Тригонометрические уравнения и неравенства.

, , , .

Свойства и график тригонометрической функции .

 

x

y

у = 1

у = - 1

y

1. Область определения функции: .

2. Множество значений функции:

Вывод: График функции расположен между прямыми y = -1; y = 1.

3. Функция нечетная, то есть .

Вывод: График функции симметричен относительно начала координат.

4. Функция периодическая, так как .

Вывод: График функции повторяется через 2 p.

5. Функция не монотонная:

возрастает от - 1 до 1 ;

убывает от 1 до - 1.

6. Функция необратимая на области определения.

7. y = 0; sin x = 0 при x = p k - нули функции.

8. Функция ограниченная, так как .

при

при

x

y

-1

p

2p

- p

- 2p

График функции называется синусоидой.

x

y

у = 1

у = - 1

Свойства и график тригонометрической функции .

1. Область определения функции: ).

2. Множество значений функции: .

Вывод: График функции расположен между прямыми y = -1; y = 1.

3. Функция четная, то есть

Вывод: График функции симметричен относительно оси ординат.

4. Функция периодическая, так как .

Вывод: График функции повторяется через 2 p.

5. Функция не монотонная:

убывает от 1 до - 1;

возрастает от - 1 до 1.

6. Функция необратимая на области определения.

7. y = 0; при .

8. Функция ограниченная, так как .

при ,

x

y

-1

p

2p

- p

-2p

при

График функции называется косинусоидой.

Свойства и график тригонометрической функции .

1. Область определения функции: или .

2. Множество значений функции: .

Вывод: График функции расположен между прямыми , .

3. Функция нечетная, то есть .

Вывод: График функции симметричен относительно начала координат.

4. Функция периодическая, так как как tg ( x + p k ) = tg x, k Î Z.

Вывод: График функции повторяется через p.

5. Функция не монотонная на всей области определения, но функция возрастающая в каждом из промежутков .

6. Функция необратимая на области определения.

7. ; при - нули функции.

8. Функция неограниченная, так как .

График функции называется тангенсоидой.

y

x

p

-1

- p

Свойства и график тригонометрической функции .

1. Область определения функции: или .

2. Множество значений функции: .

Вывод: График функции расположен между прямыми , .

3. Функция нечетная, то есть .

Вывод: График функции симметричен относительно начала координат.

4. Функция периодическая, так как сtg ( x + p k ) = сtg x, k Î Z.

Вывод: График функции повторяется через p.

5. Функция не монотонная на всей области определения, но функция убывающая в каждом из промежутков x Î ( 0 +p k; p+p k ), k Î Z.

6. Функция необратимая на области определения.

7. y = 0; при - нули функции.

8. Функция неограниченная, так как .

График функции называется котангенсоидой.

x

y

p

-1

- p

2 p

Тригонометрические уравнения.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Определение: Уравнение называется тригонометрическим, если оно содержит переменную только под знаками тригонометрических функций.

Определение: Решить тригонометрическое уравнение – значит найти все действительные числа, обращающие уравнение в тождество, или доказать что их нет.

Пример: Решить уравнение: cos х – sin х = 0.

Решение: Данное уравнение равносильно уравнению cos х = sin х.

Углы, радианные меры которых удовлетворяют этому уравнению, могут находиться в первой и третьей координатных четвертях, так как синус и косинус имеют в них одинаковые знаки. Синус и косинус имеют одинаковые значения при углах х = … или х = .

Ответ: х = .

Определение: Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида: sin х = а, cos х = а, tg х = а, ctg х = а, где

а – данное действительное число.

Замечание: Решение любого тригонометрического уравнения сводится к решению простейших тригонометрических уравнений.

Так как тригонометрические функции являются периодическими функциями, достаточно найти корни уравнений на отрезке длиной равной основному периоду тригонометрической функции.

sin х = а

1. а > 1, а < – 1, sin х = а корней нет.

2. а = 1, sin х = 1 .

3. а = 0, sin х = 0 .

4. а = – 1, sin х = – 1 .

5. – 1 < а < 1, sin х = а х ₁ = arcsin а + 2pk, k Î Z

х ₂ = p – arcsin а + 2pk, k Î Z.

Или

х _{1, 2} = ( – 1 ) ^к · arcsin а + pk, k Î Z.

Пример: Решить уравнения:

№1. sin 3х = – 1 .

№2. sin ( 2х – ) = 0 2х – = pk 2х = + pk

№3. sin =

Ответ: .

cos х = а

1. а > 1, а < – 1, cos х = а корней нет.

2. а = 1, cos х = 1 х = .

3. а = 0, cos х = 0 х = .

4. а = – 1, cos х = – 1 х = .

5. – 1 < а < 1, cos х = а х ₁ = arccos а + 2pk, k Î Z

х ₂ = – arccos а + 2pk, k Î Z.

Или

х _{1, 2} = ± arccos а + 2pk, k Î Z.

Пример: Решить уравнения:

№1. cos ( 3х – ) = 1 3х – = 2pk 3х = + 2pk х = .

№2. cos ( х – ) = х₁ – = arccos + 2pk х₂ – = – arccos + 2pk

х₁ – = + 2pk х₂ – = – + 2pk

х₁ = + + 2pk х₂ = – + + 2pk

х₁ = + 2pk, k Î Z. х₂ = 2pk, k Î Z.

Ответ: х₁ = + 2pk, х₂ = 2pk, k Î Z.

№3. cos =

, k Î Z , k Î Z.

Ответ: , , k Î Z.

tg х = а, а - любое число, х = arctg а + pk, k Î Z

ctg х = а, а - любое число, х = arcсtg а + pk, k Î Z

Пример:

№1. tg 2х = 2х = arctg + pk 2х = .

№2. сtg = 7 = arcсtg 7 + pk x = 3 arcсtg 7 + 3 pk, k Î Z.

№3. сtg tg x = - 1 x = arctg (- 1 ) + pk x = + pk, k Î Z.

20. 2. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратному.

Замечание: При решении тригонометрических уравнений целого вида, содержащих синусы и косинусы, область допустимых значений не устанавливается, так как эти функции определены для любого действительного значения.

Пример №1: Решить уравнение: 8 sin ² x - 6 sin x - 5 = 0.

Решение:

Введем новую переменную у = sin x, получим квадратное уравнение:

8 у ² - 6 у - 5 = 0; D = b ² - 4ac; D = (- 6 )² - 4 · 8 · (- 5 ) = 196;

; ; y₁ = ; y₂ = ;

sin x = ; х _{1, 2} = ( – 1 ) ^к · arcsin + pk; х _{1, 2} = ( – 1 ) ^к · + pk;

.

cos 3x = корней нет, так как - 1 £ cos 3x £ 1.

; ; y₁ = ; y₂ = ;

sin x = корней нет, так как - 1 £ sin x £ 1.

sin x = х _{1, 2} = ( – 1 ) ^к · arcsin + pk, k Î Z.

Ответ: х _{1, 2} = ( – 1 ) ^к · arcsin + pk, k Î Z.

20. 3. Однородные тригонометрические уравнения.

Определение: Тригонометрическое уравнение вида a sin x + b cos x = 0

(a Î R, b Î R, a ¹ 0, b ¹ 0 ) называется однородным первой степени относительно sin x иcos x.

Определение: Тригонометрическое уравнение вида a sin ² x + b sin x cos x + с cos ²x = 0

(a Î R, b Î R, с Î R, a ¹ 0, b ¹ 0, с ¹ 0 ) называетсяоднородным второй степени относительно sin x иcos x.

Способ решения: Значения аргумента х, при которых sin x = 0 или cos x = 0, не являются корнямитригонометрического уравнения однородного n -ой

степени относительно sin x и cos x, так как если sin x = 0

( cos x = 0 ), то из данного уравнения следует равенство cos x = 0

( sin x = 0 ), а из основного тригонометрического тождества следует, что косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому чтобы решить тригонометрическое уравнение однородное n -ой степени относительно sin x и cos x , можно обе части уравнения разделить на или .

 

Пример №1: Решить уравнение: sin x + cos x = 0.

Решение:

При решении тригонометрических уравнений, содержащих дроби, устанавливается область допустимых значений, так как необходимо исключить значения переменной, при которых знаменатели дробей обращаются в нуль.

Пример №1: Решить уравнение: sin x tg x + 1 = sin x + tg x.

Решение:

х

у

Определим область допустимых значений данного уравнения: tg x не существует при углах вертикального диаметра, значит х ¹ .

sin x tg x + 1 - sin x - tg x = 0;

Преобразуем левую часть в произведение с помощью группировки:

sin x tg x - sin x + 1 - tg x = 0;

sin x ( tg x - 1 ) - ( tg x - 1 ) = 0;

( tg x - 1 ) ( sin x - 1 ) = 0;

Тригонометрические функции.

Тригонометрические уравнения и неравенства.

123Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Анализ общего качества уравнения регрессии.
2. Вывод уравнения теплопроводности плоской стенки
3. Выполнение расчетов. Формулы и уравнения
4. Геометрическая и энергетическая интерпретация уравнения Бернулли
5. Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
6. Графический метод интегрирования уравнения движения (метод пропорций)
7. Дать анализ уравнения тягового баланса трактора.
8. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
9. Исследование кривых второго порядка по их каноническим уравнениям
10. коэффициентов уравнения множественной регрессии
11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка
12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами.