Вариационно-итерационные методы решения СЛАУ.

Преимущество данных методов – они не используют никакой дополнительной информации об операторе А, т.е. g₁ и g₂, входящие в оценку g₁Е £ А £ g₂Е и необходимые для выбора t₀ здесь не требуются. Рассмотрим методы минимальных невязок и скорейшего спуска.

1. Метод минимальных невязок.

(4.13)

Для r^k = f – Ax^k получим равенство, умножив обе части равенства (4.13) на матрицу А

Меняя знаки и группируя слагаемые соответствующим образом, получаем:

или

Параметр t_k+1, будем выбирать из условия минимума невязки r^k+1 по норме

r^k+1 = r^k - t_k+1 × Ar^k.

Продифференцируем j(t_k+1) по t_k+1, получим

-2(Аr^k, r^k) + 2t_k+1

(4.14)

2. Метод скорейшего спуска.

Получается из условия минимума энергетической нормы погрешности где z^k+1 = x^k – x, x – точное решение исходной системы. Поскольку Аz^k = Ax^k – Ax = r^k, и учитывая, что

, получим

Дифференцируя по t_k+1, получим

j¢ (t_k+1) = -2(r^k, r^k) + 2t_k+1(Ar^k, r^k), откуда

(4.15)

Пример выполнения лабораторной работы №4

Решите систему уравнений методом Якоби, Зейделя, наименьших невязок и методом скорейшего спуска

Задаем матрицу коэффициентов и столбец свободных членов

Вводим начальное приближение решения

Устанавливаем значение погрешности расчета

Метод Якоби для решения СЛАУ.

Вводим функцию, реализующую алгоритм метода Якоби

Вызываем данную функцию

Выводим решение СЛАУ и количество итераций

Выводим значение вектора невязки

Метод Зейделя для решения СЛАУ.

Вводим функцию, реализующую алгоритм метода Зейделя

Вызываем данную функцию

Выводим решение СЛАУ и количество итераций

Выводим значение вектора невязки

Метод минимальных невязок для решения СЛАУ.

Вводим функцию, реализующую алгоритм метода минимальных невязок

Вызываем данную функцию

Выводим решение СЛАУ и количество итераций

Выводим значение вектора невязки

Метод скорейшего спуска для решения СЛАУ.

Вводим функцию, реализующую алгоритм метода скорейшего спуска

Вызываем данную функцию

Выводим решение СЛАУ и количество итераций

Выводим значение вектора невязки

Варианты заданий к лабораторной работе №4

Решите системы уравнений итерационными методами

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. титульный лист;

2. постановку задачи (согласно варианту);

3. краткое описание итерационных методов расчета СЛАУ;

4. программную реализацию данных методов;

5. выводы о проделанной работе.

Методы решения задачи Коши

Метод Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши: найти функцию u(t) непрерывную при 0 £ t £ T, удовлетворяющую при t> 0 дифференциальному уравнению и начальному условию при t=0

(5.1)

Решение задачи (5.1) существует и единственно, если функции f и непрерывны в области D, содержащей точку М₀ (t₀, u₀).

Ставится задача нахождения приближенных значений функции u(t)-y, y₁,..., y_n в точках t₀, t₁,..., t_n соответственно отрезка [0, Т]. Совокупность точек называется сеткой; точки t_i - узлами сетки, t_i= t_i- t_i-1 - шагом сетки.

Одним из простейших методов численного решения задачи Коши (5.1) является метод Эйлера, основанный на использовании разностной схемы Эйлера

Разностная схема (5.2) называется явной, т.к. значения находятся последовательно, начиная с y₀=u₀ по явной формуле

y_i+1 = y_i + tf(t_i, y_i), i = 0, 1, …, n, y₀ = u₀.

(5.2)

В результате получаем приближенные значения функции u(t) в узлах t_i сетки , т.е. сеточную функцию y(t_i) = y_i, i = 0, 1, …, n. Оценим теперь величину аппроксимации разностной схемой Эйлера (5.2) исходной задачи (5.1). Сеточная функция

z_i = y_i – u(t_i)

(5.3)

называется погрешностью разностной схемы.

Подставляя y_i = z_i + u(t_i) из (5.3) в уравнение (5.2), имеем

(5.4)

где

L_i = f_u(t_i, u_i + Qz_i), 0 < Q < 1.

Невязка , которую имеет разностная схема (5.2) на решении задачи (5.1), называется погрешностью аппроксимации разностной схемы (5.2).

Оценим величину y_i. Для этого, разлагая по формуле Тейлора функцию u(t_i+1) в окрестности точки t_i, имеем

Учитывая, что u¢ (t_i) = f(t_i, u_i), имеем y_i = 0(t) или .

Таким образом, разностная схема (5.2) имеет первый порядок аппроксимации.

Докажем сходимость разностной схемы Эйлера (5.2), т.е. что . Действительно, определяя величину z_i+1из (5.4) и оценивая ее, имеем

В этом случае разностная схема (5.2) называется сходящейся и имеющей первый порядок точности. Таким образом, метод Эйлера достаточно прост, но обеспечивает низкую точность.

Метод Рунге-Кутта.

Повышение порядка точности осуществляется путем усложнения разностной схемы. На практике широко распространенными являются разностные схемы Рунге-Кутта второго и четвертого порядка точности.

1 2 345 6