Экспериментальные вариограммы

Содержание

Эта глава, как и предыдущая, посвящена вариограммам. Читатель узнает, как рассчитать экспериментальную вариограмму в одномерном, двухмерном и трехмерном пространствах, а также - как подобрать к ней модель. В конце приводится несколько примеров. Обсуждаются практические проблемы, встречающиеся в трудных случаях построения экспериментальными вариограммам. Они включают выбросы (outliers), почти регулярно распределенные данные, и так далее.

4.2 Как рассчитывать экспериментальные вариограммы:

Экспериментальную вариограмму можно вычислить, используя следующую формулу:

[4.1]

где x_i – местоположение проб, Z(x_i) – их значения и N(h) – количество пар (x_i, x_i +h), разделенных расстоянием h, которые действительно используются в расчете. Эту формулу очень легко использовать, когда пробы регулярно расположены в одномерном пространстве, например вниз по скважине, вдоль подземной выработки или сейсмического профиля. Пример 1 иллюстрирует эту процедуру.

Если пробы не расположены по регулярной сети, то нельзя отсутствующие значения рассчитывать по соседним пробам или приравнивать нулю, потому что истинная изменчивость будет искажаться. Квадрат разности вычисляется для всех имеющихся пар проб.

Если данные не регулярны, то вариограммы вычисляются для классов расстояний с каким-либо связанным допуском, обычно 50%, потому что он перекрывает все возможные расстояния. Когда данные нерегулярно расположены в двухмерном пространстве, вариограммы рассчитываются как для классов расстояний, так и для углов (азимутов), характеризующих различные направления.

На плоскости

Когда данные двухмерные, вариограммы должны вычисляться по крайне мере в четырех направлениях для проверки анизотропии. Первый шаг – это выбор лага (lag) вариограммы и его допуск, затем – выбор основных углов и угловой допуск.

Процедура расчета реализуется следующим образом. На первом шаге для каждой точки программа подбирает все возможные пары с остальными точками и классифицирует их по установленным классам расстояний и направлений. Затем для каждой пары вычисляется квадрат разницы , и результат добавляется к сумме соответствующего класса. Количество пар в классе также увеличивается на 1. Когда все возможные пары будут обработаны для точки x_i, программа перейдет к следующей точке. В конце процесса итоговые суммы делятся на 2 и на количество пар, которые были выбраны для данного класса. Блок-схема этого расчета приведена на Рис. 4.2.

В трехмерном случае

Процедура, приведенная выше, теоретически может быть обобщена и для трехмерного случая, применительно к классам пространственных углов. На практике трехмерный случай играет особенную роль. Очень часто вертикальное направление более изменчиво, чем горизонтальные, вследствие стратификиции (пластообразного залегания) многих природных явлений.

Следовательно, вычисление вариограмм в плоскости пласта, используя описанные выше методы, имеет особенно большое значение. Вариограмма в направлении перпендикулярном плоскости залегания рассчитывается во вторую очередь. Обычно вертикальные вариограммы вычисляются по результатам опробования крутопадающих скважин. Горизонтальные вариограммы рассчитываются в нескольких горизонтальных направлениях. Если рудное тело смещено тектоническими процессами, то вариограммы вычисляются в плоскости залежи и перпендикулярно к ней.

Пример 1: регулярные одномерные данные

Используя формулу [4.1], вычислим вариограмму для первых трех классов расстояний представленных ниже данных. Пробы расположены регулярно через каждые 5м в одномерном пространстве.

Рис 4.1. Данные опробования, расположенные через каждые 5м вдоль линии разреза.

Для первого класса (5м) получается двенадцать квадратов разностей:

[4.2]

Покажем, что значениями g*(10) и g*(15) являются соответственно 4.82 и 6.00. Нарисовав их, как функцию расстояния, получаем экспериментальную вариограмму (Рис 4.3.). Сплошная линия использовалась, чтобы соединить известные полученные значения; пунктирная – для экстраполяции линии в начало. Эффект самородка не может быть выше 4.0, но может быть меньше, если есть микроструктуры с расстояниями меньшие, чем 5м.

Когда значения проб имеют асимметричное распределение (с длинным хвостом в одну сторону) или когда есть выбросы в данных (т.е. необычно высокие или низкие значения), присутствие только нескольких экстремальных значений могут быть причиной серьезных проблем. Представьте, что произойдет в Примере 1, если вместо значения 7 подставить 17 или даже 70. В первом классе расстояний квадрат разности (5-7)² станет (5-17)² и (17-2)², или еще хуже (5-70)² и (70-2)². Эти два слагаемых будут полностью доминировать в экспериментальной вариограмме, затрудняя ее интерпретацию и подбор к ней модели. Такие явления рассматриваются в конце этой главы.

Пример 2: вычисление экспериментальное вариограммы в двух измерениях

В таблице 4.1 приведены 56 содержаний, расположенных по квадратной сетке. Будем использовать их для вычисления экспериментальных вариограмм в четырех основных направлениях на расстоянии до 4 лагов. Обратите внимание на количество пар точек в каждом классе расстояния. Должны использоваться все пары точек, попадающие в данный интервал расстояний, а не только те, которые расположены в строках и колонках. Помните, что расстояние по диагонали умножается на .

Таблица 4.1. Регулярные двухмерные данные для расчета экспериментальных вариограмм

Рис 4.2. Блок-схема, показывающая как вычислять экспериментальные вариограммы

Рис 4.3. Экспериментальная вариограмма для проб расположенных на расстоянии 5м. Сплошная линия соединяет экспериментальные значения; пунктирная линия экстраполирует функцию в начало.

Таблица 4.2. Значения экспериментальных вариограмм в четырех основных направлениях для представленных выше данных, а также - количеством пар точек (N)

		N(1)		N(2)		N(3)		N(4)
Восток-Запад	4.74		8.49		10.28		13.27
Север-Юг	5.88		9.11		9.13		10.77
СВ - ЮЗ	7.69		12.24		18.36		18.16
СЗ - ЮВ	7.55		12.02		10.00		14.00

В таблице 4.2. представлены значения экспериментальных вариограмм в четырех основных направлениях, а также количество пар точек, используемых в их вычислениях. Вариограммы не являются точными для расстояний, превосходящих половину длины поля. Поэтому они были рассчитаны только для четырех лагов. Полученные вариограммы изображены на рисунке 4.4.

Рис 4.4. Экспериментальные вариограммы в четырех направлениях

Так как между ними существует небольшая разница, то можно предположить, что они изотропные. Поэтому была вычислена усредненная экспериментальная вариограмма для всех направлений (Рис. 4.5.). Она хорошо подгоняется линейной моделью с наклоном около 3 и эффектом самородка около 3. Этот пример показывает, как следует вычислять вариограмму. На практике вариограммы обычно более сложные, чем эта.

Рис 4.5. Изотропная вариограмма для всех направлений, вычисленная по регулярным двухмерным данным, и подогнанная к ней линейная модель с эффектом самородка 3 и наклоном 3

Вариограммное облако

Существует два способа отображения вариограмм: стандартный способ, показанный выше, где изображается величина среднего квадрата разности относительно расстояния, или другой – в виде облака всех точек квадратов разностей относительно расстояний. Чаувет (Chauvet) (1982) назвал этот способ отображения «вариограммным облаком». Преимущество стандартного изображения функции заключается в синтезе всей информации в одну точку для каждого класса расстояния, но в этом случае теряются детали. А эти детали могут помочь специалисту лучше понять поведение вариограмм.

Чтобы проиллюстрировать эту концепцию, будет вычислено вариограммное облако для данных Примера 1. Для первого класса расстояний было 12 пар точек (квадратов разностей): 4, 4, 1, 9, 1, 4, 25, 36, 1, 16, 1 и 9. Для следующих двух классов расстояний – 11 и 10 пар соответственно. Для получения «облака» все эти значения были поделены на 2. На Рисунке 4.6. a показано полученное вариограммное облако. Экспериментальные точки находятся в трех вертикальных колонках, потому что данные расположены регулярно через каждые 5м. Очевидно, что только шесть крестиков входят в первый класс расстояний, потому что там получено только 6 отличающихся значений. Большинство из значений квадратов разностей малы, но несколько имеют довольно большой размер. Поэтому их гистограммы для каждого класса расстояний асимметричны.

Чтобы проиллюстрировать результат включения выбросов, пересчитаем вариограммное облако для случая, рассмотренного ранее, когда вместо значения 7% было подставлено - 17% (Рис. 4.6. b ). Сравнивая первоначальное облако с вновь полученным, мы увидим, что вертикальная шкала на новом графике в четыре раза больше. Для каждого класса расстояний наибольшие два значения квадрата разностей (т.е. два самых высоко расположенных крестика) соответствуют парам, содержащим выброс.

Рис 4.6. Вариограммные облака вычисленные, используя регулярные данные ( a ) Примера 1 и ( b ) - те же данные, в которых значение 7 было заменено на выброс 17. Обратите внимание на изменение вертикальной шкалы между двумя рисунками. В обоих случаях некоторые крестики представляют собой несколько значений (например 1.0 для лага 5м)

Подбор модели вариограммы

Лучше всего показать это на практическом примере. Опыт подсказывает, что аналитическая форма модели не так важна, как ее главные свойства. Расположим их в порядке уменьшения важности:

эффект самородка,

наклон линии в начале,

зона влияния,

порог,

анизотропия.

Поведение в начале (эффект самородка и наклон) играет критическую роль в подборе модели вариограммы, оно также имеет огромное значение для результатов кригинга и стабильности системы кригинга. Наклон можно оценить по первым трем - четырем значениям вариограммы; эффект самородка можно оценить экстраполяцией кривой в начало системы координат. Первое значение вариограммы для надежности вычисляется по возможно большему количеству пар точек. Бурение дополнительных скважин на небольших расстояниях может помочь получить лучшее значение эффекта самородка.

Зону влияния обычно можно оценить визуально. Порог характеризуется значением, где вариограмма стабилизируется (становится горизонтальной). Для стационарных переменных порог совпадает с общей дисперсией проб, но иногда это не верно, так как в исходных данных присутствуют тренды большой протяженности. Если присутствует более одной зоны влияния (несколько структур), то вспомогательные зоны можно различить визуально в местах, где вариограмма меняет кривизну. Моделирование анизотропии требует большего опыта. В общем, хорошую модель можно получить как сумму двух или трех единичных моделей. Использование большего числа моделей для суммирования повышает стоимость последующих вычислений, поэтому необходимо избегать этого. Подгонка обычно делается интерактивно с использованием какого-нибудь графического терминала.

Специалисты часто спрашивают, почему мы не используем метод наименьших квадратов или другие автоматические регрессионные методы для подгонки модели вариограммы. Существует три причины для этого. Во-первых, модель должна быть положительно определенной (иначе говоря, дисперсия не должна становиться отрицательной). Многочлены, получаемые с помощью метода наименьших квадратов, редко удовлетворяют этим условиям. Во-вторых, метод наименьших квадратов предполагает, что точки проб являются независимыми наблюдениями, что не справедливо для экспериментальной вариограммы. В-третьих, поведение вариограммы около начала (т.е. для расстояния меньшего, чем первый лаг) обычно неизвестно, и естественно, что метод наименьших квадратов не может его предсказать. Требуется опыт и рассудительность. Первую проблему можно решить подбором только положительно определенной модели, но это не разрешает остальные две проблемы.

Трудные вариограммы

На практике, экспериментальные вариограммы часто имеют намного более эрратическую форму, чем примеры, представленные в книгах и журнальных статьях. Так как причины возможных проблем чрезвычайно многочисленны и разнообразны, то невозможно представить здесь их все. Армстронг (Armstrong) (1984) рассмотрела в своей работе некоторые из основных. Ниже приведены несколько примеров.

Выбросы

Как было видно в упражнениях по расчету экспериментальных вариограмм, присутствие даже одного выброса может привести к высоко эрратической вариограмме. В исследовании угля двух пластов в Bowen Basin в Австралии (Армстронг, 1980) были построены вариограммы для трех переменных (толщина пластов, содержание золы и FSI). Все эти вариограммы оказались очень схожими для обеих пластов, но функции для серы были совершенно другие. (Рис. 4.7.). Это был сюрприз. Более глубокая проверка обнаружила, что данные из верхнего пласта (207 значений) содержали два очень больших содержания серы. Они должны были быть очень хорошо видны на гистограмме. На первом этапе попросили геологов проверить оставшиеся половинки керновых проб. Оказалось, что пробы действительно были из области с высоким содержанием серы (пирита). После того как эти два ненормальных значения удалили, вариограмма стала выглядеть также, как и вариограмма для серы другого пласта. Дальнейшее удаление проб не приводит к существенному изменению характера вариограммы.

Рис 4.7. Три вариограммы содержания серы в двух пластах угля. Верхняя вариограмма, полученная из верхнего пласта содержит 2 выброса, другие две получены из нижнего пласта и верхнего пласта после исключения выбросов

В этом случае было принято довольно простое решение: устранение выбросов. Это было возможным по двум причинам: во-первых, потому что выбросы находились в географически обособленной области, которая может быть проанализирована отдельно от остальных, и во-вторых, потому что уголь с высоким содержанием серы менее ценен, чем уголь с низким содержанием.

Однако, в других случаях (например, при сильно асимметричном распределении содержаний золота или урана) нелегко найти хороший способ оценивания вариограммы. Пробы с высоким содержанием обычно встречаются совместно с низко содержащими пробами и не размещаются в отдельных зонах. Более важным является то, что по богатым пробам принимается решение о разработке месторождения. В этом случае удаление выбросов или уменьшение их содержаний до произвольно установленных величин не является хорошим решением.

Геостатистики предлагают несколько " надежных" методов для расчета трудных вариограмм (Криси (Cressie) и Хоукинс (Hawkins), 1980; Армстронг и Делфинер (Delfiner), 1980). Этот предмет был одной из главных тем обсуждения на геостатистическом семинаре NATO, прошедшем в Lake Tahoe в сентябре 1983 (см Verlyб 1984).

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒