Критические точки функции. Теорема существования экстремумов функции.

Мы рассмотрели поведение функции на промежутках, где f(х)> 0 и f'(х)< 0. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции (рис. 1 и 2). Сформулируем соответствующее утверждение, его называют теоремой Ферма (в честь французского математика Пьера Ферма).

 

Необходимое условие экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f’, то она равна нулю: F’(x₀) =0.

Рассмотрим случай f'(x₀)> 0. По определению производной отношение при х→ х0 стремится к положительному числу f' (х₀), а следовательно, и само будет положительно при всех х, достаточно близких к x₀. Для таких х

 

и, значит, f(x)> f(x₀) для всех х> х₀ из некоторой окрестности точки x₀. Поэтому х₀ не является точкой максимума.

Если же х< х₀, то f (x)< f(x₀), и, следовательно, х₀ не может быть и точкой минимума f.

Случай F'(x₀)< 0 разбирается аналогично.

 

Важно отметить, что теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума: из того, что производная в точке хо обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функции f(х)=х³ обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 3).

До сих пор мы рассматривали критические точки, в которых производная равна нулю. Рассмотрим теперь критические точки, в которых производная не существует. (Отметим, что, например, точка 0 для функции не является критической: в ней производная не существует, но она не внутренняя точка области определения.) В этих точках функция также может иметь или не иметь экстремум.

Призма. Основные элементы: основания, боковое ребро, высота, боковая грань, диагональ, диагональное сечение. Правильная призма.

Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины, - боковыми ребрами призмы.

Свойства призмы:
1. Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях.
2. Боковые ребра параллельны и равны.

Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов. Высотой призмы называется расстояние между плоскостями. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Призма называется наклонной, если ее боковые ребра не перпендикулярны основаниям.
У прямой призмы грани – прямоугольники.

Призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.
Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей боковых граней.
Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований

 

Параллелепипед и его свойства.

Параллелепипедом называется призма, в основании которой параллелограмм.
Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Параллелепипед называется наклонным, если его боковые ребра не перпендикулярны основаниям.
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

Доказательство

Возьмем любые две противолежащие грани параллелепипеда: A1A2A2`A1` и A3A4A4`A3`. Так как все грани параллелепипеда – параллелограммы, то прямая A1A2 параллельна прямой A4A3, а прямая A1A1` параллельна прямой A4A4`. Следовательно плоскости рассматриваемых граней параллельны.
Так как грани параллелепипеда – параллелограммы, то отрезки A1A4, A1`A4`, A2`A3` и A2A3 – параллельны и равны. Следовательно грань A1A2A2`A1` совмещается параллельным переносом вдоль ребра A1A4 с гранью A3A4A4`A3` и, значит, грани равны.
Точно также доказывается параллельность и равенство других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.

33. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трёх перпендикулярах (доказать)

Прямая a пересекает плоскость α. а не перпендикулярна плоскости. Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой a на плоскость α, лежат на прямой a`. Эта прямая называется проекцией прямой a на плоскость α.
Угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость называется углом между прямой и плоскостью.

Теорема. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. Доказательство. Пусть AB – перпендикуляр к плоскости α, AC – наклонная и с – прямая в плоскости α, проходящая через основание С наклонной. Проведем прямую CA` параллельную прямой AB. Она перпендикулярна плоскости α. Проведем через прямые AB и A`C плоскость β. Прямая с перпендикулярна прямой CA`. Если она перпендикулярна прямой CB, то она перпендикулярна плоскости α, а значит, и прямой AC.

 

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: