Система действительных чисел и операции над числами. Обыкновенные и десятичные дроби. Действия с дробями.

Система действительных чисел и операции над числами. Обыкновенные и десятичные дроби. Действия с дробями.

Действительное число – любое положительное или отрицательное число или нуль.

Операции над числами:

1) Свойство сложения а+0=а (свойство нуля);

а+(-а)=а(сумма противоположных чисел)

2) Свойство вычитания а-(b+с)=а-b-с (вычитание суммы чисел от числа)

(а+b)-c=(а-с)+b=а+(b-c (вычитание числа от суммы)

3) Свойство умножения а.b=b.а (переместительное свойство)

(а.b).с=а.(b.с) (сочетательное свойство)

(а-b).с=а.с-b.с (распределительное свойство)

4) Свойства деления (а.b): с=а.(b: с)=(а: с).b (деление произведения на число)

(а+b): с=а: с+b: с (деление суммы на число)

Одна или несколько равных частей единицы называют натуральной дробью.

7 -числитель

_ -дробная черта

9 -знаменатель

 

Дробь, у которой числитель равен знаменателю=0

Если числитель меньше знаменателя, то это правильная дробь

Если числитель больше знаменателя, то это неправильная дробь

Если в числе явно выделены целая и дробная части, то это смешанное число

Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть

Основное свойство дроби: a/b=c/d, если ad=bc

Сократить дробь - разделить числитель и знаменатель на одно и то же отличное от нуля число

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10:

2 - если четные числа

3 и 9 - если сумма чисел делится на 3

5 - если оканчивается на 5 и 0

10 - если оканчивается на 0

Сложение и вычитание дробей

7/9 + 2/9=1

7/3+16/6=14/6+16/6=30/6=5

Действие вычитания может привести к понятию отрицательной дроби.

Умножение дробей:

a/b*c/d=a*c/b*d (сократить если возможно)

Любые две дроби a/b и b/a являются взаимно обратными, т.к. произведение их = 1

Бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого разряда, цифры повторяются, называется периодической

Иррациональные уравнения. Решение иррациональных уравнений.

 

Иррациональное уравнение – это такое уравнение, которое содержит переменную под знаком корня. Обязательна проверка.

Методы приведения иррационального уравнения к рациональному:

· Возведение в квадрат

x² - 3 = 1

x² = 4

x=-2; 2

Проверка.
При x₁ = -2 - истинно:
При x₂ = -2 - истинно.

· Метод уединения радикалов

- =3

( )²=(3+ )²

х+20=9+6 +х+1

х+20-9-х+1=6

12=6

=2

х-1=4

х=5

· Метод подстановки

х²+2х+ -12=0

х²+2х=t

t+ -12=0

=12-t

T+8=144-24t+t²

t²-25t+136=0

D=81

t=8; 17

х²+2х=8 х²+2х=17

находим дискриминант и решаем.

Определители 2 и 3 порядка. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. Основные случаи решений системы линейных уравнений.

 

Решением системы называется пара чисел, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Способы решения:

Подстановка

Сложение

Графически

По формулам Крамера

Формулы Крамера применяются для решений систем линейных уравнений.

Определителем 2го порядка составленного из чисел a₁, a₂, b₁, b₂, называется число вида: ∆ =| a₁ b₁|

|a₂ b₂|

= a₁ b₂- a₂ b₁

∆ _х=|с₁ b₁|= с₁ b_2- с₂ b₁

| с₂ b₂|

∆ _у=| a₁ с₁|= a₁ с_2- a₂ с₁

|a₂ с₂|

∆ _{х у}- вспомогательный определитель

Если ∆ ≠ 0, то х=∆ _х/∆

Если ∆ =0, то либо система не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.

Если ∆ =0, а ∆ _{х и} ∆ _у ≠ 0, то система не имеет решений.

Определители 3го порядка:

∆ =| a₁ b₁ с₁|= a₁ b₂ с_3- a₂ b₁ с_3- b₃ с₂ a_{1 +} a₃ b₂ с₁₊ a₂ b₃ с₁₊ b₁ с₂ a₃

| a₂ b₂ с₂|

| a₃ b₃ с₃|

х=∆ _х/∆ =|d₁ b₁ c₁|

|d₂ b₂ c₂|: ∆ - - + + +

|d₃ b₃ c₃|

 

у=∆ _у/∆ =|a₁ d₁ c₁|

|a₂ d₂ c₂|: ∆

|a₃ d₃ c₃|

z=∆ _z/∆ =|a₁ b₁ d₁|

|a₂ b₂ d₂|: ∆

|a₃ b₃ d₃|

Решение показательных уравнений и неравенств.

Уравнения, в которых переменная находится в показатели степени называются показательными уравнениями.

Простейшее показательное уравнение имеет вид a^x=b, где а и b- некоторые числа, а

х- переменная.

Уравнение имеет решение при b> 0, т. к. a^x> 0 при любых х.

Способы решения показательных уравнений:

1.Приведение обеих частей уравнения к одному и тому же основанию.

a^f(x)=a^g(x), при a> 0 и a не равно 0.

2.Вынесение за скобки общего множителя.

3.Введение новой переменной.

4.Деление обеих частей уравнения на одно и то же число.

Примеры:

Первый способ:

5^х2-2х-1=25

5^х2-2х-1=5²

х²-2х-1=2

х²-2х-3=0

х₁.х₂=-3

х₁+х₂=2

второй способ:

6^х+1+35.6^х-1=71

6^х-1(36+35)=71

6^х-1.71=71(делим на 71)

6^х-1=1

6^х-1=6⁰

х-1=0

х=1

третий способ:

4^х-5.2^х+4=0

Пусть 2^х=t

4^x=2^2x=(2^x)²=t²

t²-5t+4=0

x₁=1

x₂=4

2^x=1 или 2^х=4

2х=2⁰ х=2

х=0

Решение простейших показательных неравенств основано на известном свойстве функции у=а^х: эта функция возрастает при а> 1 и убывает при 0< а< 1.

Пример:

0, 5^7-3х< 4

0, 5^7-3х< 0, 5^-2

0, 5< 1-функция убывает, знак меняем

7-3х> -2

x< 3

Ответ (- бескон; 3)

Площадь поверхности призмы.

 

Площадью полной поверхности S_п призмы называется сумма площадей всех ее граней. S_п = S_б + 2S, где S – площадь основания призмы, S_б – площадь боковой поверхности.

Площадью боковой поверхности S_б призмы называется сумма площадей ее боковых граней. Площадь боковой поверхности произвольной призмы , где P - периметр перпендикулярного сечения, l - длина бокового ребра.

Уравнение прямой в отрезках

Если прямая отсекает на осях отрезки а, b (не равные нулю), то ее можно представить уравнением

х/а+у/b=1

Каноническое уравнение

Прямая L, проходящая через точку М₀ (х₀; у₀; z₀) и имеющая направляющий вектор а (l; m; n), представляется уравнением

х-х0/l=y-y0/m=z-z0/n

Доказательство

Возьмем любые две противолежащие грани параллелепипеда: A1A2A2`A1` и A3A4A4`A3`. Так как все грани параллелепипеда – параллелограммы, то прямая A1A2 параллельна прямой A4A3, а прямая A1A1` параллельна прямой A4A4`. Следовательно плоскости рассматриваемых граней параллельны.
Так как грани параллелепипеда – параллелограммы, то отрезки A1A4, A1`A4`, A2`A3` и A2A3 – параллельны и равны. Следовательно грань A1A2A2`A1` совмещается параллельным переносом вдоль ребра A1A4 с гранью A3A4A4`A3` и, значит, грани равны.
Точно также доказывается параллельность и равенство других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.

33. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трёх перпендикулярах (доказать)

Прямая a пересекает плоскость α. а не перпендикулярна плоскости. Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой a на плоскость α, лежат на прямой a`. Эта прямая называется проекцией прямой a на плоскость α.
Угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость называется углом между прямой и плоскостью.

Теорема. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. Доказательство. Пусть AB – перпендикуляр к плоскости α, AC – наклонная и с – прямая в плоскости α, проходящая через основание С наклонной. Проведем прямую CA` параллельную прямой AB. Она перпендикулярна плоскости α. Проведем через прямые AB и A`C плоскость β. Прямая с перпендикулярна прямой CA`. Если она перпендикулярна прямой CB, то она перпендикулярна плоскости α, а значит, и прямой AC.

 

Теорема

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной прямой.

Доказательство

Пусть a – прямая, перпендикулярная прямым b и с в плоскости α. Тогда прямая a проходит через точку A пересечения прямых b и с. Докажем, что прямая a перпендикулярна плоскости α.
Проведем произвольную прямую x через точку A в плоскости α и покажем, что она перпендикулярна прямой a. Проведем в плоскости α произвольную прямую, не проходящую через точку A и пересекающую прямые b, с и x. Пусть точками пересечения будут B, C и X..
Отложим на прямой a от точки A в разные стороны равные отрезки AA1 и AA2. Треугольник A1CA2 равнобедренный, так как отрезок AC является высотой по условию теоремы и медианой по построению. Треугольник A1BA2 так же равнобедренный. Следовательно, Δ A1BC = Δ A2BC по третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников A1BC и A2BC следует равенство углов A1BX и A2BX, следовательно, равенство треугольников A1BX и A2BX по первому признаку равенства треугольников. Из равенства сторон A1X и A2X, следует, что A1XA2 равнобедренный. Поэтому его медиана XA является высотой. А это и значит, что прямая x перпендикулярна a. По определению прямая a перпендикулярна плоскости α. Теорема доказана.

Система действительных чисел и операции над числами. Обыкновенные и десятичные дроби. Действия с дробями.

Действительное число – любое положительное или отрицательное число или нуль.

Операции над числами:

1) Свойство сложения а+0=а (свойство нуля);

а+(-а)=а(сумма противоположных чисел)

2) Свойство вычитания а-(b+с)=а-b-с (вычитание суммы чисел от числа)

(а+b)-c=(а-с)+b=а+(b-c (вычитание числа от суммы)

3) Свойство умножения а.b=b.а (переместительное свойство)

(а.b).с=а.(b.с) (сочетательное свойство)

(а-b).с=а.с-b.с (распределительное свойство)

4) Свойства деления (а.b): с=а.(b: с)=(а: с).b (деление произведения на число)

(а+b): с=а: с+b: с (деление суммы на число)

Одна или несколько равных частей единицы называют натуральной дробью.

7 -числитель

_ -дробная черта

9 -знаменатель

 

Дробь, у которой числитель равен знаменателю=0

Если числитель меньше знаменателя, то это правильная дробь

Если числитель больше знаменателя, то это неправильная дробь

Если в числе явно выделены целая и дробная части, то это смешанное число

Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть

Основное свойство дроби: a/b=c/d, если ad=bc

Сократить дробь - разделить числитель и знаменатель на одно и то же отличное от нуля число

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10:

2 - если четные числа

3 и 9 - если сумма чисел делится на 3

5 - если оканчивается на 5 и 0

10 - если оканчивается на 0

Сложение и вычитание дробей

7/9 + 2/9=1

7/3+16/6=14/6+16/6=30/6=5

Действие вычитания может привести к понятию отрицательной дроби.

Умножение дробей:

a/b*c/d=a*c/b*d (сократить если возможно)

Любые две дроби a/b и b/a являются взаимно обратными, т.к. произведение их = 1

Бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого разряда, цифры повторяются, называется периодической

12345Следующая ⇒

Поделиться: