|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Введение. Понятие, роль и этапы математического моделирования в экономике и финансахСтр 1 из 9Следующая ⇒
Е.С. Филонова ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ Учебное пособие Для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Экономика», «Менеджмент», «Бизнес-информатика»
(программа подготовки бакалавра) Рекомендовано Ученым советом Орловского филиала Финансового университета (протокол № 34 от 20 мая 2016 г.) Одобрено кафедрой «Математика и информатика» (протокол № 8 от 19 апреля 2016 г.) ОРЕЛ 2016 ББК 65в631
Рецензент: кандидат экономических наук, профессор Департаментаанализа данных, принятия решений и финансовых технологий Финансового университета Орлова И.В. Ф 55Филонова Е.С. Линейные модели в экономике. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениямподготовки«Экономика», «Менеджмент», «Бизнес-информатика»(программа подготовки бакалавра). – Орел: ООО ПФ «Картуш», 2016.– 120 с.
Настоящее учебное пособие включает в себя теоретические и практические материалыдля освоения отдельныхразделов экономико-математического моделирования, включенных в содержание дисциплины «Методы оптимальных решений», котораяявляется дисциплиной базовой части образовательных программ Финансового университета по направлениям подготовки«Экономика», «Менеджмент», «Бизнес-информатика». Учебное пособие предназначено для студентов направлений подготовки «Экономика», «Менеджмент», «Бизнес-информатика» (программа подготовки бакалавра).Оно может быть полезно также преподавателям вузов в части методического инструментария и подборки заданий для самостоятельной работы студентов.
ББК 65в631
© Филонова Е.С., 2016 © Финансовый университет, Орловский филиал, 2016 Содержание
Предисловие. 4 Введение. Понятие, роль и этапы математического моделирования в экономике и финансах. 6 Раздел 1. Основы линейного программирования. 12 1.1. Экономико-математическая модель оптимизационной задачи и задачи линейного программирования. 12 1.2. Графический метод решения задачи линейного программирования. 15 1.3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. 22 1.4. Основы теории двойственности. 29 Задачи для самостоятельного решения. 39 Раздел 2. Специальные задачи линейного программирования. 51 2.1. Задачи дискретного программирования. 51 2.2. Транспортная задача. Методы построения опорного плана. Улучшение плана методом потенциалов. 61 Задачи для самостоятельного решения. 76 Раздел 3. Задачи многокритериальной оптимизации. 88 3.1. Происхождение и постановка задачи многокритериальной оптимизации 88 3.2. Основные методы решения многокритериальных задач. 90 Задачи для самостоятельного решения. 97 Раздел 4. Неотрицательные матрицы и модели Леонтьева. 99 4.1. Некоторые сведения из линейной алгебры.. 99 4.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. 103 Задачи для самостоятельного решения. 118 Рекомендуемая литература. 121 Предисловие
Настоящее учебное пособие включает в себя теоретические и практические материалы для освоения отдельных разделов экономико-математического моделирования, включенных в содержание дисциплины «Методы оптимальных решений», которая является дисциплиной базовой части образовательных программ Финансового университета по направлениям подготовки «Экономика», «Менеджмент», «Бизнес-информатика». Курс «Методы оптимальных решений» посвящен основам теории оптимизации. В большей степени в нем будут рассматриваться основы линейного программирования, финансово-экономические приложения линейного программирования, элементы теории игр и другие разделы экономико-математического моделирования. Данное учебное пособие состоит из четырех разделов. В разделе «Основы линейного программирования» студент найдет подробную информацию о задачах линейного программирования, различных методах их решения, познакомится с основами теории двойственности. Раздел «Специальные задачи линейного программирования» посвящен задачам дискретного программирования, транспортным задачам, методам их решения и различным модификациям транспортных задач. В разделе 3 представлены методы решения задач многокритериальной оптимизации. Четвертый раздел – «Неотрицательные матрицы и модели Леонтьева», представляет классический пример использования систем линейных уравнений при моделировании макроэкономических процессов. Здесь представлены теоретические предпосылки для построения моделей «затраты-выпуск», а также показаны примеры их практической реализации. Разделы данного пособия содержатся и в другой учебной литературе. Однако автор надеется, что изложение материала в компактной, доступной и наглядной форме позволит студентам быстро и качественно освоить различные процедуры экономико-математического моделирования, овладеть способами решения соответствующих задач «вручную». Учебное пособие предназначено для студентов направлений подготовки «Экономика», «Менеджмент», «Бизнес-информатика» (программа подготовки бакалавра). Оно может быть полезно также преподавателям вузов в части методического инструментария и подборки заданий для самостоятельной работы студентов. Раздел1. Основы линейного программирования Примерызадач линейного программирования 1. Задача об оптимальном использовании ресурсов (задача о коврах). В распоряжении фабрики имеется определенное количество ресурсов: рабочая сила (80 чел.-дней), сырье (480 кг), оборудование (130 станко-часов).Фабрика может выпускать ковры четырех типов. Данные о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого типа, и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого типа товаров, приведены в таблице:
Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором общая стоимость продукции будет максимальной. ЭММ задачи: F – общая максимальная стоимость продукции (критерий оптимальности);
Заметим, что левые части ограничений модели равны фактическим затратам ресурсов при производстве продукции. 2. Задача об инвесторе. Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В — 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год? ЭММ задачи: F – максимальная прибыль инвестора в первый год (критерий оптимальности); 3. Задача о банке. Пусть собственные средства банка в сумме с депозитами составляют Р млн руб. Часть этих средств, но не менее Q млн руб., должна быть размещена в кредитах, а вложения в ценные бумаги должны составлять не менее r% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах. Если ЭММ задачи: F – максимальная прибыль банка; 4. Задача о диете (рекомендуется рассмотреть самостоятельно[4]). Выделяют два основных метода решения задач линейного программирования: 1) графический, 2) алгебраический (симплексный).
Варианты 2.1 – 2.10
2.1.Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед. Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В – 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?
2.2. Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:
2.3.Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?
2.4.На имеющихся у фермера 400 гектарах земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои – 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед.. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей – 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои – 6 ден. ед. Однако, согласно этому договору, фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров. Фермеру хотелось бы знать, сколько гектар нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.
2.5.Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 ден. ед. для краски Е и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
2.6. Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000$) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».Анализируются акции «Дикси-Е» и «Дикси-В». Цены на акции: «Дикси-Е» – 5$ за акцию; «Дикси-В» – 3$ за акцию. Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.По оценкам «АВС» прибыль от инвестиций в эти две акции в следующем году составит: «Дикси-Е» – 1, 1$; «Дикси-В» – 0, 9$. Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.
2.7. Завод-производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей Х и Y. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали типа Х требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа Y – 2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа Х и 1750 деталей типа Y в неделю. Каждая деталь типа Х требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа Х своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук. Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа Х составляет 30 ден. ед., а от производства одной детали типа Y – 40 ден. ед.?
2.8. Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S1S2 и S3. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице
Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед. Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.
2.9. При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице
Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида – 3 ден. ед. Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.
2.10.Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка – «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0, 02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» – 0, 04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0, 01 кг и 0, 04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно и распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0, 10 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0, 30 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной прибыли?
Задание 3. Решить симплекс-методом задачи линейного программирования.
Задание 4. Построить экономико-математическую модель задачи линейного программирования. Решить ЗЛП симплексным методом. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальное решение с помощью теорем двойственности. Сделать выводы экономического характера. Провести проверку полученного решения взаимно двойственных задач средствами Excel, используя надстройку «Поиск решений» и «Отчет по устойчивости».
Варианты 4.1 – 4.10
4.1. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Требуется: 1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. 3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. 4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: - проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; - определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II вида на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида; - оценить целесообразность включения в план изделий " Д" ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
4.2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Требуется: 1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. 3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. 4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: - проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; - определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида; - оценить целесообразность включения в план изделия " Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
4.3. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Требуется: 1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. 3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. 4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: - проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; - определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья III вида; - оценить целесообразность включения в план изделия " Д" ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья. 4.4. Для изготовления трех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Требуется: 1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. 3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. 4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: - проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; - определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и III вида на 4 единиц каждого; - оценить целесообразность включения в план изделия " Г" ценой 13 ед., на изготовление которого расходуется соответственно 1, 3 и 2ед. каждого вида сырья и изделия " Д" ценой 12ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
4.5. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.
Требуется: 1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции 2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. 3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. 4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: - проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; - определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц; - оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.
4.6. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.
Требуется: 1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. 3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. 4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: - проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; - определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45кг, а II - уменьшить на 9кг; - оценить целесообразность включения в план изделия " Г" ценой 11ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6кг соответствующего вида сырья.
4.7. Предприятие выпускает четыре вида продукции и использует три вида оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Общий фонд рабочего времени оборудования каждого вида, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Требуется: 1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. 3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. 4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: - проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; - определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа; - оценить целесообразность включения в план изделия " Д" ценой 11ед., если нормы затрат оборудования 8, 2 и 2ед. соответственно. 4.8. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.
Требуется: 1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. 3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. 4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: - проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; - определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 10ед., а II - уменьшить на 80ед; - оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 7у.е., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед.
4.9. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Требуется: 1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. 3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. 4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: - проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; - определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I вида на 100ед. и уменьшении на 150ед. запасов сырья II вида; - оценить целесообразность включения в план изделия " Д" ценой 10ед., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед.
4.10. Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Требуется: 1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. 3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. 4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: - проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; - определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.; - оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6ед. Задача о назначениях Частным случаем транспортной задачи, а такжехарактерным примером задачи с двоичными (булевыми) переменными является задача о назначениях. Задача о назначениях – это распределительная задача, в которой для выполнения каждой работы требуется один и только один ресурс (один человек, одна автомашина и т.д.), и каждый ресурс может быть использован на одной и только одной работе. Задача о назначениях имеет место при распределении людей на должности или работы, автомашин на маршруты, водителей на машины, групп по аудиториям, научных тем по научно-исследовательским лабораториям и т.п. Исторически задача об оптимальном назначении была первой задачей линейного программирования. Ее решение впервые было предложено в 1931 г. венгерским математиком Эгервари. Постановка задачи. Имеется n видов работ и n исполнителей этих работ. Известны экономические оценки эффекта Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-11; Просмотров: 1119; Нарушение авторского права страницы
, 
, 
, 
– искомое оптимальное количество ковров каждого из четырех типов соответственно; 
– оптимальноеколичество средств, которые необходимо вложить в акцииА и В соответственно; 
– доходность кредитов, 
– доходность ценных бумаг (как правило, 
> 
), то каково должно быть размещение средств, чтобы прибыль банка была максимальной? 
от назначения i-го исполнителя на j-й вид работ. Требуется так распределить исполнителей по видам работ, чтобы суммарный эффект от назначений был максимальным.