначала по переменной х, при этом у считается постоянной величиной. Затем вычисляется внешний интеграл по переменной у.

Если область интегрирования разбивают, например, на две области
(рис. 4), то в этом случае

. (5)

Замечание 1. Если область интегрирования не соответствует указанным видам, то прямыми, параллельными координатным осям, ее разбивают на конечное число правильных областей.

Замечание 2. Если область правильная в направлении обеих осей Ох и Оу, то для вычисления двойного интеграла можно использовать любую из формул (2) и (4), выбирая наиболее удобную для интегрирования.

П р и м е ч а н и е. Приведенный теоретический материал используется для решения задач № 1-10 контрольной работы № 8.

Рассмотрим решение типовой задачи.

Задача 1. Вычислить площадь фигуры, лежащей над осью Ох и ограниченной линиями у²=4х, х+у=3, у=0.

Решение. Площадь . Область интегрирования образуется пересечением трех линий: параболы у²=4х, прямой х+у=3 и оси Ох (у=0), причем у³ 0 (рис. 5).

Рис. 5

Координаты точки А найдем, решив совместно уравнения прямой и параболы:

Находя х из первого уравнения х=3-у и подставляя это выражение в уравнение параболы, получим у²+4у-12=0.

Отсюда получим у₁=2, у₂=-6. В соответствии с условием у³ 0 выберем у=2, тогда х=1.

Определим порядок интегрирования. При интегрировании в направлении оси Оу область D пришлось бы разбить на две области, так как верхняя линия границы состоит из двух участков (параболы и прямой), имеющих разные уравнения. Поэтому проще рассматривать область интегрирования в направлении оси Ох и использовать формулу (4).

В пределах области D у изменяется от 0 до 2. При этом х изменяется от значения найденного из уравнения параболы, ограничивающей фигуру слева до х=3-у, найденного из уравнения прямой, ограничивающей фигуру справа. Тогда

Вычислим отдельно внутренний интеграл:

(кв. ед.).

Замечание 3. Вычисление двойного интеграла часто записывают так:

(кв. ед.).

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒