Числовые характеристики случайных величин

Математическим ожиданием случайной величины X (обозначается или )называется величина

(3.25)

Вероятностный смысл математического ожидания ДСВ – это число, около которого группируются средние значения случайной величины с ростом числа испытаний.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле

(3.26)

Пример 3.21.

Пусть распределение ДСВ задано таблицей:

Таблица 3.1


	0, 1	0, 2	0, 4	0, 3

Найти математическое ожидание .

Решение

Пример 3.22.

Пусть распределение НСВ задано плотностью вероятности (3.24):

(3.27)

Найти математическое ожидание .

Решение

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Обозначение дисперсии или .По определению,

(3.28)

Для ДСВ это означает (см. (2.7))

(3.29)

для НСВ (см. (2.8)):

(3.30)

Дисперсия характеризует рассеивание случайной величины относительно ее математического ожидания.

Формулы (3.30) и (3.31) можно преобразовать к более удобному для вычислений виду

(3.31)

(3.32)

Пример 3.22

Найдем дисперсию ДСВ по табл. 4: – (1, 1) ² = 1, 99.

Пример 3.23

Найдем дисперсию НСВ, заданной плотностью вероятности (3.28):

Чаще рассеивание характеризуют средним квадратическим отклонением – величиной, имеющей ту же размерность, что и сама случайная величина X:

(3.33)

В примере 3.22 , в примере 3.28 .

Свойства дисперсии:

3) .

Другие числовые характеристики

Случайной величины

1. Мода (Мо). Модой ДСВ называется ее наивероятнейшее значение. Например, по таблице 2.4: Мо = 1.

Модой НСВ называется значение Х = Мо, соответствующее максимуму плотности вероятности . Для случайной величины в примере 2.4 Мо=4.

2. Квантили. Число называется р - м квантилем распределения, если оно удовлетворяет уравнению , где –функция распределения (см. (2.3)).

Так как , , то .

Таким образом, – это точка, левее которой случайная величина попадает с вероятностью р. Для НСВ квантиль К_р может быть найден из уравнения

(3.35)

(см. свойство 3 плотности вероятности в подразделе 2.5).

Квантили , , ..., называются децилями. Квантили , , ..., называются процентилями.

Пример 2.14. Найдем 25-й процентиль распределения (2.5). По определению или из (2.20):

(отрицательный корень отбрасываем, так как в интервал случайная величина X не попадает).

7. Медиана (Ме). Медианой называется половинный квантиль: Ме = . Очевидно, значения случайной величины X с одинаковой вероятностью 0, 5 могут оказаться как левее, так и правее точки X =Ме.

Например, для распределения (2.1) имеем;

(найдите на графике к примеру 2.4 точки , Ме, ). Отметин, что для распределений, симметричных относительно , .

Биномиальное распределение

(распределение Бернулли)

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие появляется с одной и той же вероятностью р. Такая ситуация называется схемой Бернулли. Требуется найти вероятность того, что событие появляется ровно k раз. Искомая вероятность обозначается и находится по формуле Бернулли

(3.36)

Здесь , – число сочетаний из n элементов по k.

По формуле (3.36) можно найти вероятность того, что событие появляется в n испытаниях 0, 1, 2, …, n раз. Такое распределение вероятностей называется биномиальным.

Пример 3.24. Производится 4 выстрела по мишени с вероятностью попадания 0, 8 в каждом выстреле. Найти вероятность 1) ровно двух попаданий, 2) ровно трех попаданий.

Решение

1. ,

2. .

Заметим, что события (k = 0), (k = 1), ... (k = n) несовместны и в сумме образуют достоверное событие =1.

Основные числовые характеристики биномиального распределения вычисляются по формулам

(3.37)

В примере 2.15 ; ; .

Мода (наивероятнейшее значение) биномиального распределения находится из неравенства

(3.38)

При этом, если есть целое число, то биномиальное распределение имеет две моды:

и .

Пример 3.25

Найти наивероятнейшее число попаданий при четырех выстрелах в примере 1.1.

Решение. , .

При этом вероятности 3 и 4 попаданий одинаковы:

3.19. Нормальное распределение (закон Гаусса)

Нормальное распределение задается плотностью вероятности

(3.39)

Можно показать, что функция удовлетворяет условию нормировки = 1.

Кривая имеет вид, изображенный на рис. 3.1.

Рис. 3.1.

Параметры и в формуле (2.20) являются соответственно математическим ожиданием ( ) и средним квадратическим отклонением ( ) нормально распределенной случайной величины .

Кривая нормального распределения симметрична относительно линии , поэтому .

Введем функцию Лапласа

(3.40)

Таблица значений функции приведена в прилож. 2. Свойства функции Лапласа

1) , т.е. монотонно возрастает.

2) ;

3) ;

4) , если ;

5) , т.е. нечетная функция.

Функция распределения для нормального закона находится через функцию Лапласа (2.21) по формуле

(3.41)

С помощью функции Лапласа находится вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:

(3.42)

Для интервала, симметричного относительно математического ожидания, формула (2.23) дает следующее:

или

(3.43)

Если в формуле (2.24) положить , то получим

(3.44)

все (99, 73%) значения нормально распределенной величины попадают в интервал . Этот факт называют «правилом трех сигм». Интервал I называется зоной практического рассеивания.

Нормальный закон встречается чаще всего в приложениях теории вероятностей. Им с большой моделируются реальные.распределения размеров и веса изделий в одной партии, отклонения точек попадания снаряда от цели, ошибки измерений, распределение людей по росту, по интеллектуальным возможностям и т. д.

Пример 1.3

Шарики для подшипников отбраковываются так: если они проходят в отверстие диаметром , но не проходят в отверстие диаметром , то признаются стандартными. Пусть допуск, т. е. интервал , составляет 2/3 зоны практического рассеивания. Требуется предсказать долю шариков, прошедших отбраковку.

Решение. Диаметр шарика – случайная величина Х, распределенная по нормальному закону с математическим, ожиданием и средним квадратическим отклонением . По условию . По формуле (3.24) находим

Таким образом, при назначенном допуске 95% изготовленных шариков окажутся стандартными.

Пример 3.4

Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием т_х = 8и средним квадратическим отклонением . Найти P(5< Х< 9).

Решение

По формуле (2.23) имеем

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ ТЕСТ

По закону распределения

	-2
	0, 2	0, 4	0, 3	0, 1

в задачах 1– 5 найдите следующее.

	Математическое ожидание	А) 0, 5; Б) 0, 4; В) 0, 6; Г) 0, 25; Д) 0, 3.
	Среднее квадратическое отклонение	А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д) .
	P (X < 1)	А) 0, 2; Б) 0, 3; В) 0, 4; Г) 0, 5; Д) 0, 6.
	Функцию распределения в точке x = 3	А) 0, 5; Б) 0, 9; В) 0, 8; Г Г) 0, 6; Д) 0, 7.
		А) 0, 5; Б) 0, 4; В) 0, 3; Г) 0, 2; Д) 0, 1.

	Производится один выстрел по мишени с вероятностью попадания 0, 8. Найдите дисперсию числа попаданий.	А) 0, 25; Б) 0, 16; В) 0, 53; Г) 0, 47; Д) 0, 28.
	Какие из функций могут служить функциями распределения для некоторой случайной величины? 1) 2) 3) .	А) только 1; Б) только 1 и 2; В) только 2; Г) только 2 и 3; Д) только 1 и 3.

По функции распределения

найдите:

	Плотность вероятности
		А) 0; Б) 0, 5; В) 0, 25; Г) 0, 75; Д) 1.
		А) 0, 25; Б) 0, 5; В) 0, 75; Г) 1; Д) 0.
	Математическое ожидание	А) ; Б) ; В) 0; Г) ; Д) 0.
	Среднее квадратическое отклонение	А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д) .

	Найти медиану.	А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д) .
	В тесте содержится 30 независимых заданий, к каждому заданию на выбор предлагается 5 ответов (правильный ответ один). За правильный ответ начисляется один балл, за неправильный – вычитается 0, 25 балла. Найти наивероятнейшее число полученных студентом баллов, если все ответы выбираются наугад.	А) 1; Б) 0; В) –0, 25; Г) –0, 75; Д) 0, 50;
	Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием равным 1, и средним квадратическим отклонением 0, 2.	А) 0, 73264; Б) 0, 34261; В) 0, 52761; Г) 0, 16329; Д) 0, 83995;

Ответы:

1В, 2А, 3Д, 4Б, 5В, 6Б, 7Г, 8Б, 9Г; 10А; 11Г; 12Б, 13Д, 14В, 15Д.

⇐ Предыдущая 1 23