Глава 3.Основы электродинамики

Глава 3.Основы электродинамики

Предметом изучения электродинамики являетсяэлектромагнитное взаимодействие тел, обусловленное наличием в составе атомов вещества элементарных частиц, обладающих особым свойством, называемым«электрический заряд». Электромагнитное взаимодействие проявляется в виде сил притяжения или отталкивания. В результате действия этих силможет изменяться пространственное распределение заряженных частиц, возникать деформация и механическое движение тел. Среди известных типов физических взаимодействий электромагнитное отличается наибольшим разнообразием своих проявлений: оно ответственно за возникновение сил упругости и трения, оно приводит к ряду специфических, тепловых, химических, оптических и механических эффектов. Электромагнитными взаимодействиями обусловлена структура материи в областях пространственных масштабов от 10^-14 до 10⁵м (на меньших расстояниях более важны ядерные взаимодействия, а на больших – гравитационные). Электромагнитные процессы играют главную роль в развитии современной техники (энергетики, транспорта, связи)

Общие понятия

Термин «электрический заряд»используется в трех смыслах: как свойство частиц и тел, как физическая величина и как обозначение идеализированной модели заряженных тел.

Электрический заряд–это свойство элементарных частиц вещества, благодаря которому они способны к особого рода взаимодействию, проявляющемуся в действии сил притяжения или отталкивания.

Электрический заряд частицы нельзя увеличить, уменьшить, снять или сообщить – это неотъемлемое свойство частицы, подобное массе.Электрический заряд – это биполярное свойство. Бывают положительные и отрицательные заряды. Присвоение зарядам знаков + и - выражает тот факт, что при соединении объектов, обладающих зарядами противоположной полярности, происходит компенсация зарядов так, что получившаяся система не будет проявлять электрических свойств.Одноименные (однополярные) заряды отталкиваются, разноименные (разнополярные) ‒ притягиваются.

Электрический зарядq – скалярная физическая величина, определяющая интенсивность электромагнитного взаимодействия заряженных тел или частиц. При статических проявлениях определяется по силовому взаимодействию на основе закона Кулона, при динамических проявлениях – через силу тока (в системе СИ за единицу заряда принят 1 Кулон (Кл) – электрический заряд, переносимый черезпоперечное сечение Sза 1 секунду при постоянной силе тока, равной 1 Амперу).

Дискретность электрического заряда проявляется в том, что существует минимальный элементарный (неделимый) заряд. Элементарным положительным зарядом обладают протоны(q_p=+e =+1, 6∙ 10^-19 Кл), элементарным отрицательным зарядом обладают электроны (q_e= -e= =-1, 6∙ 10^-19 Кл). Атомы вещества в целом нейтральны, так как суммарный заряд всех протонов в ядре атома компенсируется суммарным зарядом электронов. При определенных условиях (при трении тел, при их облучении и др.)баланс положительно и отрицательно заряженных частицможет нарушаться и тогда макротело становится заряженным. Таким образом, зарядлюбого телаявляется целым кратным от элементарного заряда e: , гдеn = 1, 2, 3… (n‒ разность числа протонов и электронов)В силу того, что элементарный заряд мал, для макротел приq> > еможно пренебречь дискретной структурой заряда и считать его меняющимся непрерывно.

Идеализированные модели заряженных тел:

1) точечный заряд – заряженное тело формой и размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями, рассматриваемыми в задаче;

2)бесконечно длинная нить и бесконечная плоскость‒ заряженные тела, размеры которых много больше расстояний, рассматриваемых в задаче.

Движущиеся заряженные частицы вещества могут вызывать ряд специфических эффектов (тепловых, магнитных, химических), которые не наблюдаются для статических зарядов. Поэтому движение заряженных частиц можно рассматривать как особое явление.

Микроток – это движение отдельно взятой заряженной частицы. Например, в модели атома Резерфорда движение электрона вокруг ядра можно рассматривать как микроток.

Макроток– упорядоченное движение совокупности заряженных частиц. Тепловое хаотическое движение элементарных частиц вещества не создает макротока, так как в силу равновероятности всех направлений движения соответствующие микротоки компенсируют друг друга.

Ток проводимости– упорядоченное движение свободных заряженных частиц в среде или в вакууме (ток в металлах, в растворах электролитов, пучок электронов в вакуумной электронно-лучевой трубке и т.п.), вызванное действием электрического поля.

Конвекционный ток– упорядоченное движение заряженных частиц, вызванное причинами, не связанными с электрическим полем.

Многие специфические эффекты, вызванные движением заряженных частиц, зависят не от величины перенесенного заряда, а от скорости его переноса.

Сила тока (I) – скалярная физическая величина, характеризующая скорость переноса заряда через рассматриваемую поверхность, численно равна абсолютной величине заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника за единицу времени: При постоянном токе:

(3.1)

Сила тока измеряется в Амперах. Ампер относится к основным единицам СИ.

Электромагнитное поле – особая материальная среда, передающаявзаимодействие между заряженными телами или частицами. Согласно модели Максвелла, электромагнитное поле распространяется в пространстве со скоростью 300000 км/св виде электромагнитной волны.

Частными проявлениями электромагнитного поля являются электрическое и магнитное поля, обнаружение которых определяется условиями возникновения и выбранной для наблюдения системой отсчета.

Электрическое поле ‒ одна из составляющих электромагнитного поля.Электрическое поле может быть создано двумя способами:

‒ неподвижными зарядами (электростатическое поле);

‒ переменным магнитным полем (вихревое электрическое поле).

Электростатическое поле‒ это особый вид материи, передающий взаимодействие между неподвижными заряженными частицами или телами.

Электростатическое поле создается неподвижными электрическими зарядами и обнаруживается по действию сил на помещенные в него заряженные тела.Таким образом, заряды по отношению к полю могут выполнять две функции: источника поля и индикатора поля.

Магнитное поле – одна из составляющих электромагнитного поля. Это особый вид материи, передающий взаимодействие между движущимися зарядами или токами.Магнитное поле может быть создано двумя способами:

‒ движущимися зарядами (токами);

‒ переменным электрическим полем.

Магнитное поле обнаруживается по действию сил на движущиеся частицы, токи или на магнитную стрелку.Таким образом, токи по отношению к магнитному полю могут выполнять две функции: источника поля и индикатора поля.

Электростатическое поле

Основные задачи, возникающие при изучении электростатического поля:

‒ введение количественных характеристик поля и анализ его свойств;

‒ расчет полей при известных зарядах, создающих поле;

‒ расчет действий поля на помещенные в него заряды и особенности движения заряженных частиц в электрических полях.

Создающих поле

Напряженность и потенциал поля в некоторой точкезависят от:

‒ величины зарядов, создающих поле;

‒ их конфигурации (формы заряженных тел);

‒ положения точки в поле;

‒ электрических свойств среды, в которой существует поле.

В нижеприведенных формулах для расчета модуля напряженностизаряд|Q| берется по абсолютной величине, без учета знака заряда, а в формулах для расчета потенциала знак заряда, создающего поле, учитывается–( )Q. Потенциал (так же как и потенциальная энергия в механике) определяется с точностью до аддитивной постоянной С, зависящей от выбора точки нулевого потенциала, но в задачах мы всегда имеем дело с разностью потенциалов, которая не зависит от этого выбора.ε – диэлектрическая проницаемость среды, в которой существует электрическое поле (табличная величина)Числовые значения коэффициентов в системе СИ:

Модульнапряженностии потенциал поля, создаваемоготочечным зарядом:

(3.15)

где r – расстояние от заряда Q до точки, в которой определяются напряженность и потенциал.

Модуль напряженности и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:

E=0; (при r< R); (3.16)

; (при r=R); (3.17)

; (при r> R).(3.18)

Модуль напряженностии потенциал поля, создаваемогобесконечной прямой равномерно заряженной нитью или бесконечно длинным цилиндром с линейной плотностью заряда

(3.19)

где – линейная плотность заряда (заряд, сосредоточенный на единице длины);

r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, в которой определяются характеристики поля.

Модуль напряженности и потенциал поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда

(3.20)

где – поверхностная плотность заряда (заряд, сосредоточенный на единице площади);

r – расстояние от плоскости до точки, в которой определяется потенциал поля.

Принцип суперпозиции электрических полей

Если в одной и той же точке пространства созданы два или несколько полей, то эти поля не взаимодействуюти не искажают друг друга, а их характеристики складываются, причем напряженности складываются векторно, а потенциалы – алгебраически:

(3.21)

(3.22)

В случае зарядов, непрерывно распределенных по длине тела, по его поверхности или объему, напряженность и потенциал поля, создаваемого этими зарядами, так же можно найти на основании принципа суперпозиции, поскольку любое заряженное тело можно рассматривать как систему бесконечно большого числа точечных зарядов. В этом случае принцип суперпозиции принимает вид:

(3.23)

(3.24)

Например, когда заряд равномерно распределен вдоль нити с линейной плотностью τ , то на нити выделяется малый участок длиной dl с зарядомdQ = τ dl. Такой заряд можно рассматривать как точечный и применять соответствующие формулы:

(3.25)

где – радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

Интегрирование по формулам (3.23) и (3.24) с учетом (3.25) ведется по всей длинеl заряженной нити(см. примеры 2 и 3, стр. 115- 120).

Магнитное поле

Основные задачи, возникающие при изучении магнитного поля:

‒ введение количественных характеристик поля и анализ его свойств;

‒ расчет полей при известных токах, создающих поле;

‒ расчет действий поля на помещенные в него токи и заряды, особенности движения заряженных частиц в магнитных полях.

Теорема Остроградского – Гаусса (теорема о потоке вектора В) длямагнитного поля

Поток вектора индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

(3.38)

Эта теорема является математическим выражениемвихревого характера магнитного поля, то есть свойства замкнутостиего силовых линий.

Закон Био-Савара-Лапласа

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять индукцию магнитного поля, созданного бесконечно малым элементом токаIdlна расстоянииrот этого элемента:

, или по модулю (3.39)

где – магнитная индукция поля, создаваемого элементом провода длиной с током I;

α – угол между направлением элемента провода и радиус-вектором ;

μ – магнитная проницаемость среды, в которой существует поле.

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA1yTc38MA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPzW7CMAzH75N4h8hIu410oCHoCAhNQkzjNOABrMY0 FY1TkkC7t58Pk3az5f/Hz6vN4Fv1oJiawAZeJwUo4irYhmsD59PuZQEqZWSLbWAy8EMJNuvR0wpL G3r+pscx10pCOJVowOXclVqnypHHNAkdsdwuIXrMssZa24i9hPtWT4tirj02LA0OO/pwVF2Pdy+9 fbzd35qDm11258P8K+6X++vMmOfxsH0HlWnI/+I/96cV/KngyzMygV7/AgAA//8DAFBLAQItABQA BgAIAAAAIQDw94q7/QAAAOIBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1s UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADHdX2HSAAAAjwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALgEAAF9yZWxzLy5yZWxz UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABAAAAAAAAAAAAAAAAAAKQIAAGRycy9zaGFwZXht bC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEA1yTc38MAAADcAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACYAgAAZHJzL2Rv d25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9QAAAIgDAAAAAA== " filled="f" strokecolor="black [3213]" strokeweight="1pt">

Рис. 3.12

Направление вектора

определяется правилом векторного произведения: вектор

перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы

, и направлен в ту сторону, откуда кратчайший поворот от

кажется происходящим против часовой стрелки (см. Pис. 3.12).

Коэффициент определяется только выбором системы единиц. В системе СИ: а

Магнитные свойства вещества

По магнитным свойствам все вещества делятся на три группы: диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики.

Каждый электрон, движущийся вокруг ядра атома можно рассматривать, как микроток, обладающий магнитным моментом . Поскольку количество электронов в атоме совпадает с порядковым номером химического элемента в таблице Менделеева, магнитный момент атома в целом (являющийся векторной суммой магнитных моментов электронов: может оказаться равным нулю или не равным нулю.

Диамагнетики – вещества, атомы которых в отсутствие магнитного поля не обладают собственным магнитным моментом.

Парамагнетики – вещества, атомы которых в отсутствие магнитного поляобладают собственным магнитным моментом, но, вследствие тепловогодвижения атомов, эти моменты ориентированы в пространстве хаотически так, что суммарный магнитный момент всего образца равен нулю.

Ферромагнетики – вещества, у которых существуют макрообласти спонтанного намагничивания - домены с размерами порядка (1-10)мкм. В отсутствие внешнего поля магнитные моменты доменов ориентированы хаотически, поэтому образец в целом не намагничен. Внешнее магнитное поле меняет состояние не отдельных атомов, а доменов, именно с этим связаныособыесвойства ферромагнетиков (см. ниже).

Заряды

Объединяя ранее рассмотренные силы, действующие на заряженную частицу со стороны электрического имагнитного поля, получим уравнение для обобщенной силы Лоренца:

(3.82)

Материальныеуравнения

Материальные уравнения – этоуравнения, отражающие реакцию вещества на поле. Они связываютхарактеристики вещества, характеристики поля и характеристики явлений, возникающих в веществе под действием поля. Будем записывать этиуравнениядля ситуации, когда среда, в которой существует поле однородная, изотропная и линейная. Последнее свойство означает, что изменения, происходящие в веществе, пропорциональны соответствующей характеристике поля.

‒ Для металловплотность тока пропорциональна напряженности электрического поля:

(3.83)

‒ Для диэлектриков вектор поляризации (поляризованность) пропорционален напряженности электрического поля:

(3.84)

‒ Для магнетиков вектор намагничивания (намагниченность) пропорционалениндукции магнитного поля:

(3.85)

Уравнения (3.84) и (3.85) иногда преобразуют к виду:

(3.86)

(3.87)

где ε – диэлектрическая проницаемость вещества (для линейных сред – постоянная величина, не зависящая от напряженности поля);

μ – магнитная проницаемость вещества (для линейных сред – постоянная величина, не зависящая от индукцииполя);

– удельная проводимость вещества (для линейных сред – постоянная величина, не зависящая от напряженности поля);

D – индукция электрического поля (вектор электрического смещения) – дополнительная характеристика электрического поля, описывающая внешнее поле, создаваемое свободными зарядами с учетом их перераспределения в пространстве, вызванного появлением индуцированных связанных зарядов в диэлектрике;

Н – напряженность магнитного поля– дополнительная характеристика магнитного поля, описывающая внешнее поле, создаваемое свободными токами.

+

-

r

r

d

a

a

E

E

E

Q

Q

A

Рис. 3.16

3.6.Примеры решения задач по электрическому полю

Пример 1. Два точечных электрических заряда = 2нКл и = -5 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить напряженность Е и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда на расстояние = 7 см и от заряда на = 5 см. Определить также силу F, действующую в точке А на точечный заряд Q=10 нКл.

Решение. В данной задаче рассматривается ситуация, когда заряды и являются источниками электрического поля, а заряд Qнаходится в этом поле. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей и полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Напряженности электрического поля, создаваемого в воздухе ( ) зарядами и ,

(1)

Вектор (см. Рис. 3.16) направлен по силовой линии от заряда , так как этот заряд положителен; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду , так как этот заряд отрицателен.

Модуль вектора найдем по теореме косинусов:

(2)

где – угол между векторами и , который может быть найден из треугольника со сторонами , иd:

(3)

Подставляя выражение и из (1) в (2) и вынося общий множитель 1/(4π ε ₀) за знак корня, получаем

(4)

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей, потенциал φ результирующего поля, создаваемого двумя зарядами и , равен алгебраической сумме потенциалов:

(5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой

.(6)

В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим

или

Сила, действующая на точечный зарядQ, находящийся в электрическом поле в точке А

где напряженность находится из выражения (4).

Произведем вычисления:

;

Ответ: ;

Пример 2. Определить напряженность электрического поля, созданного бесконечной равномерно заряженной (с линейной плотностью заряда ) нитью, в точке А, находящейся на расстоянии а от нити симметрично относительно ее концов.

Решение. В данной задаче электрическое поле создается бесконечно заряженной нитью, заряд которой линейно распределен. Разобьем нить на элементы длиной так, чтобы заряд, сосредоточенный на одном элементе, можно было считать точечным. Величина этого заряда , численное значение напряженности электрического поля, созданного в точке А этим элементом нити определим по формуле для точечного заряда . Направление вектора показано на рисунке 3.17.

По принципу суперпозиции напряженность найдем интегрированием:

Направления от разных элементов нити не совпадают, поэтому спроектируем на координатные оси, и ищем сумму проекций по каждой оси в отдельности

;

Модуль вектора напряжённости равен: .

(1)

Замечаем, что под интегралом три переменных l, r и a, находим

Рис. 3.18

(2)

Чтобы связать переменные dl и , сделаем дополнительные построения (см. Рис. 3.18): соединим концы отрезка dl с точкой А, получим угол , который можно рассматривать как приращение угла , когда радиус-вектор r скользит по нити и переходит от нижнего конца отрезка к верхнему.

Рассмотрим сначала вспомогательный отрезок , расположенный перпендикулярно r: (так как угол мал). Из прямоугольного треугольника, элементами которого являются dl и :

используя (2)

(3)

Подставляем (2) и (3) в (1), получим

При интегрировании по всей длине нити угол a будет меняться в пределах от -p/2 до +p/2(так как aотсчитывается от оси х, а нить бесконечная и ее концы расположены симметрично относительно точки A).

(4)

Аналогично можно найти . Результат сложения проекций можно предугадать сразу из соображений симметрии. Для симметричных элементов и проекции на ось yимеют противоположные знаки и в сумме дают ноль(рис. 3.17).Точно так же можно рассуждать и в отношении любой другой пары симметричных элементов, поэтому . Модуль вектора напряжённости равен: (из рисунка видно, что ). Используя (4) получаем

(5)

Проверим выражение (5) по размерности:

Ответ:

Пример 3. На тонком стержне длиной l = 10см находится равномерно распределенный электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии а = 5 см от ближайшего конца находится точечный заряд Q₁=40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне. Найти потенциал φ в точке А, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближайшего конца на расстояние l.

Решение.(1 часть) Для определения линейной плотности заряда стержня предположим, что заряженный стержень создает поле, а заряд является индикатором поля. Сила взаимодействия F между ними определяется выражением

, (1)

Рис. 3.19

Q₁

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA7EMQNsUA AADbAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPQWsCMRSE70L/Q3gFb91sRWvZbhQRCvXgobZYj4/N c7Pr5mVJoq7/vikUPA4z8w1TLgfbiQv50DhW8JzlIIgrpxuuFXx/vT+9gggRWWPnmBTcKMBy8TAq sdDuyp902cVaJAiHAhWYGPtCylAZshgy1xMn7+i8xZikr6X2eE1w28lJnr9Iiw2nBYM9rQ1Vp93Z KnDnbdVurLc/7eFg9u44Pc3mU6XGj8PqDUSkId7D/+0PrWAyg78v6QfIxS8AAAD//wMAUEsBAi0A FAAGAAgAAAAhAPD3irv9AAAA4gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54 bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAMd1fYdIAAACPAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAuAQAAX3JlbHMvLnJl bHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEAAAAAAAAAAAAAAAAAApAgAAZHJzL3NoYXBl eG1sLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQDsQxA2xQAAANsAAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJgCAABkcnMv ZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABAD1AAAAigMAAAAA "/> где

напряженность поля, созданного стержнем в точке, где расположен заряд

. Для определения напряженности выделим на стержне элемент длиной dr с зарядом dQ = τ dr (рис. 3.19). Этот заряд можно рассматривать как точечный, тогда численное значение напряженности в этой точке определим по формуле для точечного заряда:

(2)

По принципу суперпозиции напряженность найдем интегрированием:

(3)

Направления от разных элементов стержня совпадают по направлению. Подставим (2) в (3), и интегрируя это выражение в пределах от а до а+l, получаем:

Согласно (1), сила взаимодействия равна откуда

Проверим, дает ли расчетная формула единицу линейной плотности электрического заряда. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:

Найденная единица является единицей линейной плотности заряда.Произведем вычисления:

(2 часть) Электрическое поле в точке А создают точечный заряд и заряженный стержень. Потенциал в этой точке по принципу суперпозиции является суммой потенциалов, созданных точечным зарядом и стержнем с распределенным зарядом:

(4)

где – потенциал в точке , созданный зарядом , а – потенциал в точке , созданный стержнем.

Потенциал dφ , создаваемыйточечным зарядом вточке , можно определить по формуле точечного заряда

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, потенциал электрического поля, создаваемого заряженным стержнем в точке , найдем интегрированием этого выражения:

Выполним интегрирование:

(5)

Подставим (5) в (4)

Подставим числовые значения физических величин вСИ (1/(4π ε ₀)=9^.10⁹м/Ф, =4 10^-8Кл, l=10^-1м, а= 5^.10^-2м, τ =10 10^-9Кл/м) и произведем вычисления:

Ответ: ; φ =7, 8 В.

S_осн

n₁

n₂

s - поверхностная плотность заряда

Рис. 3.20

Пример 4. Определить напряженность электрического поля бесконечной плоскости равномерно заряженной, с поверхностной плотностью заряда

в точке А, находящейся на расстоянии а.

Решение. В данной задаче плоскость является источником электрического поля, конфигурация силовых линий которого изображена на рис. 3.20. Для определения напряженности Евоспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для электростатики

(1)

Проведем вспомогательную гауссову поверхность S_.Из соображений симметрии, вспомогательную поверхность выбираем так, чтобы она содержала две плоскости, параллельные заряженной, например, цилиндр, ось которого располагается параллельно силовым линиям, а основания симметрично относительно заряженной плоскости и одно из них проходит через точку А.

Определим поток через выбранную поверхность:

(2)