Резонанс в электрических цепях. Резонансы в последовательном и параллельном контурах (определение, условие, следствия, характеристики).

Последовательное соединение:

Z=√ (R²+(X_L-Xc)²)

Между катушкой и конденсатором происходит обмен энергиями, при котором мгновенное значение ЭДС самоиндукции катушки e и напряжение конденсатора uс в любой момент времени направлены на встречу друг к другу. Так в момент времени, когда конденсатор заряжается, возрастающее напряжение конденсатора uc направлено противоположно току (мешая зарядке), и ток уменьшается (при полной зарядке конденсатора он станет равным нулю). Уменьшение тока вызывает ЭДС самоиндукции eL в катушке, которая стремится по закону Ленца, увеличить ток. В результате uc и eL направлены навстречу друг другу и энергия магнитного поля катушки посредством ЭДС eL преобразуется в энергию конденсатора. При разрядке конденсатора все происходит наоборот.

За счет емкости можно уменьшить реактивное сопротивление цепи X=X_L-Xc , что увеличит ток, а значит и падение напряжения U_L=IX_L

В зависимости от соотношений XL и Xc возможны три режима работы цепи:

а) напряжение цепи опережает ток по фазе на угол (который считают положительным) и цепь в целом имеет активно-индуктивный характер;

б) напряжение в цепи отстает по фазе от тока на угол (который считаю отрицательным) и цепь в целом имеет активно-емкостной характер;

в) напряжение т ток цепи совпадают по фазе, характер цепи в цело чисто активный.

Последний режим называется резонансом напряжений, при котором U_L=Uc, X_L=Xc ; настроить цепь в резонанс напряжений можно путем изменения X_L или Xc, т.е. изменяя С, L или f.

Реактивное сопротивление цепи при резонансе напряжений X=X_L - Xc=0. поэтому ток максимальный т.к. Iрез=U/√ (R²+(X_L-Xc)²), и f=1/(2π √ LC). Явление резонанса в электрических цепях нашло широкое применение в электротехнике, радиотехнике и электронике. Так, в радиотехнике резонанс – почти единственный путь, позволяющий отделить сигналы нужной радиостанции от остальных сигналов. резонансное реле – в системах автоматического управления. Однако при определенных условиях резонансные явления в электрических цепях могут оказаться вредоносными, способными разрушить электроустановку(пробой электроизоляции установки).

Параллельное соединение:

При расчетах реактивный ток индуктивного характера берется со знаком «плюс», а емкостного характера – со знаком «минус», так как катушка и конденсатор обмениваются энергиями.

Анализируя векторную диаграмму, можно сделать вывод о роли конденсатора в схеме цепи. Если емкость конденсатора подобрать так чтобы Ip=Ir. В этом случае источник выдает в цепь только активную мощность. Реактивную мощность катушка получит от конденсатора за счет обмена энергиями, и ток цепи совпадает по фазе с напряжением. Такой режим цепи называется резонансом токов. Настроить цепь на резонанс можно изменением индуктивности, емкости или частоты. Из диаграммы видно, что при резонансе токов ток цепи минимальный. Таким образом, подключая конденсатор параллельно катушке, можно значительно уменьшить ток, потребляемый катушкой от источника.

18.Электрические цепи с индуктивно связанными элементами (основные понятия, определения и характеристики).

Две катушки называются индуктивно связанными, если при изменении тока в одной из катушек приводит к наведению ЭДС в другой катушке (или к возникновению ЭДС катушки) такая ЭДС называется взаимной индукцией.

Ф₁₁ -> -e₁₁ = -L1 di₁/dt {ЭДС самоиндукции 1-ой катушки}

Ф₂₂ -> -e₂₂ = -L2 di₂/dt {ЭДС самоиндукции 2-ой катушки}

Ф₂₁- магнитный поток во 2-ой катушке, создающийся током в 1-ой катушке.

Ф₁₂- магнитный поток во 1-ой катушке, создающийся током в 2-ой катушке.

w₁ -количество витков 1-ой катушки, w₂ - количество витков 2-ой катушки.

ψ = |M₂₁ i₁| -потокосцепление во 2-ой катушке, создающийся током 1-ой.

ψ = |M₁₂ i₂ | -потокосцепление в 1-ой катушке, создающийся током 2-ой.

M=M₂₁=M₁₂ – коэффициент взаимной индукции

e₂₁=M₁₂ di₁/dt e₁₂=M₂₁ di₂/dt

e₁=e₁₁±e₁₂ - суммарная ЭДС в 1-ой катушке, состоящая из ЭДС самоиндукции ± ЭДС взаимоиндукции

e₂=e₂₁±e₂₂ - суммарная ЭДС во 2-ой катушке, \-\-\

+ согласно, - встречно

степень связи:

К₂₁= (-M di₁/dt)/(-L₁ di₁/dt)=M/L₁ - определяет, какая часть магнитного потока сцепляется с витками 2-ой катушки при прохождении тока в 1-ой;

K₁₂= (-M di₂/dt)/(-L₂ di₂/dt)=M/L₂

K=√ K₁₂*K₂₁=M/(√ L₁*L₂); 0< K< =1

М зависит от: взаимного расположения катушек, от количество витков в катушках, геометрического расположения, магнитной проницаемости среды

К зависит от: взаимного расположения катушек, намотки (плотность и количества витков катушки).

19.Способы определения взаимной индукции в электрических цепях с индуктивно связанными элементами.

Одноименные зажимы – зажимы, относительно которых направление тока будет одно и то же, при этом магнитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции складываются.

Одноименные зажимы Ф₁₁↑ ↑ Ф₂₂e₁=e₁₁+e₁₂ e₂=e₂₁+e₂₂ - согласное соединение

Одноименные зажимы Ф₁₁↑ ↓ Ф₂₂e₁=e₁₁-e₁₂ e₂=e₂₁-e₂₂ - встречное соединение

При последовательном соединении:

u₁=i₁r₁-e₁ u₂=i₂r₂-e₂ u=u₁+u₂=r₁i+L₁ di/dt ± Mdi/dt + r₂i+ L₂di/dt ±Mdi/dt

Z_экв=r_экв+jX_экв_,r_экв=r₁+r₂

Xэкв=XL₁+XL₂±2X_M, X_L1=wL₁, X_L2=wL₂ X_M=wM, Lэкв=L₁+L₂±2M;

При параллельном соединении:

Z₁=r₁+jX_L₁

Z₂=r₂+jX_L2

Z_M=jwM

I=I₁+I₂

U=I₁Z₁±I₂Z_M

U=I₂Z₂±I₁Z_M

При согласном включении: Zвх=(Z₁Z₂-Z²_M)/(Z₁+Z₂ - 2Z_M) -> I₁=U(Z₂- Z_M)/(Z₁Z₂- Z²_M)

При встречном включении: Zвх=(Z₁Z₂-Z²_M)/(Z₁+Z₂+2Z_M) -> I₂=U(Z₁+Z_M)/(Z₁Z₂- Z²_M)

20.Разветвленные электрические цепи с индуктивно связанными элементами (пример расчета и построение векторной диаграммы).

{воздушный трансформатор}

По 2-му закону Кирхгофа: I₁r₁+jX_L₁I₁-jX_MI₂=U₁, X_L=wL, X_M=wM

I₂r₂+jX_L2I₂-jX_MI₁+U₂=0

U₂=I₂(Z_H±X_M), K_T=w₂/w₁=E₁/E₂=I₂/I₁

21.Четырехполюсники (определения, классификация, системы уравнений, связь между коэффициентами)

Четырехполюсник – электрическая цепь, содержащая 4 зажима, из которых 2 входных и 2 выходных.

Четырехполюсник – это источник питания: 1)автономные(батарейка, аккумулятор); 2)неавтономные (усилитель резистора). Служит в качестве связного звена источника и приемника, обычно к зажимам 11’присоединяеться источника, а у 22’ – нагрузка.

Обычно задано 2-входных значения требуется определить 2-остальнхых значения(первичные параметры).

А-форма: U₁=A₁₁U₂+A₁₂I₂, I₁=A₂₁U₂+A₂₂I₂

B-форма: U₂=B₁₁U₁+B₁₂I₁, I₂=B₂₁U₁+B₂₂I₁

Z-форма: U₁=Z₁₁I₁+Z₂₁I₂, U₂=Z₂₁I₁+Z₂₂I₂

Y-форма: I₁=Y₁₁U₁+Y₁₂U₂, I₂=Y₂₁I₁+Y₂₂U₂

H-форма: U₁=H₁₁I₁+H₁₂U₂, I₂=H₂₁I₁+H₂₂U₂

G-форма: I₁=G₁₁U₁+G₁₂I₂, U₂=G₂₁U₁+G₂₂I₂

Определение А-параметров:

При холостом ходе (ХХ) относительно зажимов 22’(I₂=0)

А₁₁=U₁/U₂ {безразмерное}

A₂₁=I₁/U₂ {Сименсы}

При коротком замыкании (КЗ) относительно зажимов 22’ (U₂=0)

А₂₁=U₁/I₂ {Омы}

A₂₂=I₁/I₂ {безразмерное}

А₁₁А₂₂- А₂₁А₁₂=1 – справедливо для всех пассивных четырехполюсников

Если А₁₁=А₂₂ - четырехполюсник симметричный

Y₁₂=Y₂₁ - четырехполюсник взаимный

Четырехполюсник называется эквивалентный, если все входные в выходные величины равны.

Любой четырехполюсник можно представить в виде Г-образного, Т-образного и П-образного четырехполюсника.

22.Способы определения коэффициентов уравнений и входных сопротивлений четырехполюсника.

Пара сопротивлений Z₁_C, Z₂_C – называются характеристическими сопротивлениями, когда:

1)если к зажимам 22’ подключить Z₂_C _,то входное сопротивление относительно зажимов 11’ будет Z₁_C

2)если к зажимам 11’ подключить сопротивление Z₁_C _, то входное сопротивление относительно зажимов 22’ Z₂_C

При питании четырехполюсника со стороны зажимов 11’:

Z_1C=U₁/I₁=(A₁₁U₂+A₁₂I₂)/(A₂₁U₂+A₂₂I₂)= [U₂=I₂Z_2C]= (A₁₁Z_2C+A₁₂)/(A₂₁Z_2C+A₂₂)

При питании со стороны 22’: Z_2C=U₂/I₂=(A₂₂U₁+A₁₂I₂)/(A₂₁U₁+A₁₁I₁)= [U₁=I₁Z_1C]= (A₂₂Z_1C+A₁₂)/(A₂₁Z_1C+A₁₁)

Z_1C=√ A₁₁A₁₂/(A₂₁A₂₂) Z_2C=√ A₂₂A₁₂/(A₂₁A₁₁)

При питании со стороны зажимов 11’: Z₁_X=A₁₁/A₂₁ Z₁_K=A₁₂/A₂₂-> Z₁_C=√ Z₁_KZ₁_X

chg=√ A₁₁A₂₂-> shg=√ A₂₁A₁₂ -> e^g=Ae^j=√ A₁₁A₂₂+√ A₂₁A₁₂

g=a+jb – постоянная передачи четырехполюсника, где а – коэффициент затухания, которая указывает во сколько раз U₂ на выходе четырехполюсника U₁ на выходе четырехполюсника (измеряется в разах или неперах), где b - угол сдвига фаз между входным и выходным напряжениями, а также между входным и выходным токами.

√ Z_1C/Z_2C=√ A₁₁/A₂₂ √ Z_1CZ_2C=√ A₁₂/A₂₁ -> A₁₁=(√ Z_1C/Z_2C)chg A₂₂=(√ Z_2C/Z_1C)chg A₁₂=(√ Z_1CZ_2C)shg A₂₁=shg/(√ Z_1CZ_2C)

Получим систему:

U₁=(√ Z_1C/Z_2C)chg U₂ + (√ Z_1CZ_2C) shg I₂

I₁= shg/(√ Z_1CZ_2C) U₂ + (√ Z_2C/Z_1C) chg I₂

При согласном включении (в качестве нагрузки в зажимам 22’ подключается сопротивлении равное Z₂_C при входном сопротивлении со стороны зажимов 11’ = Z₁_C )

U₂=I₂Z_2C U₁=(√ Z_1C/Z_2C)U₂(chg+shg)=(√ Z_1C/Z_2C)U₂e^g

I₁=(√ Z_2C/Z_1C)I₂(chg+shg)=(√ Z_2C/Z_1C) I₂e^g

⇐ Предыдущая 12