Лекция 3. Непрерывность функции. Точки разрыва.

 

 

Опр. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Функция называется непрерывной в точке а, если

. (1)

 

Равенство (1) означает выполнение трех условий:

1) функция определена в точке и в некоторой ее окрестности;

2) функция имеет предел при ;

3) предел функции в точке а равен значению функции в этой точке.

Так как , то равенство (1) можно записать в виде

.

 

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию вместо аргумента подставить его предельное значение.

Например, .

Опр. Если , то функция называется непрерывной в точке а справа; если , то – непрерывной в точке а слева.

 

На основании изложенного заключаем: для того, чтобы функция была непрерывной в точке а, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной в этой точке справа и слева.

 

Приведем еще одно определение функции, непрерывной в точке .

 

Равенство (1) равносильно следующему: .

Если учесть, что соотношения и также равносильны, то получим, что условие непрерывности функции в точке а запишется в виде

. (2)

Опр. Разность называют приращением независимой переменной в точке а и обозначают через , а разность – приращением функции в точке а и обозначают . Теперь условие (2) можно записать так:

. (3)

Заметим здесь, что и .

 

 

Тогда новое определение непрерывности функции в точке будет следующим.

 

Опр. Функция называется непрерывной в точке а, если ее приращение в этой точке есть бесконечно малая функция.

 

Геометрический смысл этого определения показан на рис.1.

 

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Функция определена при всех . Возьмем произвольную точку и найдем приращение : .

Тогда .

Согласно определению (3), функция непрерывна в любой точке . □

Опр. Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке . Если же, кроме того, функция непрерывна в точке а справа, а в точке – слева, то функция называется непрерывной на отрезке .

 

Опр. Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, а в точках а и имеет соответствующие односторонние пределы.

 

Опр. Точка а называется точкой разрыва функции , если функция не является непрерывной в этой точке.

 

Если – точка разрыва функции , то в ней не выполняется, по крайней мере, одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в некоторой окрестности точки а, но не определена в самой точке а.

 

Например, функция не определена в точке (рис. 2).

Рис. 2

Рис. 3

2. Функция определена в точке а и ее окрестности, но не существует предела при .

 

 

Например, функция

(3)

определена в точке , однако в точке имеет разрыв (рис. 3), т. к. эта функция не имеет предела в этой точке:

, а .

 

3. Функция определена в точке а и ее окрестности и существует .

 

Например, рассмотрим функцию (рис. 4)

(4)

Рис. 4

Здесь – точка разрыва функции , т.к. а .

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

 

Опр. Точка а называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, т.е. и . При этом:

а) если , то точка а называется точкой устранимого разрыва;

б) если , то точка а называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва .

 

Опр. Точка а называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует.

 

Так, функция (рис. 2) имеет разрыв второго рода в точке . Для функции (3) (рис. 4) точка является точкой разрыва первого рода со скачком, равным . Точка является точкой разрыва первого рода для функции (4) (рис. 5). Положив (вместо ) при , разрыв устранится, функция станет непрерывной в точке .

 

 

Лекция 4. Понятие производной функции. Правила дифференцирования. Таблица производных.

Пусть функция определена и непрерывна в окрестности точки . Если независимой переменной х придать приращение Dх в этой точке, то функция получит соответствующее приращение . Если Dх®0, то, по определению непрерывной в точке функции, и Dу®0 .

 

С целью исследования скорости изменения значений функции вводится понятие производной, одного из важнейших понятий математики.

 

Опр. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

 

Для обозначения производной используются символы: . Таким образом, по определению

. (1)

 

 

Операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Если функция имеет производную в каждой точке , то производную можно рассматривать как функцию переменной х на множестве X.

Из определения производной следует и способ ее вычисления.

Пример 1. Найти производную функции в точке .

Решение. Придадим приращение Dх аргументу в точке . Найдем соответствующее приращение Dу функции :

Воспользуемся формулой (1):

.

Таким образом, . □

Теорема 1. Если функция в точке х имеет производную , то она непрерывна в этой точке.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. А. Механизмы творчества с точки зрения З. Фрейда и его последователей
2. Абсорбционные ткани. Формирование, строение и выполняемые функции.
3. Анализ предполагаемого технологического процесса с точки зрения охраны окружающей среды и условий труда
4. Афинский строй с олигархической точки зрения
5. Базы данных. Назначение и основные функции.
6. Веки, их строение и функции. Методы исследования. Профилактика хронических блефаритов очковой коррекцией (рецепт на очки).
7. Взгляд с точки зрения психологии.
8. Взгляд с точки зрения психопатологии развития.
9. Внимание как объект психологического исследования. Функции. Виды. Свойства.
10. Вопрос 1. Понятие товара с точки зрения теории и практики маркетинга.
11. Глава 6. Интересно разобраться, что же представляет из себя порода с точки зрения генетика
12. Глава девятая. Точки сингулярности.