Лекция 1. Введение в анализ.

Свойства сходящихся последовательностей.

1. Для того, чтобы число а было пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы имело вид , где – бесконечно малая последовательность.

 

 

Действительно, т.к. , то для любого существует номер такой, что

(1)

для . Пусть , тогда

(2)

для , откуда следует, что . Аналогично доказывается и обратное, т. к. из (2) следует (1). □

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Пусть и .

Тогда: а) ;

б) ;

в) (при условии, что ).

Предел функции в точке.

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки за исключением, быть может, самой точки а. Возьмем последовательность точек из этой окрестности, сходящуюся в точке а. Значения функции в точках последовательности, в свою очередь, образуют последовательность

Опр. Число b называется пределом функции f в точке (или при ), если для любой последовательности , сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции сходится к b.

 

Для обозначения предела функции f в точке используется запись .

Можно дать эквивалентное определение предела функции.

 

Опр. Число b называется пределом функции f в точке , если такое, что выполняется неравенство .

 

 

Первое определение основано на понятии пределов последовательностей и поэтому его называют определением «на языке последовательностей» или определением по Гейне. Второе определение называют определением «на языке » или определением по Коши.

Рис. 1

Односторонние пределы. В определении предела функции считается, что х стремится к а любым способом: оставаясь меньше, чем а (слева от а) или больше, чем а (справа от а).

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к а существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятие односторонних пределов.

Опр. Число b называется правым пределом (пределом справа) в точке , если для любой сходящейся к а последовательности , члены которой больше или равны а ( ), соответствующая последовательность сходится к b; обозначается: .

Аналогично, число b называется левым пределом (слева) в точке , если , , соответствующая последовательность сходится к b; обозначается: .

Естественно, что можно сформулировать эти определения «на языке ».

 

Правый и левый пределы функций в точке называются односторонними. В случае, когда , используются обозначения: , .

Коротко предел слева и справа обозначают . Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем совпадает с ними.

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела , , и они равны, то существует предел и . Если же ¹ , то не существует.

Предел функции при .

Опр. Число b называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность значений функции сходится к b и обозначается .

Аналогично определяется предел функции при : и при

Опр. Функция называется бесконечно малой при , если .

Функция называется бесконечно большой при , если .

 

В приводимых ниже свойствах будем считать, что пределы и существуют.

Свойство 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: .

Для разности функций доказательство аналогично.

Следствие 1. Функция может иметь только один предел в точке . Действительно, пусть и . По свойству 1 . Отсюда , то есть . □

Свойство 2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: .

Следствие 2. а) Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

б) Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

Свойство 3. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

.

 

Для раскрытия неопределенностей вида часто бывает полезным применять замену бесконечно малой функции на эквивалентную ей.

Приведем важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:

1. при ;

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. в частности .

Лекция 4. Понятие производной функции. Правила дифференцирования. Таблица производных.

Пусть функция определена и непрерывна в окрестности точки . Если независимой переменной х придать приращение Dх в этой точке, то функция получит соответствующее приращение . Если Dх®0, то, по определению непрерывной в точке функции, и Dу®0 .

 

С целью исследования скорости изменения значений функции вводится понятие производной, одного из важнейших понятий математики.

 

Опр. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

 

Для обозначения производной используются символы: . Таким образом, по определению

. (1)

 

 

Операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Если функция имеет производную в каждой точке , то производную можно рассматривать как функцию переменной х на множестве X.

Из определения производной следует и способ ее вычисления.

Пример 1. Найти производную функции в точке .

Решение. Придадим приращение Dх аргументу в точке . Найдем соответствующее приращение Dу функции :

Воспользуемся формулой (1):

.

Таким образом, . □

Теорема 1. Если функция в точке х имеет производную , то она непрерывна в этой точке.

Дифференциал функции.

 

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда приращение функции в этой точке может быть записано по формуле (1), где . Так как является бесконечно малой функцией более высокого порядка по сравнению c (при условии, что ), то . Поэтому первое слагаемое является главной частью приращения , линейной относительно .

 

Главная часть приращения функции в точке x, линейная относительно , называется дифференциалом функции в этой точке. Для обозначения дифференциала используется обозначение , а поскольку , то

. (2)

 

Если , то не является, вообще говоря, главной частью приращения . В этом случае, по определению, .

Геометрический смысл дифференциала. Для выяснения геометрического смысла дифференциала проведем к графику функции в точке касательную МТ (рис.1) и обозначим через угол ее наклона к положительному направлению оси .

 

 

Поскольку , то . Поэтому из треугольника MLN следует, что дифференциал dy есть приращение ординаты точки касания, соответствующее приращению аргумента .

Из обозначения производной функции или видно, что производная функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу аргумента.

 

Решение.

Имеем . □

Таблица дифференциалов. Согласно формуле (2), можно из таблицы производных получить аналогичную таблицу для дифференциалов. Так, из формулы , умножив обе части на , будем иметь:

, или и т. д.

 

Теорема Ферма. Пусть функция f определена на интервале и в некоторой точке имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, т.е. .

 

Теорема Ролля. Пусть функция f непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает равные значения, то есть . Тогда существует точка , в которой .

Теорема Лагранжа. Если функция f непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то существует точка , такая, что справедлива формула:

.

Теорема Коши. Если функции f и g непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем , то существует точка , такая, что справедливо равенство .

Теорема 1 (правило Лопиталя). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением, быть может, точки а; и в указанной окрестности. Тогда, если существует , то существует также и , причем

.

 

Первообразная функция.

 

Основной операцией дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Однако возникает вопрос о существовании операции, обратной дифференцированию.

 

Восстановление функции по известной производной этой функции есть одна из основных задач интегрального исчисления.

Опр. Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке X, если : .

Например, функция является первообразной для функции , так как .

Функция является первообразной для функции на т.к. .

 

Задача об отыскании первообразной по данной функции решается неоднозначно. Если, например, есть первообразная для функции , то функция также является первообразной для функции . Действительно, . В частности, функция , где C – произвольная постоянная, есть первообразная для функции .

Утверждение 1. Если и – две первообразные для функции на промежутке X, то они отличаются лишь на постоянную, т.е. где – некоторая постоянная.

Другими словами, если есть первообразная для функции , то множество функций включает все первообразные для данной функции .

Замечание 1. Ранее было показано, что не все функции, заданные на каком-либо интервале имеют производную. Аналогично, не всякая функция имеет первообразную.

 

Рассмотрим, например, функцию

Эта функция определена на интервале и не может являться производной какой-либо функции на , т.к. по теореме Дарбу производная принимает все свои промежуточные значения, а – всего три значения: 2, 3, 4.

Неопределенный интеграл.

Опр. Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом функции и обозначается

.

Функция называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, переменная x – переменной интегрирования.

Итак, если - первообразная функции на промежутке X, то , где С – произвольная постоянная.

 

Подчеркнем, что символ обозначает совокупность всех первообразных для функции . Отыскание неопределенного интеграла по известной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции.

Пример 1. Найти следующие интегралы:

а) , б) , в) .

Решение. Воспользовавшись таблицей производных, имеем:

а) , б) , в) ,

т. к. , , . □

Свойства неопределенного интеграла.

1) Если функция дифференцируема на некотором промежутке, то на нем

или, что то же самое,

Это сразу следует из определения неопределенного интеграла как совокупности всех дифференцируемых функций, дифференциал которых стоит под знаком интеграла.

2) Пусть функция имеет первообразную на некотором промежутке , тогда для всех имеет место равенство

Отметим, что в этом равенстве под интегралом понимается произвольная первообразная функции . Поэтому это равенство можно записать в виде

Справедливость последнего следует из того, что − первообразная .

3) Если функция имеет первообразную на промежутке и − число, то функция также имеет на первообразную, причем при справедливо равенство

4) Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций, т.е. .

Лекция 8. Таблица интегралов. Основные способы интегрирования.

Приведем таблицу основных интегралов. Формулы таблицы являются следствием таблицы производных и определения неопределенного интеграла.

1. , .

2. .

3. , .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9.

10.

11.

12.

13. .

14. , .

15. , .

16. , .

Интегрирование по частям.

Утверждение 2. Пусть функции и дифференцируемы на промежутке X и пусть существует . Тогда существует и справедлива формула

. ( 2 )

Пример 3. Найти .

Решение. При интегрировании по частям важно правильно выбрать функции так, чтобы интеграл справа в формуле (2) оказался приводимым к табличному. В данном случае удобно положить , . Из последнего равенства найдем функцию v:

, .

Применяя формулу (2), находим

.

 

При интегрировании по частям можно не выписывать функции u и v, а только подразумевать их.

Например,

.

Лекция 1. Введение в анализ.

 

 

Числовая последовательность. Способы задания.

Опр. Пусть N – множество натуральных чисел. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое число , то говорят, что определена числовая последовательность . Числа , называют элементами или членами последовательности.

 

Числовую последовательность (в дальнейшем – последовательность) будем еще записывать в виде , а выражение называть общим членом последовательности, n – номером члена.

 

Последовательности встречались в курсе средней школы. Например, бесконечная геометрическая прогрессия 1, q, …, qⁿ, …, является числовой последовательностью.

Опр. Последовательности , , , называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей { }и { } (для частного , ).

Простым способом задания последовательности является аналитический способ, т.е. задание с помощью формулы n-го члена:

.(1)

Формула (1) позволяет определить любой член последовательности по номеру n.

Так, равенства

задают соответственно последовательности

, , , .

Опр. Последовательность {x_n} называется ограниченной, если такое, что

.

 

Опр. Последовательность { } называется неограниченной, если

 

Например: а) последовательность ограничена, т.к. ;

б) последовательность 1, 2², 3², …, п², … является неограниченной, т.к. каково бы ни было число такое, что .

Последовательности { } и { } из п.1⁰ ограничены, а { } и { } – неограниченны.

 

Понятие функции. При изучении явлений природы, физических, экономических и других процессов часто встречаются с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин полностью определяют значения других. Например, площадь круга S однозначно определяется значением его радиуса с помощью формулы .

Опр. Пусть Х и – два произвольных множества действительных чисел. Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу f поставлен в соответствие вполне определенный элемент у из множества , то говорят, что задана функция f. Для функции f используются следующие обозначения: .

 

Переменная х называется независимой переменной или аргументом функции, переменная у – зависимой переменной или функцией. Множество Х называют областью определения или областью существования функции f. Множество всех значений у, , называется областью значений функции.

 

Значение , что соответствует определенному аргументу при функциональной зависимости , называют еще образом переменной

 

Функция каждому элементу области определения ставит в соответствие единственный элемент области значений.

Например, функция определена на отрезке , т.е. областью определения является множество . Множеством значений функции в данном случае является отрезок [0; 1], .

Опр. Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянную функцию часто обозначают буквой С.

Опр. Функция f, определенная на множестве X, называется ограниченной, если такое, что .

Например, функция является ограниченной на R, так как , функция не является ограниченной на интервале , так как не существует числа такого, чтобы .

Опр. Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве Х, если для любых значений из этого множества выполняется неравенство . Если же для любых выполняется , то функция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве Х.

Функции всех указанных типов носят название монотонных. Такие функции часто встречаются в различных математических приложениях. Например, освещенность, меняющаяся по мере удаления от источника света, является монотонно убывающей функций расстояния.

Опр. Графиком функции называется множество всех точек плоскости с координатами , т.е. координаты х и точек графика связаны соотношением .

Например, графиком функции является парабола. Естественно, что графиком функции не обязательно является «сплошная» кривая. В частности, графиком функции будет бесконечное множество изолированных точек).
Лекция 2. Предел последовательности и предел функции. Основные теоремы о пределах функций.

Опр. Число a называется пределом последовательности { }, если такое, что и обозначается .

Геометрически это означает, что в любой -окрестности точки находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера (зависящего, вообще говоря, от ).

Пример 1. Доказать, что .

123Следующая ⇒

Поделиться: