Аксиомы стереометрии и следствия из них. (Следствие доказать(по выбору)

 

 

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

В стереометрии так же как и в планиметрии свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.

С введением плоскости появляется необходимость расширить системы аксиом.

 

Аксиома(А1): Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А
В (точки А, В, С лежат в плоскости )
С

 

(А2): Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

АB
Прямая АВ лежит в плоскости

 

(А3): Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

а = М
Прямая а и плоскость пересекаются в точке М.

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

 

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Доказательство. Пусть АВ – данная прямая и С – не лежащая на ней точка. Проведем через точки А и С прямую (аксиома 1). Прямые АВ и АС различны, так как точка С не лежит на прямой АВ. Проведем через прямые АВ и АС плоскость (аксиома 3). Она проходит через прямую АВ и точку С.

 

Докажем, что плоскость , проходящая через прямую АВ и точку С, единственна.

Допустим, существует другая плоскость 1, проходящая через прямую АВ и точку С. По аксиоме 2 плоскости и 1 пересекаются по прямой. Эта прямая должна содержать точки А, В, С. Но они не лежат на одной прямой. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

28. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак скрещивающихся прямых (вывод).

 

 

Если две прямые пересекаются или параллельны, то они лежат в одной плоскости. Но в пространстве две прямые могут быть расположены так, что они не лежат на одной плоскости. Это скрещивающиеся прямые. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

 

Признак скрещивающихся прямых (теорема):

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

 

Доказательство:

Рассмотрим прямую АВ, лежащую в плоскости , и прямую CD, пересекающую эту плоскость в точке С, не лежащей на прямой АВ. Докажем, что АВ и CD – скрещивающиеся прямые, т.е. они не лежат в одной плоскости. Если допустить, что прямые АВ и CD лежат в некоторой плоскости ß, то плоскость ß будет проходить через прямую АВ и точку С и поэтому совпадает с плоскостью .но это невозможно, так как прямая CD не лежит в плоскости .

 

 

29. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости (вывод)

 

 

Теорема: Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

 

Доказательство:

Пусть α - плоскость, a – не лежащая в ней прямая и a1 – прямая в плоскости α, параллельная прямой a. Проведем плоскость α 1 через прямые a и a1. Плоскости α и α 1 пересекаются по прямой a1. Если бы прямая a пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой a1. Но это невозможно, так как прямые a и a1 параллельны. Следовательно, прямая a не пересекает плоскостью α, а значит, параллельна плоскости α. Теорема доказана.

 

30. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Признак параллельности плоскостей (вывод)

 

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельность плоскостей обозначается так: ǁ ß

Признак параллельности двух плоскостей (теорема):

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство: Пусть α и β - данные плоскости, a1 и a2 – прямые в плоскости α, пересекающиеся в точке A, b1 и b2 – соответственно параллельные им прямые в плоскости β.
Предположим, что плоскости α и β не параллельны, а значит пересекаются по некоторой прямой с. По теореме о признаке параллельности прямой и плоскости прямые a1 и a2, как параллельные прямые b1 и b2, параллельны плоскости β, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости α через точку A проходят прямые a1 и a2, параллельные прямой с. Это невозможно по аксиоме. Что противоречит предположению.

 

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: