Обратные тригонометрические функции.

Определение: Функция называется обратимой, если она принимает каждое свое значение только один раз.

у

х

- 1

a1

a2

а2

а1

a2

Замечание: Тригонометрические функции являются периодическими функциями и повторяют свои значения бесконечное множество раз, значит, они необратимы в своей области определения.

 

При функция возрастает от - 1 до 1 и принимает каждое свое значение один раз, то есть при функция имеет обратную функцию.

Определение: Арксинусом числа а, принадлежащего отрезку , называется угол a, принадлежащийотрезку , синус которого равен а.

arcsin a = a, , , sin a = a.

Пример:

1) , так как , , ;

2) , так как , , ;

3) , так как , , ;

4) arcsin = , так как , , sin = ;

5)

х

a1

у

а1

a2

- 1

а2

p

, так как , ,

 

При х Î [0; p] функция убывает от 1 до -1 и принимает каждое свое значение один раз, то есть при х Î [0; p ] функция имеет обратную функцию.

Определение: Арккосинусом числа а, принадлежащего отрезку [- 1; 1 ], называется угол a, принадлежащийотрезку [0; p ], косинус которого равен а.

arccos a = a, а Î [- 1 ; 1 ] , a Î [0; p ] , cos a = a .

Пример:

1) arccos 1 = 0, так как , , cos 0 = 1;

2) arccos = , так как , , ;

3) , так как , , ;

4) arccos = , так как , , ;

5) , так как , , ;

6)

y

x

а1

a1

a2

а2

arccos 0 = , так как , , cos = 0.

 

При функция возрастает от - ¥ до + ¥ и принимает каждое свое значение один раз, то есть при функция имеет обратную функцию.

 

Определение: Арктангенсом числа а называется угол a, принадлежащий интервалу , тангенс которого равен а.

arctg a = a, , tg a = a.

Пример:

1) arctg 1 = , так как Î ( ), tg = 1;

2) arctg (- 1 ) = , так как Î ( ), tg ( ) = - 1;

3) arctg = , так как Î ( ), tg = ;

4) arctg ( ) = , так как Î ( ), tg ( ) = .

 

y

x

а1

a1

a2

а2

При х Î (0; p ) функция у = ctg х убывает от + ¥ до -¥ и принимает каждое свое значение один раз, то есть при х Î (0; p ) функция у = ctg х имеет обратную функцию.

Определение: Арккотангенсом числа а называется

угол a, принадлежащийинтервалу

(0; p ) , котангенс которого равен а.

arcсtg a = a, a Î ( 0; p ), сtg a = a.

Пример:

1) arcсtg 1 = , так как Î ( 0; p ), сtg = 1;

2) arcсtg ( -1 ) = , так как Î ( 0; p ), сtg = -1;

3) arcсtg = , так как Î ( 0; p ), сtg = ;

4) arcсtg ( ) = , так как Î ( 0; p ), сtg = .

Упражнения:

№1. Найти значение выражения:

1) аrсcos (- 0, 5) + arcsin (- 0, 5); 3) arccos - arcsin (- 1);

2) arccos + arcsin ; 4) arccos - arcsin .

№2. Вычислить:

1) 2 arcsin + arctg (-1) + arccos ;	2) 3 arcsin + 4 arccos - arcсtg
3) arсtg + arccos + arcsin 1;	4) arcsin (-1) - arccos + 3 arсtg .

Тригонометрические уравнения.

Простейшие тригонометрические уравнения.

 

Определение: Уравнение называется тригонометрическим, если оно содержит переменную только под знаками тригонометрических функций.

Определение: Решить тригонометрическое уравнение – значит найти все действительные числа, обращающие уравнение в тождество, или доказать что их нет.

Пример: Решить уравнение: cos х – sin х = 0.

Решение: Данное уравнение равносильно уравнению cos х = sin х.

Углы, радианные меры которых удовлетворяют этому уравнению, могут находиться в первой и третьей координатных четвертях, так как синус и косинус имеют в них одинаковые знаки. Синус и косинус имеют одинаковые значения при углах х = … или х = .

Ответ: х = .

Определение: Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида: sin х = а, cos х = а, tg х = а, ctg х = а, где

а – данное действительное число.

Замечание: Решение любого тригонометрического уравнения сводится к решению простейших тригонометрических уравнений.

Так как тригонометрические функции являются периодическими функциями, достаточно найти корни уравнений на отрезке длиной равной основному периоду тригонометрической функции.

sin х = а

1. а > 1, а < – 1, sin х = а корней нет.

2. а = 1, sin х = 1 .

3. а = 0, sin х = 0 .

4. а = – 1, sin х = – 1 .

5. – 1 < а < 1, sin х = а х ₁ = arcsin а + 2pk, k Î Z

х ₂ = p – arcsin а + 2pk, k Î Z.

Или

х _{1, 2} = ( – 1 ) ^к · arcsin а + pk, k Î Z.

Пример: Решить уравнения:

№1. sin 3х = – 1 .

№2. sin ( 2х – ) = 0 2х – = pk 2х = + pk

№3. sin =

Ответ: .

cos х = а

1. а > 1, а < – 1, cos х = а корней нет.

2. а = 1, cos х = 1 х = .

3. а = 0, cos х = 0 х = .

4. а = – 1, cos х = – 1 х = .

5. – 1 < а < 1, cos х = а х ₁ = arccos а + 2pk, k Î Z

х ₂ = – arccos а + 2pk, k Î Z.

Или

х _{1, 2} = ± arccos а + 2pk, k Î Z.

Пример: Решить уравнения:

№1. cos ( 3х – ) = 1 3х – = 2pk 3х = + 2pk х = .

№2. cos ( х – ) = х₁ – = arccos + 2pk х₂ – = – arccos + 2pk

х₁ – = + 2pk х₂ – = – + 2pk

х₁ = + + 2pk х₂ = – + + 2pk

х₁ = + 2pk, k Î Z. х₂ = 2pk, k Î Z.

Ответ: х₁ = + 2pk, х₂ = 2pk, k Î Z.

№3. cos =

, k Î Z , k Î Z.

Ответ: , , k Î Z.

 

tg х = а, а - любое число, х = arctg а + pk, k Î Z

ctg х = а, а - любое число, х = arcсtg а + pk, k Î Z

Пример:

№1. tg 2х = 2х = arctg + pk 2х = .

№2. сtg = 7 = arcсtg 7 + pk x = 3 arcсtg 7 + 3 pk, k Î Z.

№3. сtg tg x = - 1 x = arctg (- 1 ) + pk x = + pk, k Î Z.

20. 2. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратному.

Замечание: При решении тригонометрических уравнений целого вида, содержащих синусы и косинусы, область допустимых значений не устанавливается, так как эти функции определены для любого действительного значения.

Пример №1: Решить уравнение: 8 sin ² x - 6 sin x - 5 = 0.

Решение:

Введем новую переменную у = sin x, получим квадратное уравнение:

8 у ² - 6 у - 5 = 0; D = b ² - 4ac; D = (- 6 )² - 4 · 8 · (- 5 ) = 196;

; ; y₁ = ; y₂ = ;

sin x = ; х _{1, 2} = ( – 1 ) ^к · arcsin + pk; х _{1, 2} = ( – 1 ) ^к · + pk;

х _{1, 2} = ( – 1 ) ^к+1 · + pk, k Î Z;

sin x = корней нет, так как - 1 £ sin x £ 1.

Ответ: х _{1, 2} = ( – 1 ) ^к+1 · + pk, k Î Z.

 

Пример №2: Решить уравнение: 8 sin ² 3x + 6 cos 3x - 3 = 0.

Решение:

Используя формулу cos ² 3x + sin ² 3x = 1, заменим sin ² 3x = 1 - cos ² 3x.

8 (1 - cos ² 3x ) + 6 cos 3x - 3 = 0; 8 - 8 cos ² 3x + 6 cos 3x - 3 = 0;

- 8 cos ² 3x + 6 cos 3x + 5 = 0; 8 cos ² 3x - 6 cos 3x - 5 = 0;

Введем новую переменную у = cos 3x, получим квадратное уравнение:

8 у ² - 6 у - 5 = 0; D = b ² - 4ac; D = (- 6 )² - 4 · 8 · (- 5 ) = 196;

; ; y₁ = ; y₂ = ;

cos 3x = ; 3х = ± arccos + 2pk; 3х = ± + 2pk;

.

cos 3x = корней нет, так как - 1 £ cos 3x £ 1.

Ответ: .

Пример №3: Решить уравнение:

Решение:

Воспользуемся формулами приведения:

; ;

; ;

Введем новую переменную у = cos , получим квадратное уравнение:

2 y ² - 3 y - 2 = 0; D = b ² - 4ac; D = (- 3 )² - 4 · 2 · (- 2 ) = 25;

; ; y₁ = ; y₂ = 2;

= ± arccos + 2pk; = ± + 2pk;

x = ± + 4pk, k Î Z.

корней нет, так как - 1 £ cos £ 1.

Ответ: x = ± + 4pk, k Î Z.

Пример №4: Решить уравнение: 3 cos 2 x = 7 sin x.

Решение:

Воспользуемся формулой cos 2x = 1 - 2 sin ² x:

3 (1 - 2 sin ² x ) - 7 sin x = 0; 3 - 6 sin ² x - 7 sin x = 0;

Введем новую переменную у = sin x, получим квадратное уравнение:

- 6 y ² - 7 y + 3 = 0; 6 y ² + 7 y - 3 = 0; D = b ² - 4ac; D = 7 ² - 4 · 6 · (- 3 ) = 121;

; ; y₁ = ; y₂ = ;

sin x = корней нет, так как - 1 £ sin x £ 1.

sin x = х _{1, 2} = ( – 1 ) ^к · arcsin + pk, k Î Z.

Ответ: х _{1, 2} = ( – 1 ) ^к · arcsin + pk, k Î Z.

20. 3. Однородные тригонометрические уравнения.

Определение: Тригонометрическое уравнение вида a sin x + b cos x = 0

(a Î R, b Î R, a ¹ 0, b ¹ 0 ) называется однородным первой степени относительно sin x иcos x.

Определение: Тригонометрическое уравнение вида a sin ² x + b sin x cos x + с cos ²x = 0

(a Î R, b Î R, с Î R, a ¹ 0, b ¹ 0, с ¹ 0 ) называетсяоднородным второй степени относительно sin x иcos x.

Способ решения: Значения аргумента х, при которых sin x = 0 или cos x = 0, не являются корнямитригонометрического уравнения однородного n -ой

степени относительно sin x и cos x, так как если sin x = 0

( cos x = 0 ), то из данного уравнения следует равенство cos x = 0

( sin x = 0 ), а из основного тригонометрического тождества следует, что косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому чтобы решить тригонометрическое уравнение однородное n -ой степени относительно sin x и cos x , можно обе части уравнения разделить на или .

 

Пример №1: Решить уравнение: sin x + cos x = 0.

Решение:

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. IV. Обратные связи - обсуждение (15 мин.)
2. Абсолютные и относительные ссылки. Стандартные формулы и функции. Логические функции
3. Банковская система и предложение денег. Центральный банк, его функции. Коммерческие банки. Создание денег банковской системой. Банковский мультипликатор. Денежная база.
4. Вопрос №2: Служба закупок, ее цель задачи и функции. Формы построения службы закупок.
5. Вопрос №2: Служба сбыта, ее цель, задачи и функции. Организационное построение службы сбыта.
6. Глава 1. Общая характеристика подчиненной функции.
7. Государственные органы управления и контроля в сфере СМИ: правовой статус, основные функции.
8. Государство и его функции. Методы государственного регулирования экономики.
9. Гражданско-правовой договор: понятие, значение, функции.
10. График функции. Свойство монотонности функции
11. Деньги и их функции. Виды денег.
12. Деньги и их функции. Основные агрегаты денежного предложения