Раздел «Сложное сопротивление стрежней»

Раздел «Сложное сопротивление стрежней»

Сложным сопротивлением называются виды нагружения, при которых в поперечных сечениях одновременно действуют несколько внутренних силовых факторов.

Сложный вид деформации можно рассматривать как сумму простых видов, изученных ранее (растяжение, изгиб, кручение), при которых в сечениях элементов конструкций возникал только один внутренний силовой фактор (рис.7.2): нормальная сила N - при растяжении, изгибающий момент М_z - при чистом изгибе, крутящий момент М_x - при кручении. Эти виды нагружения, растяжение, изгиб, кручение, являются простыми.

Рис.7.2

Основные соотношения, полученные для них, приведены в таблице 7.1

Таблица 7.1

Виды нагружения	Напряжения	Деформации
Растяжение	. Условие прочности:
Изгиб	. Условие прочности:
Кручение	. Условие прочности:

Но при сложном сопротивлении должен быть применим принцип независимости действия сил (частный случай принципа суперпозиции или наложения, применяемый в механике деформируемого твердого тела).

Напомним формулировку принципа независимости действия сил: напряжение (деформация) от группы сил равно сумме напряжений (деформаций) от каждой силы в отдельности. Он справедлив, если функция и аргумент связаны линейной зависимостью. В задачах механики материалов и конструкций становится неприменимым, если:

- напряжения в какой-либо части конструкции от одной из сил или группы сил превышают предел пропорциональности ;

- деформации или перемещения становятся настолько большими, что нарушается линейная зависимость между ними и нагрузкой.

Например, дифференциальное уравнение изгиба стержня является нелинейным и вытекающая из него зависимость прогиба f от нагрузки Р для консольной балки, изображенной на рис.7.3, а, также является нелинейной (рис.7.3, б). Однако, если прогибы балки невелики ( ) настолько, что (так как ), то дифференциальное уравнение изгиба становится линейным (как видно из рис.7.3, б, начальный участок зависимости Р от f, описываемый этим уравнением, также является линейным).

Рис.7.3. Модели изгиба балки: а) расчетная схема

б) линейное и нелинейное сопротивления

Задачи на сложное сопротивление решаются следующим образом. Определяются напряжения и деформации при действии простейших видов деформации, составляющих сложное сопротивление, а затем полученные результаты суммируют, используя при необходимости теории прочности.

На практике одновременное действие всех силовых факторов встречается крайне редко. Чаще приходится иметь дело с более простыми комбинациями нагружений – косой или пространственный изгиб, внецентренное растяжение или сжатие и изгиб с кручением.

Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу

Косымназывают изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента, возникающего в сечении, не совпадает ни с одной из главных плоскостей бруса (при этом плоскость действия изгибающего момента обязательно должна проходить через центр тяжести сечения) (рис.7.4).

Рис.7.4

При косом изгибе изогнутая ось представляет собой плоскую кривую, и плоскость, в которой она расположена, не совпадает с плоскостью действия нагрузки. При пространственном изгибе нагрузка приложена в разных плоскостях, деформированная ось является пространственной кривой.

Определение внутренних усилий при косом изгибе

Рис.7.5

При косом изгибе в поперечных сечениях бруса действуют следующие внутренние усилия: M_z, M_y – изгибающие моменты и Q_y, Q_z –поперечные (перерезывающие) силы. Это легко показать мысленно рассекая стержень и определяя внутренние усилия при косом изгибе консольной балки под действием сосредоточенной силы F на свободном конце (см. рис.7.5):

Правило знаков для внутренних усилий: изгибающие моменты – положительны, если вызывают растяжение в положительном квадранте координатной системы zOy; поперечные силы – положительны, если под их действием отсеченный элемент поворачивается по часовой стрелке.

Таким образом, косой изгиб может быть представлен как совместное действие двух плоских изгибов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях инерции.

Для определения полного изгибающего момента M и полной поперечной силы Q при косом изгибе достаточно определить внутренние усилия для каждого из плоских изгибов в отдельности (то есть Q_y, M_z и Q_z, M_y), а затем найти их векторную сумму:

Рис.7.24

При приложении силы Р в точке на границе ядра сечения с координатами (x_я; y_я) нулевая линия будет касательной к контуру поперечного сечения в точке В (рис.7.25) и отсекать на главных центральных осях отрезки и .

Рис. 7.25

Применяя (6), получим

(11)

Формулы (11) описывают алгоритм вычисления координат точек границы ядра сечения:

1) Проводится касательная к контуру поперечного сечения и определяются отрезки и .

2) По формуле (11) определяются координаты x_я и y_я.

Такая процедура проводится со всеми касательными. Для сложного криволинейного контура, чем больше будет проведено касательных, тем точнее будет найден контур ядра сечения.

Можно доказать, что если касательная будет вращаться вокруг угла контура сечения, если он есть, то соответствующая точка на контуре ядра будет перемещаться по прямой линии, соединяющей точки ядра соответствующие крайним положениям касательных.

Таким образом, если контур поперечного сечения представляет собой многоугольник, что контур ядра сечения тоже будет иметь форму многоугольника, но необязательно с тем же количеством углов (их может быть меньше).

Для прямоугольного сечения ядро будет ромбом с диагоналями, равными одной трети соответствующей стороны сечения. Поэтому прямоугольное сечение при расположении силы по главной оси работает на напряжения одного знака, если точка приложения силы не выходит за пределы средней трети стороны сечения.

Для круглого сечения радиуса r очертание ядра будет по симметрии кругом радиуса . Возьмем какое-либо положение нейтральной оси, касательное к контуру. Ось Оу расположим перпендикулярно к этой касательной. Тогда

Таким образом, ядро представляет собой круг с радиусом, вчетверо меньшим, чем радиус сечения.

Для двутавра нейтральная ось при обходе контура не будет пересекать площади поперечного сечения, если будет касаться прямоугольного контура ABCD, описанного около двутавра (рис.7.26, а). Следовательно, очертание ядра для двутавра имеет форму ромба, как и для прямоугольника, но с другими размерами.

Для швеллера, как и для двутавра, точки 1, 2, 3, 4 контура ядра (рис.7.26, б) соответствуют совпадению нейтральной оси со сторонами прямоугольника ABCD.

Рис.7.26. Ядро сечения для двутавра — а) и швеллера — б)

Гипотезы (теории) прочности

Установлено, что в каждой точке нагруженного тела, в общем случае действует три главных напряжения.

Опыт показывает, что поведение материалов, т.е. начало стадии пластических деформаций и характер разрушения (хрупкий, вязкий), зависят от величины, знака и соотношения главных напряжений.

Поэтому, чтобы судить о прочности материала при сложном напряженном состоянии, нужно предварительно знать - в какой момент при той или иной комбинации главных напряжений наступает опасное состояние материала.

При простом напряженном состоянии ответ на этот вопрос дают диаграммы растяжения или сжатия. Предельными напряжениями считаются такие, при которых хрупкий материал разрушается, а пластичный материал получает недопустимо большие пластические деформации.

При сложном напряженном состоянии решение этой задачи значительно сложнее, т. к. число различных сочетаний из главных напряжений неограниченно велико, а опыт технически очень сложен.

Вследствие этого при составлении условий прочности материала при сложном напряженном состоянии мы можем располагать только допускаемыми напряжениями, установленными по результатам испытаний на простое растяжение или сжатие.

В связи с этим возникает задача: зная максимально допустимые безопасные напряжения при простом растяжении, найти эквивалентную, т. е. равно безопасную комбинацию из главных напряжений при сложном напряженном состоянии.

Единственным практическим путем решения этой задачи является установление общих критериев разрушения, которые позволили бы оценить опасность перехода материала в предельное состояние при сложном напряженном состоянии, используя лишь данные опытов на растяжение.

Критерии разрушения или гипотезы прочности представляют собой предположения о преимущественном влиянии на прочность материалов того или иного фактора, сопутствующего процессу деформации и разрушения материалов.

Наиболее важными факторами, связанными с возникновением опасного состояния материала, являются: нормальные и касательные напряжения, линейные деформации и потенциальная энергия деформации.

Который из этих факторов является главной причиной разрушения установить не удается, т.к. невозможно наблюдать действие какого-нибудь одного фактора изолированно от остальных.

При сложном напряженном состоянии следует говорить не о предельном напряжении, а о предельном напряженном состоянии. В качестве предельного состояния в опасной точке детали принимается переход материала в окрестности данной точки из упругого состояния в пластическое или разрушение детали, выражающееся в образовании трещин.

Условимся рассматривать такие случаи напряженного состояния, когда все нагрузки возрастают пропорционально некоторому параметру, вплоть до наступления предельного напряженного состояния. При этом главные напряжения также возрастают пропорционально.

Коэффициентом запаса прочности при сложном напряженном состоянии называется число, на которое следует умножить все компоненты тензора напряжений (или , , ), чтобы данное напряженное состояние стало предельным.

Равноопасными называются такие напряженные состояния, для которых коэффициенты запаса прочности равны.

Это дает возможность сравнивать все напряженные состояния между собой, заменяя их равноопасным одноосным напряженным состоянием (растяжением).

Эквивалентным напряжением называется напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию (рис.7.27).

Рис. 7.27

Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным растяжением, получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности при простом растяжении:

(12)

Условие наступления предельного состояния имеет следующий вид:

или (13)

Концепция устойчивости

Во всем предыдущем изложении мы определяли поперечные размеры стержней из условий прочности. Однако разрушение стержня может произойти не только потому, что будет нарушена прочность, но и оттого, что стержень не сохранит той формы, которая ему придана конструктором; при этом изменится и характер напряженного состояния в стержне.

Наиболее типичным примером является работа стержня, сжатого силами Р. До сих пор для проверки прочности мы имели условие

Это условие предполагает, что стержень все время, вплоть до разрушения работает на осевое сжатие. Уже простейший опыт показывает, что далеко не всегда возможно разрушить стержень путем доведения напряжений сжатия до предела текучести или до предела прочности материала.

Если мы подвергнем продольному сжатию тонкую деревянную линейку, то она может сломаться, изогнувшись; перед изломом сжимающие силы, при которых произойдет разрушение линейки, будут значительно меньше тех, которые вызвали бы при простом сжатии напряжение, равное пределу прочности материала. Разрушение линейки произойдет потому, что она не сможет сохранить приданную ей форму прямолинейного, сжатого стержня, а искривится, что вызовет появление изгибающих моментов от сжимающих сил Р и, стало быть, добавочные напряжения от изгиба; линейка потеряет устойчивость.

Поэтому для надежной работы конструкции мало, чтобы она была прочна; надо, чтобы все ее элементы были устойчивы: они должны при действии нагрузок деформироваться в таких пределах, чтобы характер их работы оставался неизменным. Поэтому в целом ряде случаев, в частности, для сжатых стержней, помимо проверки на прочность, необходима и проверка на устойчивость. Для осуществления этой проверки надо ближе ознакомиться с условиями, при которых устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня нарушается.

Под устойчивостью понимают способность систем сохранять их состояние равновесия или движения во времени под действием малых возмущений. Под неустойчивостью понимают способность систем при действии весьма малых возмущений получать большие перемещения.

Наглядной иллюстрацией устойчивого состояния равновесия служит поведение тяжёлого шарика на гладкой поверхности (рис. 9.1).

а) б) в)

Рис. 9.1

Если слегка отклонить шарик от состояния равновесия I, как показано пунктиром, и предоставить его самому себе, то в случае а) шарик начнёт колебаться около нижнего положения I и вернётся к нему; в б) он остаётся безразличным, а в случае в) он начнёт сразу же удаляться от положения I.

Приведённый пример отождествляет понятие устойчивого состояния шарика со свойством возмущённого (отклонённого) состояния II возвращаться к исходному I.

История науки знает различные определения понятия устойчивости. Одним из первых было определение, данное Л.Эйлером в 1749г. в связи с практически важным вопросом того времени – вопросом устойчивости кораблей Российского флота: «тела равновесное положение будет устойчиво, ежели оное тело, будучи несколько наклонено, опять справится» (рис. 9.2).

Термин устойчивость был введён в науку впервые Л.Эйлером. Применительно к упругим системам определение Эйлера можно сформулировать следующим образом: равновесие упругой системы при заданных внешних силах считается устойчивым в смысле Эйлера, если после статического приложения и последующего снятия малой возмущающей силы система возвращается к своему исходному состоянию (рис. 9.3). В противном случае исходное состояние равновесия системы считается неустойчивым.


а) Исходное состояние	б) Возмущённое состояние с восстанавливающим моментом	в) Возмущённое состояние с опрокидывающим моментом

Рис. 9.2

а) б) в) г)

Рис. 9.3

Минимальное значение силы , при котором система впервые не возвращается к исходному состоянию, называется бифуркационным. При этом значении нагрузки происходит нарушение единственности решения задачи, т.к. наряду с исходной прямолинейной формой равновесия стержня существует отклонённая форма.

Другим, более общим, определением устойчивости состояния равновесия является определение Лагранжа: исходное состояние равновесия упругой системы устойчиво, если после отклонения её от этого состояния она, предоставленная самой себе, стремится вернуться к нему, совершая малые колебания, затухающие со временем при наличии сил внешнего и внутреннего сопротивления (рис. 9.4, а).

С увеличением сжимающей силы частота собственных колебаний системы стремится к нулю, а затем движение становится апериодически неустойчивым (рис. 9.4, б).

Для консервативных внешних сил критическая нагрузка находится из условия равенства нулю частоты собственных колебаний и совпадает с эйлеровой нагрузкой.

а) б)

Рис. 9.4

Если система (сжатый стержень) испытывает пластические деформации, то при любом малом возмущении он изгибается и затем при снятии возмущения не возвращается в своё исходное состояние (рис. 9.2, г). Получается, что по Эйлеру всякое равновесное состояние сжатой системы за пределом упругости – неустойчивое. Такое допущение с практической точки зрения является абсурдным. В.Г.Зубчаниновым предложено частное определение устойчивости сжатой системы за пределом упругости: состояние равновесия упругопластической системы является устойчивым, если она после статического приложения и последующего снятия малой возмущающей силы стремится вернуться в своё исходное состояние, пребывая в его малой окрестности.

Из приведённых выше трёх определений по существу вытекает одинаковый метод исследования элементов конструкций на устойчивость – метод проб на устойчивость путём возмущения исходного состояния равновесия при достигнутом уровне нагружения. Этот метод обладает тем недостатком, что не рассматривает процесс нагружения, с помощью которого был достигнут данный уровень внешних сил, а также тем, что ограничивает область анализа устойчивости лишь малой окрестностью точки бифуркации (рис. 9.5).

Что произойдёт за точкой бифуркации при дальнейшем нагружении системы? На этот вопрос метод проб ответа не даёт. Судить об устойчивости или неустойчивости конструкции без исследования послебифуркационного поведения невозможно.

Так, для стержней (см. рис. 9.5, кривая 1) после бифуркации перемещения растут настолько быстро, что предельное значение нагрузки практически не отличается от бифуркационного.

Рис. 9.5

При достижении предельного значения прогибы катастрофически нарастают и для их развития не требуется увеличивать сжимающую нагрузку. Такое поведение стержней предопределило успех бифуркационной теории Эйлера при расчёте стержней и стержневых систем на устойчивость. Для пластин после бифуркации вначале также наблюдается быстрый рост прогибов в некоторой окрестности исходного состояния (рис. 9.5, кривая 1).

Тонкие пластины и панели образуют выпучины, которые становятся явно заметными. В послебифуркационной стадии прогибы продолжают увеличиваться по мере увеличения нагрузки, но пластина остаётся в малой окрестности своего исходного плоского состояния, пока не достигнуто предельное значение нагрузки .

У оболочек после бифуркации наблюдается резкое падение сжимающей нагрузки и потому они весьма чувствительны к начальным несовершенствам (рис. 9.5, кривая 1).

В основе современной концепции устойчивости, её методологии лежит исследование процессов нагружения конструкций и их элементов. Процесс нагружения упругой или упругопластической системы считается неустойчивым, если сколь угодно малому продолжению этого процесса отвечают катастрофическое развитие перемещений и деформаций. Катастрофа наступает в предельных точках, называемых точками бифуркации Пуанкаре. Соответствующие нагрузки называют пределами устойчивости или критическими нагрузками. В предельных точках

(9.1)

Условие (9.1) принимается за критерий неустойчивости при квазистатическом нагружении упругопластических систем.

На практике все реальные элементы имеют начальные несовершенства (технологические прогибы, эксцентриситет приложения нагрузки и др.).

Такие элементы начинают выпучиваться (изгибаться) с самого начала нагружения (рис. 9.6, а).

Неустойчивость реальных элементов наступает в предельных точках точно так же, как и у идеальных систем с устойчивым докритическим выпучиванием (рис. 9.5, кривые 2).

а) б)

Рис. 9.6

В связи с этим все малые начальные несовершенства отнесём к возмущениям. Это естественно, ибо когда смотрим на инженерную конструкцию (например мостовую ферму со сжатыми элементами), мы представляем её геометрически и статически совершенной (идеальной).

На процесс выпучивания системы с начальными несовершенствами мы будем смотреть как на возмущённый процесс по отношению к послебифуркационнному процессу идеальной системы. Однако если возмущающие факторы чрезмерно велики, то задачи устойчивости может и не быть (см.рис.9.6, б).

Здесь изображено поведение сжатого стержня при выпучивании за пределом упругости. Если возмущающий эксцентриситет меньше некоторого числа , то при некоторой предельной нагрузке (предел устойчивости) произойдёт потеря устойчивости. Если достаточно велико ( ), то задачи устойчивости не возникает, в этом случае имеет место продольный изгиб. В обоих случаях кривые стремятся по мере роста прогиба к некоторой нагрузке , разделяющей указанные задачи и называемой нагрузкой надёжности устойчивых состояний.

Для стержней и пластин пределы устойчивости в возмущённом и невозмущённом состояниях близки друг к другу. Поэтому предел устойчивости для идеальных элементов следует принять за расчётные критические нагрузки. Для стержней, как мы уже отмечали, предел устойчивости близок к нагрузке бифуркации, что существенно облегчает задачу их расчёта на устойчивость.

У пластин в пределах упругости бифуркационные нагрузки значительно меньше предела устойчивости и потому задача расчёта на устойчивость сводится, в конечном счёте, к решению нелинейной задачи выпучивания.

У оболочек предел устойчивости весьма чувствителен к начальным несовершенствам (рис. 9.7). Поэтому здесь существенное значение приобретает знание среднестатического значения начальных несовершенств .

Рис. 9.7

Ещё одним важным обстоятельством при формировании концепции устойчивости является учёт ползучести материалов. В связи с этим процесс нагружения разделяется на два этапа: мгновенный процесс нагружения и этап процесса ползучести во времени при постоянной внешней нагрузке. На втором этапе процесс протекает во времени, значительно большем, чем требуется для процесса нагружения до заданного уровня.

Здесь возможны два варианта постановки задачи устойчивости. Первый относится к случаю ограниченной ползучести материала, второй – неограниченной.

Рассмотрим первый случай. На рис. 9.8, а кривая 1 относится к первому этапу нагружения, кривая 2 – ко второму после полной выборки ограниченной ползучести. Через обозначен предел устойчивости при мгновенном нагружении, через - предел устойчивости при длительном нагружении после выборки ползучести. Он называется пределом длительной устойчивости.

а) б)

Рис. 9.8

Рассмотрим точку М на кривой 1, для которой В результате ограниченной ползучести (см. рис. 9.8, б) она переходит в точку . Такой процесс выпучивания на втором этапе – устойчив, поскольку он ограничен по перемещениям. Пусть теперь < < (точка на кривой 1 (рис. 9.8, а)). Несмотря на ограниченную ползучесть материала, выпучивание элемента будет происходить до достижения мерой перемещения некоторого значения (точка на штрихпунктирной кривой пределов устойчивости), после чего происходит выщёлкивание элемента конструкции (рис. 9.8, б, отрезок ), которое называют иногдалокальной катастрофой, представляющую собой во времени разрывную динамическую бифуркацию.

В случае ограниченной ползучести оказывается возможным найти длительный предел устойчивости - такой, что при можно быть уверенным в том, что система останется устойчивой и будет пребывать в малой окрестности исходного состояния равновесия.

Рассмотрим теперь процесс выпучивания элемента материала, обладающего неограниченной ползучестью (рис. 9.9).

В этом случае кривая 1 (рис. 9.9) по-прежнему относится к мгновенному нагружению и на её основании можно найти предел устойчивости . Однако на втором этапе для любого процесс является неустойчивым (рис. 9.9, б). При достижении точки N^/ происходит локальная катастрофа по истечении некоторого промежутка времени, называемого критическим временем .

а) б)

Рис. 9.9

В этот момент имеет место условие:

(9.2)

а перемещение достигает некоторого предельного конечного значения . При и заданном постоянном происходит динамический хлопок, называемый иногда локальной динамической катастрофой или бифуркацией. Если то потери устойчивости не происходит. Элемент испытывает продольный изгиб (рис. 9.9, а, линия 2). Процесс выпучивания приводит при к разрушению элемента конструкции. Время назовём временем разрушения или жизни элемента при продольном нагружении в условиях ползучести.

Таким образом, при учёте ползучести материалов, следует руководствоваться двумя критериями неустойчивости (9.1), (9.2). Может случиться так, что конструкция, устойчивая на первом этапе, т.е. без учёта свойств материалов во времени, окажется неустойчивой на втором длительном этапе функционирования.

Рис. 9.10

Из (9.6) находим уравнение колебаний системы с сосредоточенной массой :

(9.7)

Полагая , получим характеристическое уравнение:

(9.8)

где

(9.9)

Если , то ,

(9.10)

где - круговая частота колебаний, - начальная фаза, – амплитуда колебаний. Движение носит периодический характер и потому устойчиво. Если учесть внешнее и внутреннее сопротивление системы, то решение будет иметь вид

где - параметр, определяющий сопротивление движений. Колебания с ростом времени затухнут, и система вернётся в своё исходное состояние. Следовательно, исходное состояние равновесия устойчиво.

Если , то – действительное число. Решение принимает вид:

(9.11)

и носит апериодический, т.е. неустойчивый характер. При имеем . При происходит переход от устойчивого периодического движения стойки к неустойчивому апериодическому. Это происходит при критической силе

Таким образом, динамический метод Лагранжа приводит к тому же результату, что и метод Эйлера.

3. Метод Кармана (начальных несовершенств). Т.Карман первым рассмотрел процесс продольного изгиба стойки с начальными несовершенствами как задачу устойчивости и трактовал предельную нагрузку не как исчерпания несущей способности системы, а как предел устойчивости. Однако такая точка зрения долгое время (вплоть до наших дней) не находила поддержки. Применим метод Кармана к стойке на рис. 9.11а.

а) б) в)

Рис. 9.11

Стойка имеет отклонение от вертикали на некоторый угол и сжимается силой . При стойка отклонится от вертикали на угол . Уравнение равновесия в некоторый момент процесса продольного нагружения стойки имеет вид

(9.12)

где Из (9.12) следует:

, (9.13)

Дифференцируя по или по соответственно, находим:

(9.14)

откуда при следует Согласно изложенной концепции значение силы является пределом устойчивости и совпадает с эйлеровой силой.

4. Энергетический метод С.П. Тимошенко. При отклонении системы на угол от положения равновесия (рис. 9.11, в), верхний конец стержня опускается на величину . Сила совершает работу . Перемещение

где прогиб

Работа силы на перемещение принимает вид

Упругая внутренняя реактивная сила совершает работу, называемую потенциальной энергией деформации:

Величина

носит название полной потенциальной энергии системы, связанной с потерей устойчивости. Если ( ), то энергии достаточно для возвращения стержня в исходное состояние, т.е. его состояние равновесия устойчиво. Если ( ), то энергии деформации недостаточно для возвращения стержня в исходное состояние равновесия, т.е. он находится в неустойчивом состоянии равновесия. Граничное значение энергии является критерием для определения критической силы . Таким образом, энергетический метод приводит к критической нагрузке, равной нагрузке Эйлера для данной модели.

5. Метод Койтера исследования нелинейного послебифуркационного процесса выпучивания (нагружения). Пусть реакция в упругой пружине (рис. 9.13):

(9.15)

т.е. зависимость носит нелинейный характер.

а) б)

Рис. 9.13

Тогда уравнение равновесия (9.3) примет вид

12 3 4 5 6 7 8 Следующая ⇒