Метод последовательных уступок

В некоторых случаях вместо одного обобщенного критерия и решения одной соответствующей задачи скалярной оптимизации предлагается рассматривать последовательность обобщенных критериев и последовательность задач скалярной оптимизации. Рассмотрим один из таких методов решения многокритериальных задач – метод последовательных уступок.Этот метод применяется в случае, когда частные критерии могут быть упорядочены в порядке убывания их важности.

Предположим, что все частные критерии максимизируются и пронумерованы в порядке убывания их важности. Находим максимальное значение первого по важности критерия в области допустимых решений путем решения однокритериальной задачи

Затем, исходя из практических соображений и принятой точности, назначается величина допустимого отклонения (параметр экономически оправданной уступки) критерия и находится максимальное значение второго критерия при условии, что значение первого критерия не должно отклоняться от своего максимального значения более чем на величину допустимой уступки, т.е. решатся задача:

Снова назначается величина уступки по второму критерию, которая вместе с первой уступкой используется для нахождения условного максимума третьего частного критерия:

Аналогичные процедуры повторяются до тех пор, пока не будет выявлено максимальное значение последнего по важности критерия при условии, что значение каждого из первых m-1 частных критериев отличается от соответствующего условного максимума не более чем на величину допустимой уступки по данному критерию. Полученное на последнем этапе решение считается оптимальным. Следует заметить, что этот метод не всегда приводит к эффективному решению.

Пример. Решим задачу многокритериальной оптимизации методом последовательных уступок.

Решение. Пусть задача трехкритериальной оптимизации имеет вид

Заметим, что, так как коэффициенты при одних и тех же переменных в данных частных критериях имеют разные знаки, то в заданной области допустимых решений невозможно одновременно улучшить все частные критерии, т.е. в рассматриваемом случае область компромиссов (область Парето) совпадает с областью допустимых решений.

Для определенности будем считать, что допустимые уступки по первым двум критериям заданы:

Максимизируем функцию в области допустимых решений, т.е. решаем однокритериальную задачу. Это несложно сделать графическим методом решения ЗЛП (см. рис. 2).

Максимум функции достигается в точкеА области Q с координатами (1; 4), так что в данном случае

 

Рисунок 2. Решение однокритериальной задачи по критерию

 

Переходим к максимизации функции при тех же условиях и дополнительном ограничении, позволяющем учесть, что по критерию нельзя уступать более чем на . Так как в нашем примере , то дополнительное ограничение будет иметь вид:

.

Задачу с новым ограничением также решаем графически (см. рис. 3).

Получаем, что максимум функции достигается в точкеВ части области Q, так что

Теперь уступаем по критерию на величину уступки и получаем второе дополнительное ограничение:

Рисунок 3. Решение однокритериальной задачи по критерию

 

Максимизируем функцию при условиях

 

Решение этой задачи представлено на рисунке 4.

Таким образом, получаем оптимальное решение рассматриваемой трехкритериальной задачи в точкеС:

.

Соответствующие значения частных критериев при этом составляют:

.

 

Рисунок 4. Решение однокритериальной задачи по критерию

 

Задачи для самостоятельного решения

 

Задание 1. Найти компромиссное решение многокритериальной задачи оптимизации методом последовательных уступок и / или методом идеальной точки[5]. При использовании метода последовательных уступок принять величину экономически оправданной уступки по первому критерию, равной .

Варианты 1.1 – 1.10
1.1		1.2
1.3		1.4
1.5		1.6
1.7		1.8
1.9		1.10

 

 

Раздел 4. Неотрицательные матрицы и модели Леонтьева

 

Рассмотрим применение матричного исчисления к задачам в экономической сфере, а именно, в межотраслевом балансе.

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Процедура построения дерева целей включает в себя несколько последовательных шагов.
2. Решение системы уравнений методом последовательных приближений при правильном построении итерационного контура счета