Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6

Уравнение	Информация о свойствах поля

	1)Вихревое электрическое поле возникает всегда, когда есть переменное магнитное поле((dB/dt)≠ 0). 2) Поскольку циркуляция Е по замкнутому контуру не равна нулю, вихревое электрическое поле не является потенциальным.
где ρ – объёмная плотность заряда	1) Электрическое поле может быть создано статическими зарядами (ρ ). 2) Поскольку поток Е через замкнутую поверхность не равен нулю, электростатическое поле не является вихревым, его силовые линии не замкнутые.
	1) Поскольку циркуляция Е по замкнутому контуру равна нулю, электростатическое поле потенциально.

Окончание табл. 3.3


где j– плотность тока проводимости	1) Магнитное поле может быть создано электрическим током (j). 2) Магнитное поле может быть создано переменным электрическим полем ((dЕ/dt)≠ 0). 3) Поскольку циркуляция В по замкнутому контуру не равна нулю, магнитное поле не является потенциальным
	1) Поскольку поток В через замкнутую поверхностьравен нулю, магнитноеполеявляется вихревым, его силовые линиизамкнутые.

В веществе под действием поля происходят изменения в расположении и характере движении микрочастиц, в результате чего возникают разнообразные явления: электризация, поляризация, намагничивание, электрический ток. Вещество, в свою очередь, влияет на характеристики поля. Таким образом, для полного описания электромагнитных взаимодействий помимо записанных уравнений Максвелла необходимы ещё две группы уравнений.

Уравнения, определяющие действие поля на находящиеся в нем

Заряды

Объединяя ранее рассмотренные силы, действующие на заряженную частицу со стороны электрического имагнитного поля, получим уравнение для обобщенной силы Лоренца:

(3.82)

Материальныеуравнения

Материальные уравнения – этоуравнения, отражающие реакцию вещества на поле. Они связываютхарактеристики вещества, характеристики поля и характеристики явлений, возникающих в веществе под действием поля. Будем записывать этиуравнениядля ситуации, когда среда, в которой существует поле однородная, изотропная и линейная. Последнее свойство означает, что изменения, происходящие в веществе, пропорциональны соответствующей характеристике поля.

‒ Для металловплотность тока пропорциональна напряженности электрического поля:

(3.83)

‒ Для диэлектриков вектор поляризации (поляризованность) пропорционален напряженности электрического поля:

(3.84)

‒ Для магнетиков вектор намагничивания (намагниченность) пропорционалениндукции магнитного поля:

(3.85)

Уравнения (3.84) и (3.85) иногда преобразуют к виду:

(3.86)

(3.87)

где ε – диэлектрическая проницаемость вещества (для линейных сред – постоянная величина, не зависящая от напряженности поля);

μ – магнитная проницаемость вещества (для линейных сред – постоянная величина, не зависящая от индукцииполя);

– удельная проводимость вещества (для линейных сред – постоянная величина, не зависящая от напряженности поля);

D – индукция электрического поля (вектор электрического смещения) – дополнительная характеристика электрического поля, описывающая внешнее поле, создаваемое свободными зарядами с учетом их перераспределения в пространстве, вызванного появлением индуцированных связанных зарядов в диэлектрике;

Н – напряженность магнитного поля– дополнительная характеристика магнитного поля, описывающая внешнее поле, создаваемое свободными токами.

+

-

r

r

d

a

a

E

E

E

Q

Q

A

Рис. 3.16

3.6.Примеры решения задач по электрическому полю

Пример 1. Два точечных электрических заряда = 2нКл и = -5 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить напряженность Е и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда на расстояние = 7 см и от заряда на = 5 см. Определить также силу F, действующую в точке А на точечный заряд Q=10 нКл.

Решение. В данной задаче рассматривается ситуация, когда заряды и являются источниками электрического поля, а заряд Qнаходится в этом поле. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей и полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Напряженности электрического поля, создаваемого в воздухе ( ) зарядами и ,

(1)

Вектор (см. Рис. 3.16) направлен по силовой линии от заряда , так как этот заряд положителен; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду , так как этот заряд отрицателен.

Модуль вектора найдем по теореме косинусов:

(2)

где – угол между векторами и , который может быть найден из треугольника со сторонами , иd:

(3)

Подставляя выражение и из (1) в (2) и вынося общий множитель 1/(4π ε ₀) за знак корня, получаем

(4)

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей, потенциал φ результирующего поля, создаваемого двумя зарядами и , равен алгебраической сумме потенциалов:

(5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой

.(6)

В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим

или

Сила, действующая на точечный зарядQ, находящийся в электрическом поле в точке А

где напряженность находится из выражения (4).

Произведем вычисления:

;

Ответ: ;

Пример 2. Определить напряженность электрического поля, созданного бесконечной равномерно заряженной (с линейной плотностью заряда ) нитью, в точке А, находящейся на расстоянии а от нити симметрично относительно ее концов.

Решение. В данной задаче электрическое поле создается бесконечно заряженной нитью, заряд которой линейно распределен. Разобьем нить на элементы длиной так, чтобы заряд, сосредоточенный на одном элементе, можно было считать точечным. Величина этого заряда , численное значение напряженности электрического поля, созданного в точке А этим элементом нити определим по формуле для точечного заряда . Направление вектора показано на рисунке 3.17.

По принципу суперпозиции напряженность найдем интегрированием:

Направления от разных элементов нити не совпадают, поэтому спроектируем на координатные оси, и ищем сумму проекций по каждой оси в отдельности

;

Модуль вектора напряжённости равен: .

(1)

Замечаем, что под интегралом три переменных l, r и a, находим

Рис. 3.18

(2)

Чтобы связать переменные dl и , сделаем дополнительные построения (см. Рис. 3.18): соединим концы отрезка dl с точкой А, получим угол , который можно рассматривать как приращение угла , когда радиус-вектор r скользит по нити и переходит от нижнего конца отрезка к верхнему.

Рассмотрим сначала вспомогательный отрезок , расположенный перпендикулярно r: (так как угол мал). Из прямоугольного треугольника, элементами которого являются dl и :

используя (2)

(3)

Подставляем (2) и (3) в (1), получим

При интегрировании по всей длине нити угол a будет меняться в пределах от -p/2 до +p/2(так как aотсчитывается от оси х, а нить бесконечная и ее концы расположены симметрично относительно точки A).

(4)

Аналогично можно найти . Результат сложения проекций можно предугадать сразу из соображений симметрии. Для симметричных элементов и проекции на ось yимеют противоположные знаки и в сумме дают ноль(рис. 3.17).Точно так же можно рассуждать и в отношении любой другой пары симметричных элементов, поэтому . Модуль вектора напряжённости равен: (из рисунка видно, что ). Используя (4) получаем

(5)

Проверим выражение (5) по размерности:

Ответ:

Пример 3. На тонком стержне длиной l = 10см находится равномерно распределенный электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии а = 5 см от ближайшего конца находится точечный заряд Q₁=40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне. Найти потенциал φ в точке А, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближайшего конца на расстояние l.

Решение.(1 часть) Для определения линейной плотности заряда стержня предположим, что заряженный стержень создает поле, а заряд является индикатором поля. Сила взаимодействия F между ними определяется выражением

, (1)

Рис. 3.19

Q₁

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA7EMQNsUA AADbAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPQWsCMRSE70L/Q3gFb91sRWvZbhQRCvXgobZYj4/N c7Pr5mVJoq7/vikUPA4z8w1TLgfbiQv50DhW8JzlIIgrpxuuFXx/vT+9gggRWWPnmBTcKMBy8TAq sdDuyp902cVaJAiHAhWYGPtCylAZshgy1xMn7+i8xZikr6X2eE1w28lJnr9Iiw2nBYM9rQ1Vp93Z KnDnbdVurLc/7eFg9u44Pc3mU6XGj8PqDUSkId7D/+0PrWAyg78v6QfIxS8AAAD//wMAUEsBAi0A FAAGAAgAAAAhAPD3irv9AAAA4gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54 bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAMd1fYdIAAACPAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAuAQAAX3JlbHMvLnJl bHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEAAAAAAAAAAAAAAAAAApAgAAZHJzL3NoYXBl eG1sLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQDsQxA2xQAAANsAAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJgCAABkcnMv ZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABAD1AAAAigMAAAAA "/> где

напряженность поля, созданного стержнем в точке, где расположен заряд

. Для определения напряженности выделим на стержне элемент длиной dr с зарядом dQ = τ dr (рис. 3.19). Этот заряд можно рассматривать как точечный, тогда численное значение напряженности в этой точке определим по формуле для точечного заряда:

(2)

По принципу суперпозиции напряженность найдем интегрированием:

(3)

Направления от разных элементов стержня совпадают по направлению. Подставим (2) в (3), и интегрируя это выражение в пределах от а до а+l, получаем:

Согласно (1), сила взаимодействия равна откуда

Проверим, дает ли расчетная формула единицу линейной плотности электрического заряда. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:

Найденная единица является единицей линейной плотности заряда.Произведем вычисления:

(2 часть) Электрическое поле в точке А создают точечный заряд и заряженный стержень. Потенциал в этой точке по принципу суперпозиции является суммой потенциалов, созданных точечным зарядом и стержнем с распределенным зарядом:

(4)

где – потенциал в точке , созданный зарядом , а – потенциал в точке , созданный стержнем.

Потенциал dφ , создаваемыйточечным зарядом вточке , можно определить по формуле точечного заряда

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, потенциал электрического поля, создаваемого заряженным стержнем в точке , найдем интегрированием этого выражения:

Выполним интегрирование:

(5)

Подставим (5) в (4)

Подставим числовые значения физических величин вСИ (1/(4π ε ₀)=9^.10⁹м/Ф, =4 10^-8Кл, l=10^-1м, а= 5^.10^-2м, τ =10 10^-9Кл/м) и произведем вычисления:

Ответ: ; φ =7, 8 В.

S_осн

n₁

n₂

s - поверхностная плотность заряда

Рис. 3.20

Пример 4. Определить напряженность электрического поля бесконечной плоскости равномерно заряженной, с поверхностной плотностью заряда

в точке А, находящейся на расстоянии а.

Решение. В данной задаче плоскость является источником электрического поля, конфигурация силовых линий которого изображена на рис. 3.20. Для определения напряженности Евоспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для электростатики

(1)

Проведем вспомогательную гауссову поверхность S_.Из соображений симметрии, вспомогательную поверхность выбираем так, чтобы она содержала две плоскости, параллельные заряженной, например, цилиндр, ось которого располагается параллельно силовым линиям, а основания симметрично относительно заряженной плоскости и одно из них проходит через точку А.

Определим поток через выбранную поверхность:

(2)

где в пределах ) ‒ проекция вектора на нормаль к основанию, а ‒ проекциявектора на нормаль к боковой поверхности.

Заряд сосредоточен на участке плоскости, который вырезается цилиндром (заштрихованный участок плоскости) равен

(3)

Подставляя (2) и (3) в (1), получим:

откуда

Проверим полученное выражение по размерности:

Ответ:

r₁

r₂

Рис. 3.21

Пример 5. Шар радиусом

10 см заряжен равномерно с объемной плотностью зарядов

=15нКл/м³. Определить напряженность поля в точках 1 и 2, лежащих на расстояниях , от центра шара (см. Рис. 3.21).

Решение. В данной задаче электрическое поле создано зарядом, равномерно распределенным по объему. Конфигурация зарядов позволяет считать, что поле обладает сферической симметрией: силовые линии ‒ прямые выходящие из центра шара (заряд шара считается положительным).Вспомогательные гауссовы поверхности выбираем сферической формы. Характер функциональной зависимости для точек, лежащих внутри и вне объемного заряда, различен. Поэтому следует провести две вспомогательные сферические поверхности и с радиусами и .

Определим поток через выбранную сферическую поверхность

(1)

где ‒ проекциявектора на нормаль к поверхностисферы.

Заряд, попадающий внутрь выделенной поверхности

а) внутри шара при

, (2а)

б) вне шарапри

(2б)

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для электростатики

(3)

Подставляя (1) и (2) в (3), получим:

‒ внутри шара; ‒ вне шара.

Откуда напряженность внутри шара

(4)

напряженность вне шара

(5)

Проверим выражение (4) и (5) по размерности

Произведем вычисления:

, .

Ответ: ; .

Пример 6. Электрическое поле создается двумя зарядами =4мкКл и =-2 мкКл, находящимися на расстоянии а= 0, 1м друг от друга. Определить работу сил поля по перемещению заряда =50 нКл из точки1 в точку 2 (рис. 3.22).

Q₁

a/2

Q₂

Рис. 3.22

Решение. В данной задаче электрическое поле создается зарядами

, а заряд

есть пробный заряд, помещенный в это поле. Для определения работы

сил поля воспользуемся соотношением

где ₁и потенциалыточек 1 и 2 поля. По принципу суперпозиции электрических полей, потенциалы в этих точках определяются, как алгебраическая сумма потенциалов созданных точечными зарядами и :

Тогда

или

Проверим, дает ли правая часть равенства единицу работы (Дж):

Подставим числовые значения физических величин в СИ: Q=50 ^.10^-9Кл, Q₁=4^.10^-6Кл, Q₂= 2^.10^-6Кл, a= 0, 1 м, и произведем вычисления:

Ответ:

Пример 7. В пространство между пластинами плоского конденсатора влетает электрон со скоростью , направленной параллельно его пластинам, расстояние между которыми , разность потенциалов . На какое расстояние по направлению к положительно заряженной пластине сместится электрон за время движения, если длина пластины конденсатора ? Какова скорость электрона при вылете из конденсатора?

Решение. В задаче рассматривается сложное криволинейное движение электрона в электрическом поле конденсатора. На основании принципа независимости движений его можно представить состоящим из двух движений – по горизонтали (по оси х) и по вертикали (по оси у). Характер поступательного движения определяется на основе II закона Ньютона, а конкретные параметры движения на основе кинематических законов.

Рис. 3.23

Второй закон Ньютона:

На электрон действует единственная сила со стороны электрического поля:

Поскольку напряженность поля направлена вверх, а заряд электрона отрицательный,

направлена вниз и по модулю равна:

(1)

В проекциях на координатные оси:

По рисунку видно, что тогда: – движение по оси x равномерное; – движение по оси y равнопеременное.

Запишем кинематические законы для этих видов движения:

Модуль скорости определяется выражением:

(6)

а направление при вылете из конденсатора по отношению к направлению определяется углом (см. Рис.3.23), причем

Откуда

(7)

Учитывая, что для однородного электрического поля и электрон проходит расстояние за время (из 3), уравнения (5), (6) и (7) запишем в виде:

Проверим полученные выражения по единицам измерения

Проведем вычисления:

Ответ: м, м/с,

Пример 8. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью , чтобы скорость его возросла в n=3 раза.

Решение. В данной задаче рассматривается движущийся поступательно в электрическом поле электрон. На него действует электрическая сила, под действием которой он движется равноускорено против направления поля. При этом электрическая сила будет совершать работу по перемещению электрона против поля, равную изменению кинетической энергии электрона:

(1)

где m – масса электрона; и – начальная и конечная скорости его.

Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением элементарного заряда е на разность потенциалов U:

A=eU.(2)

Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона. Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим:

где .

Отсюда искомая разность потенциалов .

Проверим выражение это по размерности:

Произведем вычисления:

Ответ: U=204, 7 B.

Пример 9. Пластины плоского конденсатора изолированы друг от друга слоем диэлектрика. Конденсатор заряжен до разности потенциалов 1 кВ и отключен от источника напряжения. Определите диэлектрическую проницаемость диэлектрика, если при его удалении разность потенциалов между пластинами конденсатора возрастает до3 кВ.

Решение. В данной задаче рассматривается влияние диэлектрика на емкость конденсатора.Поскольку конденсатор отключен от источника напряжения, то его заряд в обоих случаях будет одинаковым: . Принимая во внимание, что и , находим . Учитывая, что для емкости плоского конденсатора и , получаем

Тогда , откуда

Произведем вычисления:

Ответ:

Пример 10. Конденсатор емкостью =6 мкФ был заряжен до разности потенциалов =20 В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью =10 мкФ. Какая энергия израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение. В данной задаче рассматриваются конденсаторы, устройства для накопления электрического заряда. Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

(1)

где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов.

Энергия, израсходованная на образование искры:

(2)

где – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; – энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Выразив в формуле (2) энергии и по формуле (1) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

(3)

где – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов следующим образом:

Подставив выражение в (3), найдем

или

Проверим полученное выражение по размерности:

Произведем вычисления:

Ответ: =750мкДж.

Пример 11.Определите ЭДСи внутреннее сопротивление аккумулятора, если он дает во внешнюю цепь 9, 5 Втпри силе тока 5 А, а при силе тока 8А-14, 4 Вт. Найдите К.П.Д. цепи в первом и во втором случае.

Решение. В данной задаче рассмотрена замкнутая цепь постоянного тока. Силы токаI₁и I₂ определим по закону Ома для замкнутой цепи

, , (1)

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 56