Систематические погрешности.

Чайковский филиал

государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

" Пермский государственный технический университет"

(ЧФ ПГТУ)

Кафедра гуманитарных и естественно-научных дисциплин

Лаборатория физики

 

 

Механика

Лабораторная работа №1

“Обработка результатов измерений

на примере задачи определения объема цилиндра”.

 

Цель работы: ознакомиться с методом обработки результатов измерений на примере определения объема цилиндра.

Приборы и принадлежности: цилиндр, штангенциркуль или микрометр.

 

1. Общие сведения

Каждая лабораторная работа связана с измерениями тех или иных физических величин. Под измерением понимается сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения.

Различают измерения прямые и косвенные.

Прямые – это измерения, которые производятся с помощью приборов, непосредственно дающих значение измеряемой величины (длины – линейкой, штангенциркулем; времени – секундомером; силы тока – амперметром и т.д.)

Косвенные – это измерения, при которых неизвестная величина определяется по результатам прямых измерений других величин, с которыми она связана определенной формулой; например,

· плотность вещества r вычисляют через измеренные m – массу и V – объем тела по формуле r = m/V;

· электрическое сопротивление проводника R – через измеренные напряжение U и силу тока I по формуле R =U/I и т.д.

При измерениях любой величины мы никогда не получаем ее истинного значения. Это объясняется принципиальной невозможностью устранить все посторонние влияния на процесс измерения.

При всяких измерениях мы допускаем ошибки; их величину принято характеризовать абсолютной погрешностью измерений Dx и относительной погрешностью e.

Эти характеристики не являются независимыми. На способах определения абсолютной погрешности измерений Dx подробно остановимся ниже.

Относительной погрешностью измерений e называют отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины

Так как х₀ – величина неизвестная, то на практике x заменяют найденным из опыта среднеарифметическим значением < x> , поэтому

(1.1)

Относительную погрешность часто выражают в процентах. Таким образом, задача всякого измерения состоит из нахождения наиболее вероятного значения измеряемой величины и оценки абсолютной и относительной погрешности.

 

2. Погрешность прямых измерений

Принято различать три типа ошибок погрешностей прямых измерений: промахи, случайные погрешности и систематические погрешности.

Промахи.

Промахи – это грубые ошибки, существенно превышающие ожидаемую при данных условиях погрешность. Они вызываются невнимательностью экспериментатора, использованием неисправных приборов и т.д. Как правило, промахи быстро выявляются; наблюдения, содержащие их, следует отбрасывать, как не заслуживающие доверия.

Случайные погрешности.

Случайными погрешностями называются погрешности, вызванные большим числом случайных неконтролируемых помех (сотрясением фундамента здания, изменением напряжения электрической сети, реакцией наблюдателя). В итоге при повторных наблюдениях получаются несколько отличающихся друг от друга результатов. Исключить случайные погрешности нельзя, можно лишь оценить их величину. Как это сделать, нам подсказывает так называемая теория погрешности. В основе этой теории лежат два положения, подтверждаемые опытом:

а) при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;

б) большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые.

Именно из этих положений следует, что при многократных измерениях величины x наиболее близким к ее истинному значению x является среднее арифметическое значение:

(1.2)

где n – число измерений.

Упомянутая выше теория погрешностей дает возможность найти величину случайной погрешности Dx, т.е. расхождение между х₀ и < x>. При этом исходят из следующих соображений.

Пусть a характеризует вероятность того, что истинное значение попадает в интервал от < x> –Dx_сл до < x> +Dx_сл (см. рис. 1.1 ). Например, если a = 0, 95, то это означает, что при многократных повторениях опыта ошибки отдельных измерений в 95 случаях из 100 не превысят значения Dx_сл.

Вероятность a называется доверительной вероятностью, или надежностью, аинтервал значений ((< x> - Dx_сл), (< x> + Dx_сл)) – доверительным интервалом.

Как видно, Dx_сл –это полуширина доверительного интервала. Ее-то и принимаем за абсолютную случайную погрешность.

Задача, очевидно, состоит в том, чтобы отыскать Dx_сл при наперед заданном значении a. Решению этого вопроса помогает существующая между Dx_сл и a математическая связь. Качественно эта связь ясна: чем с большей надежностью мы хотим указать результат данных измерений, тем больше должен быть доверительный интервал.

В теории погрешностей в качестве единицы ширины доверительного интервала выбрана так называемая средняя квадратная погрешность результата измерений:

(1.3)

Здесь

§ < x> – среднее для измеренных n значений величины x;

§ Dx_i = x_i – < x> – отклонение i -го наблюдения от среднего значения;

§ n – число измерений.

Учитывая сказанное, было предложено, в случае небольшого числа измерений (именно так обстоит дело в учебных лабораториях), вычислять полуширину доверительного интервала по формуле:

(1.4)

где t_{α , n} – некоторое, зависящее от a и n, число, называемое коэффициентом Стьюдента.

Зависимость t_{α , n} от n понятна: чем больше n, тем меньше < x> отличается от истинного значения и тем меньше будет доверительный интервал, точнее результат измерения, а значит, меньше t_{α , n}.

Полная погрешность.

Как уже отмечалось, в реальных условиях присутствуют как случайные, так и систематические погрешности. В теории вероятности показывается, что погрешность, обусловленная несколькими независимыми причинами, определяется квадратичным суммированием, т.е.

полная абсолютная погрешность прямого измерения

. (1.10)

Относительная погрешность

(1.11)

При этом доверительная вероятность a выбирается одинаковой для всех видов погрешностей.

Некоторые из слагаемых под знаком корня могут быть настолько малыми по сравнению с другими, что ими можно пренебречь (малыми считаются ошибки, которые не превышают 30% от максимальной).

В заключение отметим, что количество необходимых измерений определяется соотношением приборной и случайной погрешностей. Если при повторных измерениях получается одно и то же значение, то это означает, что случайная погрешность в данном методе измерений значительно меньше приборной и большее число измерений не изменит общей ошибки.

При значительной случайной погрешности (при повторных измерениях получаются отличные друг от друга значения) число измерений лучше выбрать таким, чтобы случайная погрешность среднего арифметического была меньше приборной или, по крайней мере, одного с ней порядка.

 

2.5. Погрешность косвенных измерений.

Задача ставится так: пусть искомая величина z определяется через другие величины а, b, с …, полученные при прямых измерениях

z = f (a, b, с…, ). (1.12)

Необходимо найти среднее значение функции и погрешность ее измерений, т.е. найти доверительный интервал

z = z ± Dz(1.13)

при надежности a и относительную погрешность ε _z= D z/< z> .

Что касается < z> , то оно находится путем подстановки в правую часть (1.11) вместо а, b, с… их средних значений

z = f (< a> , < b>, < с> …) . (1.14)

Абсолютная погрешность косвенных измерений D z является функцией абсолютных погрешностей прямых измерений и вычисляется по формуле

(1.15)

Здесь – частные производные функции f по переменным a, b .

Если величины а, b, с… в функцию z = f (a, b, с…) входят в виде сомножителей в той или иной степени, т.е. если

z = a^k·b^l·c^m, (1.15)

то сначала удобно вычислить относительную погрешность

(1.16)

а затем абсолютную

∆ z = ε _z< z> . (1.17)

Формулы для D z и ε _z часто приводятся в справочной литературе.

Примечание. Погрешность округления при вычислениях - см. п2.3.3.

 

Прямые измерения.

1). Вычислить среднее значение для n измерений:

2). Найти погрешности отдельных измерений: Dx_i = x_i – < x>

3). Вычислить квадраты погрешностей

отдельных измерений:

4). Вычислить сумму квадратов погрешностей

отдельных измерений:

5). Задать надежность a и по таблице определить коэффициенты Стьюдента t_{α , n} и t_{α , ∞} . (для учебных целей при выполнении лабораторной работы принимаем a = 0, 95).

6). Определить систематические погрешности:

а) действительную приборную погрешность

(стандартное отклонение)

(для определения Dx_пр – см. п.2.3.1.)

б) погрешность округления при измерении

(D - см. п.2.3.3.)

7). Найти полную погрешность результата измерений (полуширину доверительного интервала):

8). Найти относительную погрешность

9). Записать окончательный результат в виде x = < x> ± Dx, ε = …, при a =…

Косвенные измерения.

1. Для каждой величины, измеренной прямым способом, входящей в формулу для определения искомой величины z = f(a, b, c…), провести обработку, как указанно выше.

Определить среднее значение искомой величины z = f(< a> , < b> , < c> …)

Оценить полуширину доверительного интервала для результата косвенных измерений , где производные … вычисляются при a = < a> , b = < b> .

Определить относительную погрешность результата

Если зависимость z от a, b, c… имеет вид z = a^kb^lc^m, где k, l, m – любые действительные числа, то сначала следует найти относительную ошибку

а затем абсолютную Dz = ε (z).

Окончательный результат записать в виде z = < z> ± Dz… %, при a =…

Примечание:

При обработке результатов прямых измерений нужно следовать следующему правилу: численные значения всех рассчитываемых величин должны содержать на один разряд больше, чем исходные (определенные экспериментально) величины.

При косвенных измерениях вычисления производить по правилам приближенных вычислений.

В окончательной записи абсолютной погрешности следует оставлять только одну значащую цифру. (Если этой цифрой окажется 1 или 2, то после нее сохраняют еще одну цифру).

Среднее значение округляется до того же результата, что и абсолютная погрешность.

Например:

V = (375, 21± 0, 02) см³ = (3, 7521 ± 0, 0002)·10² см³

I = (5, 530 ± 0, 013) А

А = (57, 5 ± 0, 7)·10^-2 Дж

Порядок выполнения работ

Правила работы с приборами

Штангенинструменты

К штангенинструментам относят широко распространенные штангенциркули, штангенрейсмасы и штангенглубиномеры.

Штангенциркуль ШЦ-I.

Штангенциркуль ШЦ-I снабжен глубиномером. На штанге 1 с губками 2 установлена подвижная рамка 4 с губками 3, зажимаемая винтом 5.

 

Штангенциркуль ШЦ-II.

Штангенциркуль ШЦ-II отличается от штангенциркуля ШЦ-I конструкцией губок и наличием устройства для точной установки на размер. Это устройство состоит из движка (хомутика) 7 с микрометрическим винтом 8 и гайки 9. Винт 8 жестко связан с подвижной рамкой 4 с нониусом.

Заостренные концы верхней пары губок 2 и 3 используют для разметки, а нижнюю пару губок для измерения наружных и внутренних размеров.

При измерениях внутренних размеров к отсчету по шкалам штанги и нониуса нужно приплюсовать толщину губок, которая маркируется на них: например, на штангенциркуле, изображенном на рисунке, толщина каждой губки равна 5 мм.

Штангенциркуль перед измерением размера протирают, осматривают и проверяют. При осмотре следует убедиться в отсутствии повреждения губок и сблизить их. При этом нулевая риска шкалы нониуса должна совпасть с нулевой риской на шкале штанги, просвет между измерительными поверхностями губок не должен превышать 0, 01 мм.

Измерение детали производят в следующей последовательности:

· освободив зажимные винты 5 и 6, приводят губки в соприкосновение с измеряемой деталью;

· затягивают зажимной винт 6 движка 7 и, вращая микрометрическую гайку 9, подводят рамку 4 с губками 3 к детали, обеспечивая нормальное измерительное усилие;

· застопорив подвижную рамку 4 стопорным винтом 5, считывают показания.

 

Микрометрический нутромер.

Микрометрический нутромер предназначен для измерения внутренних размеров и состоит из микрометрической головки, удлинителя и наконечника.

Внутри стебля 6 микроголовки установлен микровинт 4 в сборе с барабаном 5 и защитной головкой 7.

Правый конец микровинта выполнен сферическим. Для фиксирования микровинта в стебле предусмотрен стопорный винт 3.

С левой стороны на стебель навернута защитная гайка 2, а внутри стебля запрессован сферический упор 1.

Если необходимо соединить головку с удлинителем, то с нее свинчивают защитную гайку 2, вместо которой навинчивают удлинитель с наконечником.

Рабочий ход микровинта составляет 13 или 25 мм. Для установки на размер нутромер укомплектован установочными мерами.

При измерении предварительно, исходя из измеряемого размера, выбирают требуемые удлинители, которые свинчивают с микроголовкой и наконечником, затем вводят нутромер в измеряемое отверстие. Прижав его одним концом к измеряемой поверхности, другим концом слегка покачивая, находят наименьший размер в плоскости, проходящей через ось отверстия, и наибольший размер в плоскости, перпендикулярной оси отверстия. Добившись совпадения обоих показаний нутромера, зажимным винтом стопорят нутромер и отсчитывают показания.

 

5.2.3. Микрометрический глубиномер предназначен для измерения глубин глухих отверстий и плоскостей и вместо скобы снабжен основанием с плоской измерительной поверхностью. Микровинт может соединяться со сменными измерительными стержнями разной длины.

 

5.2.4. Зубомерный микрометр предназначен для измерения длины общей нормали зубчатого колеса. В отличие от гладких микрометров зубомерный микрометр имеет тарельчатые измерительные поверхности, образующие две параллельные плоскости.

Индикаторы часового типа.

Индикатор часового типа с ценой деления 0, 01 мм с перемещением измерительного стержня параллельно шкале предназначен для относительных измерений наружных размеров, отклонений формы и расположения поверхностей.

Он является также показывающим прибором индикаторной скобы, индикаторного глубиномера и индикаторного нутромера.

На лицевой стороне циферблата индикатора имеются две стрелки и две шкалы; большая стрелка 1 над оцифрованной круговой шкалой 2 и малая стрелка 4 над отсчетной шкалой 5. Круговая шкала имеет деления 0, 01 мм, а малая шкала – 1 мм.

Перемещение измерительного стержня 6 на 1 мм вызывает поворот стрелки 1 на 100 делений (один полный оборот), а стрелки 4 на одно деление. Шкала 2 индикатора вместе с ободком при установке шкалы на нулевое деление поворачивается относительно большой стрелки 1 и фиксируется стопором 3.

Принцип действия индикатора основан на преобразовании с помощью зубчатой передачи линейных перемещений измерительного стержня 6 в угловые перемещения стрелок 1 и 4.

Механизм индикатора имеет зубчатую рейку 7, нарезанную на измерительном стержне 1; зубчатая рейка находится в зацеплении с зубчатым колесом 6, на одной оси с которым установлено колесо 5.

От колеса 5 вращение передается на центральное зубчатое колесо 8 с закрепленной на его оси большой стрелкой 9, которая расположена над круговой шкалой 10. В зацеплении с колесом 8 находится и колесо 4, соединенное с пружиной 3, предназначенной для выбора зазора в передаче.

Пружина 2 служит для создания измерительного усилия.

При измерениях индикатор часового типа закрепляют в кронштейне измерительной стойки. После установки изделия на базовую плоскость подводят стойку 1 с закрепленным индикатором часового типа и устанавливают его так, чтобы измерительный наконечник соприкасался с контролируемой поверхностью с требуемым измерительным усилием (малая стрелка должна быть установлена на единицу шкалы). Освободив стопор 3, круговую шкалу поворачивают до совмещения 0 отметки с большой стрелкой, после чего шкалу фиксируют стопором. Прибор готов к измерениям.

При измерении, например, отклонения от прямолинейности перемещают стойку с индикатором в положение II и производят отсчет по шкале.

Разность показаний индикатора в положениях II и I принимают за действительное отклонение от прямолинейности поверхности.

Наряду с индикаторами часового типа широко применяют многооборотные индикаторы и рычажно-зубчатые головки, отличающиеся от индикатора часового типа тем, что сочетают зубчатую передачу с рычажной, что позволило получить цену деления прибора 1 и 2 мкм.

 

 

6. Контрольные вопросы

1. Какие измерения называются прямыми, косвенными?

2. Что такое абсолютная погрешность, относительная погрешность?

3. Что такое масса тела, вес тела, плотность тела, объем тела?

4. Основные единицы измерений физических величин системы СИ, их эталоны.

5. Что такое приборная погрешность, класс точности прибора?

6. Как пользоваться штангенциркулем? Его точность.

7. Как пользоваться микрометром? Его точность.

8. Принцип действия индикаторов часового типа.

 

 

Чайковский филиал

государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

" Пермский государственный технический университет"

(ЧФ ПГТУ)

Кафедра гуманитарных и естественно-научных дисциплин

Лаборатория физики

 

 

Механика

Лабораторная работа №1

“Обработка результатов измерений

на примере задачи определения объема цилиндра”.

 

Цель работы: ознакомиться с методом обработки результатов измерений на примере определения объема цилиндра.

Приборы и принадлежности: цилиндр, штангенциркуль или микрометр.

 

1. Общие сведения

Каждая лабораторная работа связана с измерениями тех или иных физических величин. Под измерением понимается сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения.

Различают измерения прямые и косвенные.

Прямые – это измерения, которые производятся с помощью приборов, непосредственно дающих значение измеряемой величины (длины – линейкой, штангенциркулем; времени – секундомером; силы тока – амперметром и т.д.)

Косвенные – это измерения, при которых неизвестная величина определяется по результатам прямых измерений других величин, с которыми она связана определенной формулой; например,

· плотность вещества r вычисляют через измеренные m – массу и V – объем тела по формуле r = m/V;

· электрическое сопротивление проводника R – через измеренные напряжение U и силу тока I по формуле R =U/I и т.д.

При измерениях любой величины мы никогда не получаем ее истинного значения. Это объясняется принципиальной невозможностью устранить все посторонние влияния на процесс измерения.

При всяких измерениях мы допускаем ошибки; их величину принято характеризовать абсолютной погрешностью измерений Dx и относительной погрешностью e.

Эти характеристики не являются независимыми. На способах определения абсолютной погрешности измерений Dx подробно остановимся ниже.

Относительной погрешностью измерений e называют отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины

Так как х₀ – величина неизвестная, то на практике x заменяют найденным из опыта среднеарифметическим значением < x> , поэтому

(1.1)

Относительную погрешность часто выражают в процентах. Таким образом, задача всякого измерения состоит из нахождения наиболее вероятного значения измеряемой величины и оценки абсолютной и относительной погрешности.

 

2. Погрешность прямых измерений

Принято различать три типа ошибок погрешностей прямых измерений: промахи, случайные погрешности и систематические погрешности.

Промахи.

Промахи – это грубые ошибки, существенно превышающие ожидаемую при данных условиях погрешность. Они вызываются невнимательностью экспериментатора, использованием неисправных приборов и т.д. Как правило, промахи быстро выявляются; наблюдения, содержащие их, следует отбрасывать, как не заслуживающие доверия.

Случайные погрешности.

Случайными погрешностями называются погрешности, вызванные большим числом случайных неконтролируемых помех (сотрясением фундамента здания, изменением напряжения электрической сети, реакцией наблюдателя). В итоге при повторных наблюдениях получаются несколько отличающихся друг от друга результатов. Исключить случайные погрешности нельзя, можно лишь оценить их величину. Как это сделать, нам подсказывает так называемая теория погрешности. В основе этой теории лежат два положения, подтверждаемые опытом:

а) при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;

б) большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые.

Именно из этих положений следует, что при многократных измерениях величины x наиболее близким к ее истинному значению x является среднее арифметическое значение:

(1.2)

где n – число измерений.

Упомянутая выше теория погрешностей дает возможность найти величину случайной погрешности Dx, т.е. расхождение между х₀ и < x>. При этом исходят из следующих соображений.

Пусть a характеризует вероятность того, что истинное значение попадает в интервал от < x> –Dx_сл до < x> +Dx_сл (см. рис. 1.1 ). Например, если a = 0, 95, то это означает, что при многократных повторениях опыта ошибки отдельных измерений в 95 случаях из 100 не превысят значения Dx_сл.

Вероятность a называется доверительной вероятностью, или надежностью, аинтервал значений ((< x> - Dx_сл), (< x> + Dx_сл)) – доверительным интервалом.

Как видно, Dx_сл –это полуширина доверительного интервала. Ее-то и принимаем за абсолютную случайную погрешность.

Задача, очевидно, состоит в том, чтобы отыскать Dx_сл при наперед заданном значении a. Решению этого вопроса помогает существующая между Dx_сл и a математическая связь. Качественно эта связь ясна: чем с большей надежностью мы хотим указать результат данных измерений, тем больше должен быть доверительный интервал.

В теории погрешностей в качестве единицы ширины доверительного интервала выбрана так называемая средняя квадратная погрешность результата измерений:

(1.3)

Здесь

§ < x> – среднее для измеренных n значений величины x;

§ Dx_i = x_i – < x> – отклонение i -го наблюдения от среднего значения;

§ n – число измерений.

Учитывая сказанное, было предложено, в случае небольшого числа измерений (именно так обстоит дело в учебных лабораториях), вычислять полуширину доверительного интервала по формуле:

(1.4)

где t_{α , n} – некоторое, зависящее от a и n, число, называемое коэффициентом Стьюдента.

Зависимость t_{α , n} от n понятна: чем больше n, тем меньше < x> отличается от истинного значения и тем меньше будет доверительный интервал, точнее результат измерения, а значит, меньше t_{α , n}.

Систематические погрешности.

Систематическиминазываются погрешности, которые сохраняют свою величину и знак во время эксперимента.

Систематические погрешности вызываются разными причинами, односторонне влияющими на результат измерений:

· ограниченной точностью приборов (измерительных инструментов) – приборные (инструментальные) погрешности;

· неправильной настройкой приборов (неправильные плечи весов, стрелка не установлена на ноль и т.д.);

· в расчетных формулах не учтено влияние некоторых второстепенных факторов (например, при взвешивании не учитывается сила Архимеда, при измерении электрического сопротивления не учитывается сопротивление соединительных проводов);

· округлениями значений, которые производятся при измерениях и вычислениях.

В большинстве случаев систематические погрешности могут быть изучены путем внесения поправок в результаты измерений. Если же сделать этого нельзя (или сложно), необходимо правильно учесть вклад систематической погрешности в общую погрешность измерений.

При выполнении лабораторных работ приходится оценивать, как правило, следующие систематические погрешности.

1234	Поделиться:

Популярное:

1. Билет 5. Предания: герои, местный характер придания, систематические группы.