Краткие сведения из теории подобия.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Для аналитического метода исследования конвективного теплообмена нужно решить систему дифференциальных уравнений, состоящий из:

1). Уравнения энергии (закон сохранения энергии):

, (10.4)

где: q_υ- внутренний источник тепла.

или

, (10.5)

где: ; (10.6)

. (10.7)

2). Уравнения движения (импульса):

, (10.8)

или

. (10.9)

3). Уравнения неразрывности (закон сохранения массы):

. (10.10)

4). Уравнение теплообмена (условие теплообмена на границе твердого тела и среды):

α = -λ /Δ t· ∂ t / ∂ r _n=0. (10.11)

Данные уравнения записаны для несжимаемой жидкости (? = Const).

Решение этих дифференциальных уравнений сложная и трудоемкая задача, и она возможна при ограниченных простых случаев. Поэтому при исследовании конвективного теплообмена применяют метод теории подобия.

Теория подобия – это наука о подобных явлениях. Подобными явлениями называются такие физические явления, которые одинаковы качественно по форме и по содержанию, т.е. имеют одну физическую природу, развиваются под действием одинаковых сил и описываются одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями и краевыми условиями.

Обязательным условием подобия физических явлений должно быть геометрическое подобие систем, где эти явления протекают. Два физических явления будут подобны лишь в том случае, если будут подобны все величины, которые характеризуют их.

Для всех подобных систем существуют безразмерные комплексы величин, которые называются критериями подобия.

Основные положения теории подобия формулируют в виде 3-х теорем подобия.

1 теорема: Подобные явления имеют одинаковые критерии подобия.

2 теорема: Любая зависимость между переменными, характеризую-щая какие-либо явления, может быть представлена, в форме зависимости между критериями подобия, составленными из этих переменных, которая будет называться критериальным уравнением.

3 теорема: Два явления подобны, если они имеют подобные условия однозначности и численно одинаковые определяющие критерии подобия.

Условиями однозначности являются:

· наличие геометрического подобия систем;

· наличие одинаковых дифференциальных уравнений;

· существование единственного решения уравнения пр заданных граничных условиях;

· известны численные значения коэффициентов и физических параметров.

Критериальные уравнения конвективного теплообмена.

Используя теорию подобия из системы дифференциальных уравнений 10.4, 10.9, 10.10 и 10.11 можно получить уравнение теплоотдачи (10.3) для конвективного теплообмена в случае отсутствия внутренних источников тепла в следующем критериальной форме:

Nu = f₂(Х; Ф; X₀; Y₀; Z₀; Re; Gr; Pr), (10.12)

где: X₀; Y₀; Z₀ – безразмерные координаты;

Nu = α ·l₀/λ - критерий Нуссельта (безразмерный коэффициент теплоотдачи), характеризует теплообмен между поверхностью стенки и жидкостью (газом);

Re = w·l₀/ν - критерий Рейнольдса, характеризует соотношение сил инерции и вязкости и определяет характер течения жидкости (газа);

Gr = (β ·g·l₀³·Δ t)/ν ² - критерий Грасгофа, характеризует подьемную силу, возникающую в жидкости (газе) вследствие разности плотностей;

Pr = ν /а = (μ ·c_p)/λ - критерий Прандтля, характеризует физические свойства жидкости (газа);

l₀ – определяющий размер (длина, высота, диаметр).

Расчетные формулы конвективного теплообмена.

Приведем некоторые основные расчетные формулы конвективного теплообмена (академика М.А.Михеева), которые даны для средних значений коэффициентов теплоотдачи по поверхности стенки.

1. Свободная конвекция в неограниченном пространстве.

а). Горизонтальная труба диаметром d при 10³< (Gr··Pr)_жd < 10⁸.

Nu_жdср. = 0, 5·(Gr_жd ·Pr_ж)^{0, 25} (Pr_ж/Pr_ст)^{0, 25}. (10.13)

б). Вертикальная труба и пластина:

1). ламинарное течение - 10³< (Gr ·Pr)_ж < 10⁹:

Nu_жdср. = 0, 75· (Gr_жd ·Pr_ж)^{0, 25}·(Pr_ж/Pr_ст)^{0, 25}. (10.14)

2). турбулентное течение - (Gr ·Pr)_ж > 10⁹:

Nu_жdср. = 0, 15· (Gr_жd ·Pr_ж)^{0, 33} ·(Pr_ж/Pr_ст)^{0, 25}. (10.15)

Здесь значения Gr_жd и Pr_ж берутся при температуре жидкости (газа), а Pr_ст при температуре поверхности стенки.

Для воздуха Pr_ж/Pr_ст = 1 и формулы (10.13-10.15) упрощаются.

Вынужденная конвекция.

Режим течения определяется по величине Re.

а). Течение жидкости в гладких трубах круглого сечения.

1). ламинарное течение – Re < 2100

Nu_жdср. = 0, 15·Re_жd^{0, 33}·Pr_ж^{0, 33}·(Gr_жd·Pr_ж)^{0, 1}·(Pr_ж/Pr_ст)^{0, 25}·ε _l, (10.16)

где ε _l - коэффициент, учитывающий изменение среднего коэффициента теплоотдачи по длине трубы и зависит от отношения длины трубы к его диаметру (l/d). Значения этого коэффициента представлена в таблице 10.1.

Таблица 10.1.

Значение ε _l при ламинарном режиме.

l/d
ε _l	1, 9	1, 7	1, 44	1, 28	1, 18	1, 13	1, 05	1, 02	1, 0

2). переходной режим – 2100 < Re < 10⁴

Nu_жdср. = К₀·Pr_ж^{0, 43}·(Pr_ж/Pr_ст)^{0, 25}·ε _l. (10.17)

Коэффициент К₀ зависит от критерия Рейнольдса Re и представлена в таблице 10.2.

Таблица 10.2.

Значение К₀.

Re? 10⁴	2, 1	2, 2	2, 3	2, 4	2, 5
К₀	1, 9	2, 2	3, 3	3, 8	4, 4	6, 0	10, 3	15, 5	19, 5	27, 0	33, 3

3). турбулентное течение – Re = 10⁴

Nu_жdср. = 0, 021· Re_жd^{0, 8}·Pr_ж^{0, 43}· (Pr_ж/Pr_ст)^{0, 25}·ε _l. (10.18)

Таблица 10.3.

Значение ε _l при турбулентном режиме.

l/d
	Re = 2·10³	Re = 2·10⁴	Re = 2·10⁵
	1, 9	1, 51	1, 28
	1, 70	1, 40	1, 22
	1, 44	1, 27	1, 15
	1, 28	1, 18	1, 10
	1, 18	1, 13	1, 08
	1, 13	1, 11	1, 06
	1, 05	1, 05	1, 03
	1, 02	1, 02	1, 02
	1, 00	1, 00	1, 00

б).Обтекание горизонтальной поверхности.

1). ламинарное течение – Re < 4·10⁴

Nu_жdср. = 0, 66·Re_жd^{0, 5}·Pr_ж^{0, 33}·(Pr_ж/Pr_ст)^{0, 25}. (10.19)

2). турбулентное течение – Re > 4·10⁴

Nu_жdср. = 0, 037·Re_жd^{0, 5}·Pr_ж^{0, 33}·(Pr_ж/Pr_ст)^{0, 25}. (10.20)

в). Поперечное обтекание одиночной трубы (угол атаки j = 90⁰).

1). при Re_жd = 5 - 10³

Nu_жdср. = 0, 57·Re_ж^{0, 5}·Pr_ж^{0, 38}·(Pr_ж/Pr_ст)^{0, 25}. (10.21)

2). при Re_жd = 10³ -2·10⁵

Nu_жdср. = 0, 25 ·Re_ж^{0, 6}·Pr_ж^{0, 38}·(Pr_ж/Pr_ст)^{0, 25}. (10.22)

⇐ Предыдущая 12