Понятие дифференцируемости функции в точке.

Опр. Функция называется дифференцируемой в точке x, если ее приращение y в этой точке можно представить в виде

, (1)

где А – некоторое число, не зависящее от – бесконечно малая функция при .

Теорема 1. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке x необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную .

Дифференциал функции.

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда приращение функции в этой точке может быть записано по формуле (1), где . Так как является бесконечно малой функцией более высокого порядка по сравнению c (при условии, что ), то . Поэтому первое слагаемое является главной частью приращения , линейной относительно .

Главная часть приращения функции в точке x, линейная относительно , называется дифференциалом функции в этой точке. Для обозначения дифференциала используется обозначение , а поскольку , то

. (2)

Если , то не является, вообще говоря, главной частью приращения . В этом случае, по определению, .

Геометрический смысл дифференциала. Для выяснения геометрического смысла дифференциала проведем к графику функции в точке касательную МТ (рис.1) и обозначим через угол ее наклона к положительному направлению оси .

Поскольку , то . Поэтому из треугольника MLN следует, что дифференциал dy есть приращение ординаты точки касания, соответствующее приращению аргумента .

Из обозначения производной функции или видно, что производная функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу аргумента.

Механический смысл дифференциала.

Рассмотрим неравномерное прямолинейное движение точки по закону , где – длина пути, t – время. Пусть выражает истинное приращение пути за промежуток времени .

Вычислим дифференциал пути. Так как – скорость в момент t, то , т. е. .

Таким образом, дифференциал пути равен приращению пути, полученному в предположении, что, начиная с рассматриваемого момента времени t, точка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.

Инвариантность формы дифференциала.

Найдем дифференциал сложной функции. Пусть , где , причем имеет производную по u, а – по x. Тогда, по правилу дифференцирования сложной функции, получаем

Значит, . Поскольку , то .

Таким образом, форма записи дифференциала не зависит от того, является аргумент независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называют инвариантностью формы дифференциала.

Пример 1. Найти дифференциал сложной функции

Решение.

Имеем . □

Таблица дифференциалов. Согласно формуле (2), можно из таблицы производных получить аналогичную таблицу для дифференциалов. Так, из формулы , умножив обе части на , будем иметь:

, или и т. д.

Теорема Ферма. Пусть функция f определена на интервале и в некоторой точке имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, т.е. .

Теорема Ролля. Пусть функция f непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает равные значения, то есть . Тогда существует точка , в которой .

Теорема Лагранжа. Если функция f непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то существует точка , такая, что справедлива формула:

Теорема Коши. Если функции f и g непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем , то существует точка , такая, что справедливо равенство .

Теорема 1 (правило Лопиталя). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением, быть может, точки а; и в указанной окрестности. Тогда, если существует , то существует также и , причем

Лекция 7. Понятие первообразной функции и неопределенный интеграл.

Первообразная функция.

Основной операцией дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Однако возникает вопрос о существовании операции, обратной дифференцированию.

Восстановление функции по известной производной этой функции есть одна из основных задач интегрального исчисления.

Опр. Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке X, если : .

Например, функция является первообразной для функции , так как .

Функция является первообразной для функции на т.к. .

Задача об отыскании первообразной по данной функции решается неоднозначно. Если, например, есть первообразная для функции , то функция также является первообразной для функции . Действительно, . В частности, функция , где C – произвольная постоянная, есть первообразная для функции .

Утверждение 1. Если и – две первообразные для функции на промежутке X, то они отличаются лишь на постоянную, т.е. где – некоторая постоянная.

Другими словами, если есть первообразная для функции , то множество функций включает все первообразные для данной функции .

Замечание 1. Ранее было показано, что не все функции, заданные на каком-либо интервале имеют производную. Аналогично, не всякая функция имеет первообразную.

Рассмотрим, например, функцию

Эта функция определена на интервале и не может являться производной какой-либо функции на , т.к. по теореме Дарбу производная принимает все свои промежуточные значения, а – всего три значения: 2, 3, 4.

Неопределенный интеграл.

Опр. Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом функции и обозначается

Функция называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, переменная x – переменной интегрирования.

Итак, если - первообразная функции на промежутке X, то , где С – произвольная постоянная.

Подчеркнем, что символ обозначает совокупность всех первообразных для функции . Отыскание неопределенного интеграла по известной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции.

Пример 1. Найти следующие интегралы:

а) , б) , в) .

Решение. Воспользовавшись таблицей производных, имеем:

а) , б) , в) ,

т. к. , , . □

Свойства неопределенного интеграла.

1) Если функция дифференцируема на некотором промежутке, то на нем

или, что то же самое,

Это сразу следует из определения неопределенного интеграла как совокупности всех дифференцируемых функций, дифференциал которых стоит под знаком интеграла.

2) Пусть функция имеет первообразную на некотором промежутке , тогда для всех имеет место равенство