Ток, напряжение, энергия и мощность в электрических цепях. Баланс мощностей.

Цепи синусоидального тока. Получение синусоидального ЭДС. Основные характеристики синусоидальных величин.

Переменный ток – электрический ток, изменяющийся с течением времени. Значение переменного тока, а также напряжение и ЭДС в любой момент времени t называется мгновенным значением. i=i(t), u=u(t), e=e(t)

Наибольшее из мгновенных значений периодически изменяющихся величин называется максимальными или амплитудными значениями и обозначаются U_m, I_m, E_m

Под переменным током обычно подразумевается синусоидальный ток – периодический электрический ток. Являющийся синусоидальной функцией времени. В электрических цепях синусоидальный ток создается под действием синусоидальной ЭДС. Генератор переменного тока состоит из электромагнита, между полюсами которого расположен якорь с обмоткой. При вращении якоря приводным двигателем с частотой α /t в витках возбуждается ЭДС.

Промежуток времени Т, в течение которого ЭДС (ток) совершает полное колебание и принимает прежнее по величине и знаку значение, называется периодом.

Число периодов в секунду – частота переменного тока. f=1/Т (Гц- герц)

Величина w - угловая частота = числу периодов за 2π секунд.

Действующее значение тока - это среднее квадратичное значение электрического тока за период, численно равное значению такого эквивалентного постоянного тока, при котором на сопротивлении выделяется такое же количество теплоты, как и при переменном. I=I_m/ √ 2

Если в начальный момент времени e(0)=E_m sin(0+α ) – не равно нулю и будет определяться начальным углом α. Называемый фазовым углом или просто начальной фазой.

Получим e=E_msin(α )=E_msin(wt+α ).

Способы представления синусоидальных величин (тригонометрическими функциями, графиками изменений во времени, вращающимися векторами, комплексными числами).

1)аналитическая (тригонометрическая) форма записи:

e=E_msin( ψ )=E_msin(wt+ ψ e), i=I_msin( ψ )=E_msin(wt+ ψ i), u=U_msin( ψ )=E_msin(wt+ ψ u)

2)графическая

3)в виде радиус-вектора в декартовой системе координат

4)изображение синусоидальной величины на комплексной плоскости.

I_ma=I_mcosψ _i – активная составляющая, I_mp=I_msinψ _i – реактивная составляющая

ψ _i=arctg(I_mp/I_ma) I_m=√ (I²_ma+I²_mp)

Im, Em, Um – комплексные амплитудные значения

I_m=(I_ma+jI_mp) {алгебраическая}= I_m(cosψ i+jsinψ i) {тригонометрическая}= I_me^{jψ i} {показательная}

Неразветвленная цепь переменного тока с резистивным сопротивлением R, конденсатором емкостью С и катушкой индуктивностью L (сопротивления, проводимости, ток напряжение, мощность, векторная диаграмма )

12.Расчет и анализ сложной разветвленной электрической цепи переменного тока. Символический метод (последовательность, особенности и пример расчета).

Z₁=R₁–jX_L₁=; Z₂= j(X_L₂– jX_C₂)=; Z₃= j(X_L₃– jX_C₃₎=; Z₄= R4=; Z₅= R₅+j(X_L₅ – X_C₅)=; Z₆= R₆=; Z₇= R7+j(X_L₇– X_C₇)j=

Для мгновенных значений:

1 закон Кирхгофа: узел 1: i₁+i₂-i₅+j₁=0, узел 2: i₆-i₂-i₁-i₇-j₁=0, узел 3: i₇+i₅-i₄-j₄-i₃=0

2 закон Кирхгофа: контур 030:

контур 0230:

контур 2132:

контур 212:

Для действующих значений:

1 закон Кирхгофа: узел 1: I₁+I₂-I₅+J₁=0, узел 2: I₆-I₂-I₁-I₇-J₁=0, узел 3: I₇+I₅-I₄-J₄-I₃=0,

2 закон Кирхгофа: контур 030: I₄*Z₄-I₃*Z₃Š 0, контур 0230: I₆*Z₆+I₇*Z₇+I₄*Z₄Š 0, контур 212: -I₂*Z₂+I₁*Z₁Š E₂, контур 2132: I₁*Z₁+I₅*Z₅-I₇*Z₇Š E₅

Переходнве процессы в разветвленных цепях первого порядка. Дифференцирующие и интегрирующие звенья (свойства, схемы реализации).

Если в цепи только катушка или только конденсатор (или их батарея)- цепь 1-го порядка.

Порядок расчета:

1) В исходной схеме указывается направление тока.

2) Определяем в схеме до коммутации t=(0_) значения токов и напряжений ( i_L(0_) и u_C(0_) ), на основании которых можно определить значения в t=(0+).

3) В схеме после коммутации t-> ∞ определяем установившиеся значения искомых токов и напряжений.

4) Составляем характеристические уравнения из которых определяем р корни.

5) Определяем искомые значения токов и напряжений требующиеся в задаче.

Характеристическое уравнение 1-ой степени имеет 1 корень – действительное отрицательное число.

i(t)=i_уст+i_св= i_уст+Ae^pt при t=0

(относительно емкости)

(для индуктивности ) – постоянная времени цепи(в течении которого свободная составляющая цепи уменьшиться в e раз).

Переходной процесс заканчивается за время

А – постоянная интегрирования.

Ток, напряжение, энергия и мощность в электрических цепях. Баланс мощностей.

Электри́ ческий ток — направленное движение электрически заряженных частиц, например, под воздействием электрического поля. Такими частицами могут являться: в проводниках — электроны, в электролитах — ионы (катионы и анионы), в полупроводниках — электроны и дырки (электронно-дырочная проводимость).

Ток – постоянный(I=const действующее значение переменного тока)

– переменный (i – мгновенное значение переменного тока) i=I_mSin(wt)

Напряжение – отношение затраченной энергии для перемещения заряда из одной точки в другую точку цепи. U=dW/dq; W=∫ u_idt

Электри́ ческая мощность — физическая величина, характеризующая скорость передачи или преобразования электрической энергии. S=P+jQ

— полная мощность, ВА (вольт-ампер)

— активная мощность, Вт (ватт)

— реактивная мощность, ВАр (вольт-ампер реактивный)

Название	Напряжение	ток	мощность
Активное сопрот.	U=Ri	i=U/R	P=I²R=U²g g=1/R
Индуктивное сопрот.	u_L=Ldi/dt	i_L=1/L∫ u_Ldt	W_L=Li²/2
Емкостное сопрот.	u_C=1/C∫ i_Cdt	i_C=Cdu_C/dt	W_C=CU²/2

Баланс мощностей:

∑ Pист=∑ Pпотр

∑ I_iE_i +∑ J_k U_k=∑ I_j² R_j

2.Расчет простейших цепей с одним источником энергии (метод эквивалентных преобразований, входная и взаимная проводимости, принцип взаимности и теорема компенсации)

Входные и взаимные проводимости. Входной проводимостью g_mm ветви m называется отношение тока I_m ветви m к э.д.с. E_m источника, помещенного в эту ветвь, при отсутствии э.д.с. в других ветвях: g_mm=I_m_/E_m

Взамной (передаточной) проводимостью g_km называется отношение тока I_k ветви k к э.д.с. E_m источника ветви m. g_km=I_k/E_k

Принцип взаимности справедлив для линейных электрических цепей с одним источником э.д.с. и может быть сформулирован следующим образом: если источник э.д.с. E действует в любой ветви сколь угодно сложной цепи, не содержащей других источников э.д.с., вызывает в другой ветви ток I, то будучи перенесенным в последнюю, вызовет в первой ветви такой же ток I.

На принципе взаимности основан метод взаимности. Этот метод удобно применять для расчета цепей с одним источником э.д.с., когда его перенос упрощает расчет цепи.

Теорема компенсации. Токи в цепи не изменяются, если любое сопротивление (участок цепи) заменить источником с э.д.с., по величине равной падению напряжения на данном сопротивлении (участке цепи) и направленной навстречу току.

3.Методы расчета сложных электрических цепей. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа (последовательность, особенности и пример расчета)

Зако́ ны Кирхго́ фа (или правила Кирхгофа) — соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи.

Для формулировки законов Кирхгофа, в электрической цепи выделяются узлы — точки соединения трёх и более проводников и контуры — замкнутые пути из проводников. При этом каждый проводник может входить в несколько контуров.

Первый закон (ЗТК, Закон токов Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма токов в любом узле любой цепи равна нулю (значения вытекающих токов берутся с обратным знаком):

Второй закон (ЗНК, Закон напряжений Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих вдоль этого же контура. Если в контуре нет ЭДС, то суммарное падение напряжений равно нулю:

Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений. Токи, втекающие в узел, считаются положительными, а вытекающие — отрицательными.

Если направление тока совпадает с направлением обхода контура (которое выбирается произвольно), перепад напряжения считается положительным, в противном случае — отрицательным.

Законы Кирхгофа, записанные для узлов и контуров цепи, дают полную систему линейных уравнений, которая позволяет найти все токи и напряжения.

Запишем первый закон Кирхгоффа для 4 – 1 узлов:

узел 2: I₅=I₄+I₈+J₈ узел 4: J₂+I₂=I₇+I₄ узел 1: I₇+I₆=I₁

Запишем второй закон Кирхгофа для трех контуров:

контур 15231: I₁·R₁+I₈·R₈+I₆·(R₅+R₆)=E₈+E₆

контур 1341: I₁·R₁+I₂·R₂+I₇·R₇=0

контур 26432: -I₄·(R₈+R₃)-I₂·R₂+I₈·R₈=E₈

4.Методы расчета сложных электрических цепей. Метод наложения (последовательность, особенностт и примеры расчета)

Метод наложения справедлив для линейных электрических цепей, основан на принципе независимости действия источников. Он состоит в определении и последующем суммировании, т.е. наложении частичных токов ветвей от действия каждого источника в отдельности (или группы источников). При определении частичных токов i-го источника все остальные идеальные источники ЭДС закорачиваются, а ветви с идеальными источниками тока разрываются.

Метод наложения целесообразно применять в том случае, если цепь содержит мало источников и если и если их удаление приводит к упрощению схемы. Действительное направление токов определяется направлением действия источника, а направление результирующего тока определяется знаком алгебраической суммы составляющих.

5. Метод расчета сложных электрических цепей. Метод контурных токов (последовательность, особенности и примеры расчета).

Составляем количество уравнений, равное количеству уравнений составленных по второму закону Кирхгофа, выбираем взаимонезависимые контуры, не содержащие источники тока, но их влияние учитывается!! Ток находится обязательно по всем элементам входящим в этот контур. УКАЗЫВАЕМ направление обхода контура. Истинное значение токов в ветви = алгебраической сумме контурных токов проходящих в данной ветви.

I_III(R₁+R₂+R₇)– I_IIR₂– I_IR₁= J₂R₂

I_I(R₅+R₆+R₁+R₈)– I_II R₈– I_III·R₁ =-E₆- E₂

I_II(R₄+R₃+R₂+R8) – I_IIIR₂– I_IR₈= E₈– J₂R₂+J₈R₈

I₁= I_III–I_I

I₂= I_II–I_III+J₂

I₄= I₃= –I_II

I₆= I₅= –I_I

I₇= I_III

I₈= I_II–I_I–J₈

6. Методы расчета сложных электрических цепей. Метод узловых потенциалов (последовательность, особенности и пример расчета)

-Записывают уравнения для токов в ветвях схемы по обобщенному закону Ома (при этом один из потенциалов принимают =0).

-Записывают для всех узлов, кроме одного, уравнения по 1 закону Кирхгофа.

-В уравнения 1-ого закона Кирхгофа подставляют токи из уравнений обобщенного закона Ома, раскрывают скобки и проводят подобие относительно потенциалов узлов.

φ ₄·(1/R₇+1/(R₄+R₃)+1/R₂) – φ ₂·(1/(R₄+R₃))–φ ₁·(1/R₇) =J₂,

φ ₁·(1/R₁+1/(R₅+R₆)+1/R₇)– φ ₂·(1/(R₅+R₆) )– φ ₄·(1/R₇)= E₆/(R₅+R₆)

φ ₂·(1/(R₈+1/(R₆+R₅)+1/(R₄+R₃)) – φ ₄·(1/(R₄+R₃)) – φ ₁·(1/(R₆+R₅))= –E₆/(R₆+R₅)+E₈/R₈+J₈

I₁= ( φ ₁– φ ₃)/R₁

I₂= ( φ ₃– φ ₄)/R₂

I₃= I₄= ( φ ₄– φ ₂)/(R₃ + R₄)

I₆= I₅= ( φ ₂– φ ₁+E₆)/(R₆+ R₅)

I₇= ( φ ₄– φ ₁)/R₇

I₈= ( φ ₃– φ ₂+E₈)/R₈

7. Методы расчета сложных электрических цепей. Метод двух узлов (последовательность, особенности и пример расчета).

Метод двух узлов — метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем и токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы.

Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов.

Формула для расчета напряжения между двумя узлами: U_ab=∑ E_ig_i/∑ g_i

8.Методы расчета сложных электрических цепей. Метод эквивалентного генератора(последовательность, особенности и пример расчета).

этот метод используется, если требуется рассчитать ток в одном сопротивлении в одной из ветвей, не рассчитывая в других ветвях. Размыкаем ветвь, убираем все сопротивления осуществляем режим холостого хода. Источники ЭДС не имеющие внутреннее сопротивление закорачиваются, если имеют оставляются их внутренние сопротивления. Ветви с источниками тока размыкаются сопротивления идеального источника=∞. Определяем эквивалентное сопротивление и Uxx.

Uxx=-I’₅·R₅₆- I’₈·R₈+Е₆+E₈

12 Следующая ⇒