Погрешность округления при вычислениях.

Этот вид погрешности приходится учитывать только при косвенных измерениях.

При косвенных измерениях в расчетные формулы могут входить известные физические константы (ускорение свободного падения g, скорость света в вакууме с и т.д.), числа типа λ , p, дробные множители 1\3, 1\6,... Эти величины при вычислениях округляются. При этом, естественно, в расчет вносятся D g, D c, D p, D λ – погрешности округления при вычислениях, которые должны учитываться.

Принято считать, что погрешность округления приближенного числа равна половине единицы того разряда, до которого это число было округлено. Например, p= 3, 14159… Если взять p= 3, 1, то Dp= 0, 05, если p= 3, 14, то Dp=0, 005… и т.д. Вопрос о том, до какого разряда округлять приближенное число, решается так: относительная ошибка, вносимая округлением, должна быть того же порядка или на порядок меньше, что и максимальная из относительных ошибок других видов. Таким же образом оценивается абсолютная ошибка табличных данных. Например, в таблице указано ρ = 13, 6·10³ кг/м³, следовательно, Dρ = 0, 05·10³ кг/м³.

Ошибка значений универсальных постоянных часто указывается вместе с их принятыми за средние значениями: с = (299793, 0 + 0, 3)·10³ м/c, где Dс = 0, 3·10³ м/с.

Иногда при косвенных измерениях условия опыта при повторных наблюдениях не совпадают. В этом случае значение функции z вычисляется для каждого отдельного измерения, а доверительный интервал вычисляется через значение z так же, как при прямых измерениях (все погрешности здесь входят в одну случайную погрешность измерения z ). Величины, которые не измеряются, а задаются (если они есть), должны быть указаны при этом с достаточно большой точностью.

Например, при определении вязкости жидкости методом Стокса (лабораторная работа №2) при использовании нескольких шариков разного диаметра абсолютная погрешность будет (см. (1.4) )

, (1.9)

где i – номер опыта, n – число опытов.

Полная погрешность.

Как уже отмечалось, в реальных условиях присутствуют как случайные, так и систематические погрешности. В теории вероятности показывается, что погрешность, обусловленная несколькими независимыми причинами, определяется квадратичным суммированием, т.е.

полная абсолютная погрешность прямого измерения

. (1.10)

Относительная погрешность

(1.11)

При этом доверительная вероятность a выбирается одинаковой для всех видов погрешностей.

Некоторые из слагаемых под знаком корня могут быть настолько малыми по сравнению с другими, что ими можно пренебречь (малыми считаются ошибки, которые не превышают 30% от максимальной).

В заключение отметим, что количество необходимых измерений определяется соотношением приборной и случайной погрешностей. Если при повторных измерениях получается одно и то же значение, то это означает, что случайная погрешность в данном методе измерений значительно меньше приборной и большее число измерений не изменит общей ошибки.

При значительной случайной погрешности (при повторных измерениях получаются отличные друг от друга значения) число измерений лучше выбрать таким, чтобы случайная погрешность среднего арифметического была меньше приборной или, по крайней мере, одного с ней порядка.

2.5. Погрешность косвенных измерений.

Задача ставится так: пусть искомая величина z определяется через другие величины а, b, с …, полученные при прямых измерениях

z = f (a, b, с…, ). (1.12)

Необходимо найти среднее значение функции и погрешность ее измерений, т.е. найти доверительный интервал

z = z ± Dz(1.13)

при надежности a и относительную погрешность ε _z= D z/< z> .

Что касается < z> , то оно находится путем подстановки в правую часть (1.11) вместо а, b, с… их средних значений

z = f (< a> , < b>, < с> …) . (1.14)

Абсолютная погрешность косвенных измерений D z является функцией абсолютных погрешностей прямых измерений и вычисляется по формуле

(1.15)

Здесь – частные производные функции f по переменным a, b .

Если величины а, b, с… в функцию z = f (a, b, с…) входят в виде сомножителей в той или иной степени, т.е. если

z = a^k·b^l·c^m, (1.15)

то сначала удобно вычислить относительную погрешность

(1.16)

а затем абсолютную

∆ z = ε _z< z> . (1.17)

Формулы для D z и ε _z часто приводятся в справочной литературе.

Примечание. Погрешность округления при вычислениях - см. п2.3.3.

123 4