Пределы применимости формулы Эйлера

Формулы Эйлера (9.33), (9.34) получены в предположении упругого поведения материала, т.е. при условии:

(9.45)

где - предел пропорциональности.

При из (9.45) получаем предельное значение гибкости:

(9.46)

разделяющей области упругой и неупругой потерь устойчивости стержня. Для малоуглеродистой стали , получаем:

Для алюминиевого сплава Д16Т (дюраль) , находим:

На практике часто элементы конструкций оказываются недостаточно гибкими и . В этих случаях формула Эйлера даёт неверные, завышенные, результаты. Впервые это обнаружил Ходкинсон (Англия) в своих опытах по продольному изгибу сжатых колонн в 1840г. Формула Эйлера подтверждалась для гибких стержней и обнаруживала значительные отклонения для коротких стержней.

Е. Ламарль (Бельгия) в 1845г. первым установил границу применимости формулы Эйлера. Он предложил для стержней малой гибкости принять критическое напряжение , равным пределу текучести В дальнейшем теория устойчивости Эйлера подверглась проверке в опытах И. Боушингера (1887г.), Л. Тетмайера и М. Консидера (1890-1896гг.)

В 1889г. Ф. Энгессер (Германия) предложил вычислить критическое напряжение по формуле Эйлера с заменой модуля упругости на касательный модуль ,

(9.47)

Напряжение, вычисляемое по формуле (9.47), называют критическим касательно-модульным напряжением Ф. Энгессера. Соответствующая формула для касательно-модульной нагрузки имеет вид:

(9.48)

Для построения диаграммы критических напряжений формулу (9.48) следует записать в виде:

(9.49)

Обрабатывая диаграмму сжатия , можно найти зависимость . Тогда для каждого правая часть в (9.49) вычисляется и поэтому становится известной гибкость .

На рис. 9.20 представлены диаграммы сжатия и критических напряжений.

а) б)

Рис. 9.20

В 1895г. Л. Тетмайер и Ф. Ясинский на основе анализа экспериментальных данных предложили для вычисления критических напряжений эмпирическую линейную формулу

(9.50)

где - наибольшее значение гибкости для которой ещё можно считать

Полагая в (9.50) и получаем:

откуда находим формулу для выражения коэффициентов:

(9.51)

На основании (9.51) ниже составлена таблица значений коэффициентов для некоторых материалов.

Таблица 9.1. Таблица значений коэффициентов для некоторых материалов

Материал
Сталь мало- углеродистая			-		266, 7	2/3
Сплав Д16Т (дюраль)	0, 75	-				3, 33
Сталь 30ХГСА (хромансил)	2, 1	-		52, 6		6, 65
Сталь 45			-			0, 7
Дерево (сосна)	0, 1	-				0, 2

Джонсон для материалов с площадкой текучести предложил для критического напряжения параболическую формулу:

(9.52)

Постоянные А, В определяются из условий при при Используя эти условия, находим:

После подстановки этих значений А, В в (9.52) получаем:

(9.53)

Как видно, для построения диаграммы критических напряжений достаточно знать всего две механические характеристики материала .

Формулу (9.53) можно записать в виде

(9.54)

где

(9.55)

эмпирический модуль Джонсона. Для его вычисления необходимо знать лишь и . Формула (9.54) записана в форме (9.47). Поэтому на модуль (9.55) можно смотреть как на приближённую аппроксимацию касательного модуля

Раздел «Динамическое действие нагрузок»

В предыдущих разделах рассматривалось такое нагружение конструкций, когда прикладываемые усилия изменялись настолько медленно, что возможно было считать их статическими. В инженерной практике же часто встречаются случаи, когда нагрузка достаточно быстро изменяет свое направление или величину, т.е. зависят от времени. Такое нагружение называется динамическим и вызывает значительные силы инерции в сооружении, которые приводят к появлению дополнительных (к статическим) напряжений и деформаций.

Известны случаи, когда инженерные конструкции, рассчитанные с большим запасом прочности на статическую нагрузку, разрушались под действием сравнительно небольших динамических сил. С целью избежания этих нежелательных явлений необходимо с особой тщательностью подходить к расчетам элементов конструкций, которые в данном случае более сложны, чем при статических нагрузках. Они требуют привлечения более сложных методов определения внутренних сил, учитывающих разнообразные воздействия динамической нагрузки, особенности сопротивляемости последним многих материалов. Так, при действии ударной нагрузки, характеризующейся чрезвычайно малой продолжительностью, многие материалы, которые при наличии статических сил проявляли себя пластичными, работают как хрупкие. В случае колебаний упругой системы многократно повторяющиеся нагрузки приводят к резкому снижению прочности материалов, связанному с усталостными явлениями.

Динамическое действие нагрузок, вызванное движением деталей машин или механизмов, а также элементов конструкций, учитывается при использовании расчетов, основанных на известном в механике твердого тела принципе Даламбера. Исходя из этого, если силы инерции известны, то расчет можно вести по методу сечений, а для вычисления внутренних сил использовать уравнения статики твердого тела. Если же определение сил инерции затруднительно или вообще невозможно, как, например, при ударном действии нагрузок, для вычисления динамических напряжений и деформаций используется закон сохранения энергии с привлечением основных положений из курса сопротивления материалов о потенциальной энергии деформируемого тела. В ряде случаев динамические напряжения во много раз превышают статические.

Задача соударения твердых деформируемых тел в механике, как правило, относится к классу динамических контактных задач со смешанными граничными условиями, содержащими в себе многие трудности математического порядка при их решении, которые не всегда могут быть преодолены простыми инженерными способами. Эти трудности в первую очередь связаны с определением с определением характера изменения функции напряжения в зоне контакта соударяемых тел по пространственным координатам и во времени. Большие сложности возникают и при учете волновых процессов, возникающих, как в зоне контакта, так и внутри соударяемых тел. Например, дифракционных волновых процессов по контуру в зоне контакта, и интерференционных явлений внутри соударяемых тел. Здесь существенное значение приобретает и учет фактора рассеяния энергии, трудно поддающийся анализу в данном случае.

Исходя из вышеизложенного, ниже при решении задач, применяется упрощенный инженерный подход, основанный на следующих упрощающих предпосылках: при взаимодействии соударяемых тел они принимаются или идеально упругими, или абсолютно твердыми. Деформации в упругих соударяемых телах происходят мгновенно.

Установлено, что практически во всех случаях силы динамического воздействия пропорциональны статическим, в связи с чем расчеты на прочность и жесткость при динамических нагрузках выполняются по методам, разработанным для статических, но с введением соответствующих значений динамических коэффициентов. Таким образом, учитывая это, имеем

где - динамический коэффициент.

Условия прочности и жесткости применительно к расчету по методу допускаемых напряжений имеют соответственно вид

При изучении динамики упругих систем последние принято классифицировать, прежде всего, по числу их степеней свободы. Под числом степеней свободы понимается число независимых координат, определяющих положение материальных точек системы в произвольный момент времени.

Рис. 15.1

Так для системы, изображенной на рис. 15.1, если пренебречь массой стержней, положение сосредоточенной массы m в плоскости чертежа полностью будет определяться двумя независимыми координатами - линейными перемещениями в вертикальном и горизонтальном направлениях. То есть рассматриваемая система будет иметь две степени свободы. Заметим что, так как во всех реальных системах масса конструкции распределена по их объему, поэтому любая произвольно взятая точка является материальной. Следовательно, для определения положения системы в произвольный момент времени, строго говоря, необходимо знать перемещения всех точек рассматриваемой системы. Откуда следует, что все реальные системы в точной постановке задачи, имеют бесконечное число степеней свободы, так как число материальных точек, принадлежащей любой реальной системы, равно бесконечности.

Из различных задач динамики конструкций здесь рассматриваются задачи на действие инерционных и ударных нагрузок, а также задачи на упругие свободные колебания систем с одной степенью свободы.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 Следующая ⇒