Произведение равно нулю , когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Приравняем к нулю каждый сомножитель, получим:

cos x = 0; х = .

2 cos x + 1 = 0; cos x = ; х _{1, 2} = ± arccos + 2pk, k Î Z;

х _{1, 2} = ± + 2pk, k Î Z.

Ответ: х = х _{1, 2} = ± + 2pk, k Î Z.

Пример №4: Решить уравнение: sin x - sin 2x + sin 3x - sin 4x = 0.

Решение:

Преобразуем это уравнение следующим образом:

( sin x + sin 3x ) - ( sin 2x + sin 4x ) = 0;

Преобразуем каждую из сумм по формуле sin x + sin y = 2 sin cos , получим: 2 sin 2x cos x - 2 sin 3x cos x = 0;

Вынесем общий множитель 2 cos x за скобки: 2 cos x (sin 2x - sin 3x ) = 0;

Преобразуем выражение в скобках, воспользовавшись формулой

sin x - sin y = 2 sin cos , получим: 2 cos x 2 sin cos = 0;

Синус является нечетной функцией, то есть sin = - sin .

- 4 cos x sin cos = 0;

Разделим обе части уравнения на - 4: cos x sin cos = 0;

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Приравняем к нулю каждый сомножитель, получим:

cos x = 0; х = .

sin = 0; = х = 2pk, k Î Z.

cos = 0;

Ответ: х = х = 2pk,

Пример №5: Решить уравнение: sin x + cos x = 1.

Решение:

Преобразуем sin x и cos x по формулам синуса двойного угла и косинуса двойного угла: sin x = 2 sin cos ; cos x = 1 - 2 sin ² , выполним замены в данном уравнении, получим:

2 sin cos + 1 - 2 sin ² - 1 = 0; 2 sin cos - 2 sin ² = 0;

Вынесем общий множитель 2 sin за скобки, разделим обе части уравнения на 2, получим:

2 sin ( cos - sin ) = 0; sin ( cos - sin ) = 0;

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Приравняем к нулю каждый сомножитель, получим:

sin = 0; = pk, х = 2pk, k Î Z.

cos - sin = 0;

Полученное тригонометрическое уравнение является однородным первой степени относительно sin и cos .

Разделим обе части этого уравнения на cos ¹ 0, получим:

1 - tg = 0; tg = 1; = arctg 1 + pk; = + pk; х = k Î Z

Ответ: х = 2pk, х = k Î Z.

Упражнения:

 

№1. Решить уравнения:

1) sin 2x = ; 6) cos = -1; 11) ctg 3x = ;

2) sin = ; 7) cos = ; 12) ctg = -1;

3) sin = ; 8) cos = 0; 13) tg = ;

4) 2 sin = -1; 9) 3 cos x = 2; 14) tg = 3;

5) sin = ; 10) cos = 1; 15) ctg = .

 

№2. Решить уравнения:

1) 4 sin ² x + 11 sin x - 3 = 0; 11) 3 sin ² x + sin x cos x = 2 cos ² x;

2) tg ² x + 2 tg x - 3 = 0; 12) 9 sin x cos x - 7 cos ² x = 2 sin ² x;

3) ctg ² 2x - tg - 2 = 0; 13) 4 sin ² x = 3 + sin 2x;

4) 2 sin ² x - 5 cos x +1 = 0; 14) cos 2x = 2 cos x - 1;

5) 5 sin ² 2x + 6 cos 2x - 6 = 0; 15) sin x - cos x = 0;

6) cos ² x + 3 sin x = 3; 16) sin 3x - cos 3x = 0;

7) 4 cos ² 3x - 3 = 0; 17) sin ⁴ - cos ⁴ = ;

8) 3 sin ² x - cos ² x = 1; 18) 1 - cos x = 2 sin ;

9) 2 tg ² 5x + 3 tg 5x - 2 = 0; 19) sin 4x + sin ² 2x = 0;

10) sin ⁴ x - cos ⁴ x = 0, 5; 20) 4sin x + 3cos x = - 3.

№3. Решить уравнения:

1) (sin 2x - 1) tg x = 0; 11) cos 4x cos 2x = cos 5x cos x;

2) 2 cos x ctg 3x = ctg 3x; 12) sin 6x cos 2x = sin 5x cos 3x;

3) sin 3x + sin x = 0; 13) cos 2x cos 3x = sin 6x sin x;

4) cos (3x - 2p) + sin = 0; 14) tg + tg x + 2 = 0;

5) cos 2x - cos x = 0; 15) tg x - 2 ctg x = 1;

6) cos 3x = sin x; 16) 4 sin 2x - 3 cos 2x = 3;

7) tg x = tg 2x; 17) 1 - sin ² x + sin ² 2x = 0;

8) tg 2x - 3 tg x = 0; 18) tg ⁴ x - tg ² x - 12 = 0;

9) 3 cos x + 5 sin = - 1; 19) (2 sin 3x + )(tg x - ) cos = 0;

10) tg 5x = tg 3x; 20) tg + tg = 2 ctg x.

21. Простейшие тригонометрические неравенства.

sin x £ a

sin x £ a Û - p - arcsin a + 2pk £ x £ arcsin a + 2pk, k Î Z.

sin x ³ a

sin x ³ a Û arcsin a + 2pk £ x £ p - arcsin a + 2pk, k Î Z.

cos x £ a

cos x £ a Û arccos a + 2pk £ x £ 2p - arccos a + 2pk, k Î Z.

cos x ³ a

cos x ³ a Û - arccos a + 2pk £ x £ arccos a + 2pk, k Î Z.

tg x £ a Û + pk < x £ arctg a + pk, k Î Z.

tg x ³ a Û arctg a + pk £ x < + pk, k Î Z.

ctg x £ a Û arcctg a + pk £ x < p + pk, k Î Z.

ctg x ³ a Û pk < x £ arcctg a + pk, k Î Z.

Пример №1: Решить неравенство: sin x ³ .

Решение:

sin x ³ a Û arcsin a + 2pk £ x £ p - arcsin a + 2pk, k Î Z.

arcsin + 2pk £ x £ p - arcsin + 2pk, k Î Z;

+ 2pk £ x £ p - + 2pk, k Î Z;

+ 2pk £ x £ + 2pk, k Î Z.

Ответ: + 2pk £ x £ + 2pk, k Î Z.

Пример №2: Решить неравенство: cos 2x ³ .

Решение:

cos x ³ a Û - arccos a + 2pk £ x £ arccos a + 2pk, k Î Z.

- arccos + 2pk £ 2x £ arccos + 2pk, k Î Z;

- + 2pk £ 2x £ + 2pk, k Î Z;

- + 2pk £ x £ + 2pk, k Î Z.

Ответ: - + 2pk £ x £ + 2pk, k Î Z.

Пример №3: Решить неравенство: 3 tg < .

Решение:

Разделим обе части неравенства на 3: tg < ;

Воспользуемся нечетностью тангенса:

tg = - tg ; - tg < ;

Разделим обе части неравенства на - 1: tg > - ;

Воспользуемся формулой решений неравенства tg x ³ a:

arctg a + pk £ x < + pk, k Î Z.

arctg + pk £ < + pk, k Î Z;

+ pk £ < + pk, k Î Z;

Прибавим ко всем частям неравенства :

+ pk £ < + pk, k Î Z;

+ pk £ < + pk, k Î Z;

Умножим все части неравенства на 2:

+ 2pk £ х < + 2pk, k Î Z;

Ответ: + 2pk £ х < + 2pk, k Î Z;

Формулы тригонометрии

Основные тригонометрические тождества

sin ²a + cos ²a = 1

tg a · сtg a = 1

 

Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов

cos (a - b ) = cos a · cos b + sin a · sin b

cos (a + b) = cos a · cos b - sin a · sin b

sin (a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b

sin (a - b) = sin a · cos b - cos a · sin b

Тригонометрические функции двойного аргумента

cos 2a = cos ²a - sin ²a = 1 - 2 sin ²a = 2 cos ²a - 1

sin 2a = 2sin a cos a

 

Формулы понижения степени

или 2 sin ² a = 1 - cos 2a

или 2 cos ² a = 1 + cos 2a

Сумма и разность тригонометрических функций

sin х + sin у = 2 · sin · cos cos х + cos у = 2 · cos · cos

sin х - sin у = 2 · cos · sin cos х - cos у = - 2 · sin · sin

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться:

Популярное:

1. E) напряжения на обоих проводниках одинаковы
2. E) равномерного списания стоимости
3. I. Господин Нуартье де Вильфор
4. II. «БЕЛКИ — УГЛЕВОДЫ». Никогда не ешьте концентрированный белок и концентрированный углевод в один прием пищи.
5. III. Макроэкономическое равновесие
6. ROA больше или равно WACC / (1-T)
7. VI. КОГДА ПРОБУЖДАЮТСЯ ДРЕВНИЕ БОГИ
8. X. Не должно быть ревности. Половая любовная жизнь, построенная на взаимном уважении, на равенстве, на глубокой идейной близости, на взаимном доверии, не допускает лжи, подозрения, ревности.
9. XVI. КОГДА СМЕРТЬ СБРАСЫВАЕТ МАСКУ
10. XXV. КОГДА УМИРАЮТ БЕЗУМНЫЕ МЕЧТЫ
11. А один раз собравшись, они вознесутся вверх, к месту покоя, вовеки веков».
12. Анализ макроэкономического равновесия в условиях Беларуси