Наибольшее/наименьшее значение функции.

Т.к. функция возрастает на и убывает на , то точка – точка максимума функции, а точка - точка минимума функции.

В силу периодичности функции получаем, что наибольшее значение функции, равное 1, достигается при , а наименьшее значение, равное , достигается при .

График функции.

О. График функции называется синусоидой (рис. 6)

 

8. Свойства функции и её график

Рассмотрим окружность с центром, расположенным в начале координат, и радиусом, равным единице (это так называемая тригонометрическая окружность ).

Для любогодействительного числа можно провести радиус ON этой окружности, образующий с осью угол, радианная мера которого равна числу (положительным считается направление поворота против хода часовой стрелки). (рис 7)

О. Число, равное абсциссе конца единичного радиуса, задающего угол , называется косинусом угла и обозначается .

Т.к. каждому значению величины угла на тригонометрической окружности соответствует единственная точка , такая, что радиус ON образует угол с осью , то данное определение задает функцию .

Свойства:

1. Область определения функции: .

Т.к. для любого значения угла однозначно определена точка, являющаяся концом соответствующего радиуса, то область определения функции : .

2. Множество значений функции:

Теорема.

Множеством значений функции является промежуток

Доказательство:

Действительно, абсцисса всякой точки, являющейся концом радиуса тригонометрической окружности, может принимать лишь значения из отрезка .

С другой стороны, для значения абсциссы из этого отрезка можно указать хотя бы одну точку на окружности, имеющую эту абсциссу.

Следовательно, это значение будет косинусом угла, образованного положительным направлением оси и радиусом, соединяющим центр окружности и построенную точку.

3. Периодичность:

Теорема.

Наименьший положительный период функции равен

Доказательство:

Т.к. центральный угол, соответствующий полной окружности, равен , то точки, соответствующие углам изображаются на тригонометрической окружности одной и той же точкой, следовательно, косинусы этих углов равны.

Это означает, что число является периодом рассматриваемой функции.

Докажем, что - наименьший положительный период.

Рассмотрим значение функции , равное 1. Оно достигается только при .

Значит, никакое число, меньшее , не может быть периодом.Значит, что - действительно наименьший положительный период функции

Чётность/нечётность

Рассмотрим точки M и N, соответствующие на тригонометрической окружности углам и . Поскольку всякая окружность симметрична себе относительно своего диаметра (диаметр тригонометрической окружности лежит на оси ), а равные по величине углы при симметрии переходят в равные углы, то точки M и N симметричны относительно оси , следовательно, их абсциссы равны. Это означает, что при выполняется равенство , т.е. функция является четной.

Точки пересечения графика с осями координат.

График пересекает ось в точках с абсциссами, определяемыми уравнением , т.е. , график пересекает ось в точке с ординатой, определяемой равенством , т.е. , т.о., ,

6. Промежутки знакопостоянства функции:

Т.к. абсциссы точек, лежащих в верхней полуплоскости, положительны, то значения косинуса положительны для углов, расположенных в первой и четвертой координатных четвертях, а значения косинуса отрицательны для углов, расположенных во второй и третьей координатных четвертях.

Т.о., при ; при ;

Интервалы возрастания/убывания

Теорема.

Функция не является монотонной на всей области определения, она возрастает на и убывает на .

Доказательство:

Докажем, например, убывание функции на . В силу периодичности функции, достаточно рассмотреть отрезок .

Для этого рассмотрим 2 различных значения , такие, что .

Рассмотрим разность значений косинусов этих углов:

(см. § 23).

Заметим, что правая часть полученного равенства положительна.

Действительно, т.к. числа расположены на отрезке и , то , поэтому ; аналогично , поэтому . Тем самым доказано, что из неравенства следует неравенство , т.е. функция убывает на , а значит, убывает на каждом из промежутков вида .

Аналогичное доказательство возрастания функции на промежутках вида проведите самостоятельно.

График функции.

График функции является синусоидой (рис. 8).

9. Свойства функции и её график

О. Число, равное отношению синуса угла такого, что , к косинусу этого угла , называется тангенсом угла и обозначается .

Т.к. каждому значению величины угла , кроме соответствует однозначно определённое значение , то тем самым задана функция .

 

Свойства:

1. Область определения функции: .

Т.к. и , то область определения функции : .

2. Множество значений функции:

Теорема.

Множество значений функции:

Доказательство:

Действительно, рассмотрим предел отношения в точках, не принадлежащих области определения:

, . Во всех остальных точках функция определена, значит, множество значений функции: .

 

3. Периодичность:

Теорема.

Наименьший положительный период функции равен

Доказательство:

Докажем, что число есть период функции . Применяя формулы приведения, получим следующее:

: (см. § 19).

Аналогично (см. § 19)

Докажем, что - наименьший положительный период.

Рассмотрим значения , при которых функция . Как известно, дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То есть . Из этого следует, что никакое положительное число, меньшее , не является периодом функции .

 

Чётность/нечётность

: , таким образом, функция является нечетной.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: