Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Условия параллельности и перпендикулярности



прямой и плоскости в пространстве.

 

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

 

 

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

 

 

Поверхности второго порядка.

Определение. Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.

 

 

Цилиндрические поверхности.

Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой.

 

Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:

 

1) - эллиптический цилиндр.

 

 

 


 

 

2) - гиперболический цилиндр.

 
 

 

 


2) x2 = 2py – параболический цилиндр.

 

 
 

 

 


Поверхности вращения.

 

 

Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.

Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:

F(x2 + y2, z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.

Аналогично: F(x2 + z2, y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,

F(z2 + y2, x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.

 

Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:

 

1) - эллипсоид вращения

2) - однополостный гиперболоид вращения

3) - двуполостный гиперболоид вращения

4) - параболоид вращения

Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.

 

Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:

Сфера:

 

 
 

 

 


Трехосный эллипсоид:

 

В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.

 

 

 
 

 

 


Однополостный гиперболоид:

 

 
 

 


Двуполостный гиперболоид:

 
 


 

Эллиптический параболоид:

 

 

 
 

 


Гиперболический параболоид:

 

 
 

 


Конус второго порядка:

 

 
 

 


Цилиндрическая и сферическая системы координат.

 

Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы координат являются обобщением для пространства полярной системы координат, которая была подробно рассмотрена выше.

 

Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также вектор . Через точку О можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вектору нормали .

Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и декартовой прямоугольной системами координат точку О совмещяют с началом декартовой прямоугольной системы координат, луч l – с положительным направлением оси х, вектор нормали – с осью z.

Цилиндрическая и сферическая системы координат используются в тех случаях, когда уравнение кривой или поверхности в декартовой прямоугольной системе координат выглядят достаточно сложно, и операции с таким уравнением представляются трудоемкими.

Представление уравнений в цилиндрической и сферической системе позволяет значительно упростить вычисления, что будет показано далее.

 

 

z

 

 

М

 

r

j h

 

0 q x

r

M1

 

y

 

ОМ1 = r; MM1 = h;

Если из точки М опустить перпендикуляр ММ1 на плоскость, то точка М1 будет иметь на плоскости полярные координаты (r, q).

 

Определение. Цилиндрическими координатами точки М называются числа (r, q, h), которые определяют положение точки М в пространстве.

 

Определение. Сферическими координатами точки М называются числа (r, j, q), где j - угол между r и нормалью.

 

 

Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной

системами координат.

 

Аналогично полярной системе координат на плоскости можно записать соотношения, связывающие между собой различные системы координат в пространстве. Для цилиндрической и декартовой прямоугольной систем эти соотношения имеют вид:

 

h = z; x = rcosq; y = rsinq; cosq = ; sinq = .

 


Поделиться:



Популярное:

  1. I. При каких условиях эта психологическая информация может стать психодиагностической?
  2. Schlechtwettergeld (деньги за плохие погодные условия).
  3. V1: Поведение фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции
  4. VIII. Условия изменения человека и черты нового человека
  5. Агрессивность животных в естественных условиях обитания
  6. Адаптация структур к условиям рынка
  7. Анализ потенциальных опасностей и вредностей при выполнении проектируемых работ, переездах, быте и отдыхе в полевых условиях
  8. Б1. Какие условия необходимы для применения отсрочки исполнения наказания?
  9. Банки как центры управления финансово-кредитными процессами в условиях рынка.
  10. Баночный массаж в домашних условиях
  11. В какой степени предусмотренные уголовным законом условия правомерного причинения вреда при задержании преступника определяют соответствующие действия работников милиции?
  12. В УСЛОВИЯХ РЫНКА СОВЕРШЕННОЙ КОНКУРЕНЦИИ


Последнее изменение этой страницы: 2016-09-01; Просмотров: 430; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.029 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь