Законы Кирхгофа. Расчет ЭЦ по закона Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

Где i - число ветвей, сходящихся в данном узле.

Т.е., суммирование распространяется на токи в ветвях, которые сходятся в рассматриваемом узле.

Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, определяется формулой:

Nуp = Nу – 1, где Nу – число узлов в рассматриваемой цепи.

Знаки токов в уравнении берутся с учетом выбранного положительного направления. Знаки у токов одинаковы, если токи одинаково ориентированы относительно данного узла.

Тогда уравнение по первому закону Кирхгофа запишется так:

I₁ – I₂ + I₃ – I₄ = 0.

Этот закон выражает, что в узле электрический заряд не накапливается и не расходуется.

Второй закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма Э.Д.С. в любом замкнутом контуре цепи равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура:

, где i – номер элемента (сопротивления или источника напряжения) в рассматриваемом контуре.

Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, определяется формулой:

Nуp = Nb – Nу + 1 – Nэ.д.с., где Nb – число ветвей электрической цепи, Nу - число узлов, Nэ.д.с. - число идеальных источников э.д.с.

Для того, чтобы правильно записать второй закон Кирхгофа для заданного контура, следует выполнять следующие правила:

1. произвольно выбрать направление обхода контура, например, по часовой стрелке (рис.18).

2. э.д.с. и падения напряжения, которые совпадают по направлению с выбранным направлением обхода, записываются в выражении со знаком «+»; если э.д.с. и падения напряжения не совпадают с направлением обхода контура, то перед ними ставится знак «-».

Например, для контура рисунке, второй закон Кирхгофа запишется следующим образом:

U₁ – U₂ + U₃ = E₁ – E₃ – E₄

Уравнение (20) можно переписать в виде:

S (Ui – Ei) = 0, где (U – E) – напряжение на ветви.

Следовательно, второй закон Кирхгофа можно сформулировать следующим образом:

Алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре равна нулю.

Задача №1.

Для схемы рис.2 составить уравнения по законам Кирхгофа и определить неизвестные точки.

Дано: I₁ = 20мA; I₂ = 10мA

R₁ = 5kОм, R₃ = 4kОм, R₄ = 6kОм, R₅ = 2kОм, R₆ = 4kОм.

Решение:

Число узловых уравнений – 3, число контурных уравнений – 1.

В данной цепи известны токи ветвей I₁ и I₂. Неизвестные токи I₃, I₄, I₅, I₆.

Решая систему, получаем: I₃ = 13, 75 мA; I₄ = -3, 75мA; I₅ = 6, 25мA; I₆ = 16, 25мA.

Метод контурных токов.

Позволяет уменьшить количество уравнений описывающих состояние электрической цепи.

N kt = NB-(NУ-1)- NI

Для каждого источника тока нужно выбрать свой контур. Направление контура выбирается по направлению источника тока. В одном контуре может быть только один источник тока если источник тока включён в контур, то контурный тока равен источнику тока. Через один источник тока нельзя проводить два и более контуров.

1)Нужно определить количество контурных токов, которые нужно изобразить.NKT= Nв – (Nу - 1)

2) Количество уравнений которых будем считать.NKT= Nв – (Nу - 1) - Ni

I1R1 + I4R4 + I6R6 = E1 + E6

I2R2 - I4R4 + I5R5 = -E2

I3R3 - I6R6 - I5R5 = E3 - E6

Из узла 2:

I4 = I1 – I2; I5 = I2 – I3; I6 = I1 - I3;

I1R1 + I1R4 - I2R4 - I3R6 + I1R6 = E1 + E6

I2R2 + I2R5 - I3R5 - I1R4 + I2R4 = - E2

-I2R5 + I3 R5 + I3R3 + I3R6 - I1R6 = E3 - E6

I1(R1 + R4 + R6) - I2R4 - I3R6 = E1 + E6

- I1R4 + I2(R2 + R4 +R5) - I3R5 = - E2

- I1R6 - I2R5 + I3(R5 + R3 + R6) = E3 - E6

В полученной системе уравнений обозначим токи I1, I2, I3 как I1k, I2k, I3k

(I k- контурный ток)

R1 + R4 + R6 = R11 – сопротивление контура

R2 + R4 + R5 = R22

R3 + R5 + R6 = R33

R12 = -R4 – общее сопротивление для контуров 1 и 2

R13 = -R6 – общее сопротивление для контуров 1 и 3

R21 = -R4, R23 = - R54, R31 = - R6, R32 = - R5

E1 + E6 = обобщённый источник контура 1

-E2 = E22

E3 - E6 = E33

Получим систему уравнений

I1k R11 + I2 k R12 + I3k R13 +... I n k R1n = E11

I1k R21 + I2 k R22 + I3k R23 +... I n k R2n = E22

I1k Rn1 + I2 k Rn2 + I3k Rn3 +... I n k Rn n = Enn

Определили I1k, I2k, I3k: I1k = I1; I2k = I2; I3k = I3;

Определили токи в ветвях: I4 = I1k - I2k; I5 = I2k – I3k; I6 = I1k – I3k

Метод узловых потенциалов. Пример расчета электрических цепей на основе МУП.

Метод узловых потенциалов заключается в том, что на основании первого закона Кирхгофа определяются напряжения в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Эти искомые напряжения называются узловыми напряжениями, причем положительное направление их указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному. Зная узловые напряжения в электрической цепи и сопротивление данной ветви, можно найти токи в ветвях.

Количество уравнений равно Nун = У – 1 – E

У – количествой узлов

E - количество источников напряжений включенных между узлами без сопротивлений

Для заданной электрической цепи с тремя узлами могут быть записаны два уравнения по первому закону Кирхгофа, а именно:

для узла 1: I1 – I2 – I3 = 0 (1)

для узла 2: I3 – I4 – I5 = 0

Выражаем токи через напряжения, источники напряжения и сопротивления цепи:

I1 = ( E1 – U13 ) / R1; I2 = U13 / R2; I3 = U12 / R3; (2)

I4 = ( E2 + U23 ) / R4; I5 = U23 / R5; U12 = U13 – U23;

Подставляем (2) в (1) и получаем систему:

E1/R1 - U13/R1 - U13/R2 - U13/R3 + U23/R3 = 0 (3)

U13/R3 - U23/R3 - E2/R4 - U23/R4 - U23/R5 = 0

Преобразовываем (3) и получаем систему:

U13(1/R1+1/R2+1/R3) - U23/R3 = E1/R1; (4)

-U13/R3+U23(1/R3+1/R4+1/R5) = -E2/R4;

G11=1/R1+1/R2+1/R3; - собственная проводимость узла 1

G12 = 1/R3; - взаимная проводимость узлов 1 и 2

J11=E1/R1; (5) - обобщенный источник тока узла 1

G21=1/R3; G22 = 1/R3+1/R4+1/R5, J22= - E2/R4;

Подставляем (5) в (4) и получаем систему:

U13*G11 - U23*G12 = J11; (6)

-U13*G21 + U23*G22 = J22;

Решая систему (6), можем легко найти U13 и U23. Принимая потенциал базисного узла за нуль; зная значения напряжений U13 и U23, и используя (2) можем найти токи в цепи.

В общем случае, если электрическая схема содержит q узлов, то получается система из q-1 уравнений:

U10*G11 – U20*G12 - … - U(q-1)0*G1(q-1) = J11;

-U10*G21 + U20*G22 - … - U(q-1)0*G2(q-1) = J22;

-U10*G(q-1)1 – U20*G(q-1)2 - … + U(q-1)0*G(q-1)(q-1) = J(q-1)(q-1);

В качестве примера расчета можно использовать схему, которая была использована в доказательстве метода.

Потенциальная или топографическая диаграмма(Д)

Потенциальная диаграмма – это графическое оборажение второго закона Кирхгофа (Сумма падений напряжений по замкнутому контуру равна 0).

На оси Х окладывается сопротивление определенного участка цепи, а на оси Y падение напряжения на нем.

Пример построения векторной диаграммы для следующей схемы:

Будем считать, что все токи в схеме больше 0. Потоенциал узала 1 примем равным 0.

U12 = I1 * R1

U23 = - E1

U34 = E3

U45 = - I3 * R3

U56 = - E5

U61 = I5 * R5

Метод эквивалентного генератора напряжения. Алгоритм решения задач на основе настоящего метода. Пример.

С помощью теоремы об эквивалентном источнике сложная эл. схема с произвольным числом источников энергии приводится к схеме с одним источником и одним сопротивлением.

Теорема Гельмгольца. Ток в любой ветви mn линейной эл. цепи не изменится, если эл. цепь, к которой подключена данная ветвь, заменится эквивалентным источником напряжения, который должен быть равным напряжению на выводах разомкнутой ветви mn, а внутреннее сопротивление источника должно равняться входному сопротивлению пассивной эл. цепи со стороны m и n при разомкнутой ветви mn.

Имеем ту же цепь, в которой источники напряжения заменены перемычками, а ветви с источниками тока разорваны.

Разбиваем на 2 схемы по методу наложения

В первой схеме (там где А) ток будет равен 0, во втрой схеме ток будет равен

I=U_mnxx/(R_г+R); (*)

Алгоритм решения МЭН:

1) В схеме определить Rген (источники удаляются и определяется сопротивление)

2) Определяется напряжение холостого хода

3) По формуле (*) определяется ток

Пример:

найти ток I_6.

1)R_г -? R_г=R₄+R₅;

2)U_12xx-?

U_12xx=I₄-E₅+I₅R₅;

I₄=I₃+I₁; I₅=I₁;

3) I₆= U_12xx(R_г+R₆);

Метод эквивалентного генератора тока. Алгоритм решения задач на основе настоящего метода. Пример.

Теорема Нортона: ток в любой ветви mn линейной электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока. Ток источника должен быть равен току, проходящему между m и n замкнутыми накоротко, а внутренняя проводимость источника тока должна равняться входной, пассивной в электрической цепи со стороны выводов m и n при разомкнутой ветви mn. Алгоритм решения:

Uхх m

m I

Rг R Rг R

1. Находим Rг.

2. Находим Iкзmn, для чего исследуемую ветвь заменяем перемычкой (короткое замыкание).

3. Окончательно получим:

Пример решения задачи методом эквивалентного генератора тока: Задача: найти ток I2.

R1 R3

I1 I2 R2 E3

1. m

R3 Rг = R3

2. R1 m R3

I1 Iкз E3

3. Находим искомый ток:

Теорема линейных цепей.

Теорема компенсации.

В электрической цепи любой пассивный элемент можно заменить эквивалентным источником напряжения, э.д.с. которого равна падению напряжения на данном элементе E=U=IR и направлена навстречу ему.

Справедливость этого утверждения вытекает из того, что любое из слагающих падения напряжений, входящих в уравнения по второму закону Кирхгофа может быть перенесено в другую сторону уравнения с противоположным знаком, т.е. может рассматриваться как дополнительная

э.д.с., направленная навстречу току.

Рис.31. Служит иллюстрацией к доказательству теоремы компенсации.

Если в ветвь ''ab'' рис.31, а последовательно включить две равные, но противоположно направленные э.д.с. E^/=E^//=IR, то точки ''a'' и ''d'', ''c'' и ''b'' оказываются соответственно точками одинакового потенциала:

Таким образом, закоротив точки ''a'' и ''d'' и исключив, получим этот участок из ветви «ab», получим схему рис. 31, в. Ток ветви при этом не изменится.

I. Теорема взаимности (обратимости).

Если источник э.д.с. k- ой ветви E_k вызывает в ветви «n» ток I_n, то этот же источник э.д.с., будучи включенным в ветвь «n» вызовет в ветви «k» тот же ток I_k=I_n.

Рис.32. Иллюстрация к теореме взаимности.

I_n=E_kq_kn, I_k=E_nq_nk (41)

Эти выражения вытекают из формулы 27, в.

Т.к. q_kn=q_nk и E_k=E_n, то I_n=I_k.

Все пассивные линейные электрические цепи обладают свойствами взаимности (обратимости).

Электрические цепи, для которых выполняется условие q_kn=q_nk называются обратимыми цепями.

Использование метода обратимости пассивных линейных электрических цепей в ряде случаев упрощает расчеты.

Пример.

Определить величину и направление тока I₄ в цепи, воспользовавшись для расчета цепи теоремой взаимности. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

E₁=10B; R₁=4Ом; R₂=6Ом; R₃=4Ом; R₄=1, 8Ом; R₅=1Ом.

Использование теоремы взаимности позволяет преобразовать сложную исходную цепь рис.1 в простую рис.2.

Простой цепь оказалась потому, что узлы «d» и «b» после переноса источника в ветвь c-d, связанные между собой проводом без сопротивления, слились в один узел. Следовательно, сопротивления R₁ и R₂ соединены параллельно. Так же параллельно соединены сопротивления R₃ и R₅.

На рис.3 эта же цепь изображена наглядно:

Эквивалентное сопротивление:

Ток Токи I₁^/ и I₅^/ найдем по правилу плеч:

Ток Но ток I^/ в схеме рис.2 после переноса источника в четвертую ветвь, согласно теореме взаимности, должен быть равен току I₄ в схеме рис.1 до переноса этого источника: I₄=I^/=0, 4(A)Следует обратить внимание на то, что направление э.д.с. на рис.2 выбрано совпадающим с положительным направлением тока этой ветви до переноса э.д.с. При этом положительное направление тока I^/ на рис.2 должно совпадать с направлением э.д.с. в этой ветви до переноса источника.

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒