Вопрос 20. Случайная величина и её статистические данные.

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Формальное математическое определение следующее: пусть — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция , измеримаяотносительно и борелевской σ -алгебры на . Вероятностное поведение отдельной (независимо от других) случайной величины полностью описывается её распределением.

Пространство элементарных событий

Пространство элементарных событий Ω в случае бросания игральной кости

Если бросается игральная кость, то в результате верхней гранью может оказаться одна из шести граней с количеством точек от одной до шести. Выпадение какой-либо грани в данном случае в теории вероятностей называется элементарным событием ^[1], то есть

§ — грань с одной точкой;

§ — грань с двумя точками;

§...

§ — грань с шестью точками.

Множество всех граней образует пространство элементарных событий , подмножества которого называются случайными событиями ^[1]. В случае однократного подбрасывания игровой кости примерами событий являются

§ выпадение грани с нечётным количеством точек, то есть событие — это выпадение грани с одной точкой или грани с тремя точками, или грани с пятью точками). Математически событие записывается как множество, содержащее элементарные события: , и . Таким образом, ;

§ выпадение грани с чётным количеством точек, то есть событие — это выпадение грани с двумя точками или грани с четырьмя точками, или грани с шестью точками. Математически событие записывается как множество, содержащее элементарные события: , и . Таким образом, ;

Алгебра событий

Множество случайных событий образует алгебру событий ^[2], если выполняются следующие условия:

1. содержит пустое множество .

2. Если событие A принадлежит , то и его дополнение принадлежит . С помощью кванторов это записывает так: : .

3. Если A₁ и A₂ принадлежат , то их объединение также принадлежит . С помощью кванторов это записывается следующим образом ( ) ( ) .

Если вместо третьего условия удовлетворяет другому условию: объединение счётного подсемейства из также принадлежит , то множество случайных событий образует σ -алгебру событий.

σ -алгебра событий является частным случаем σ -алгебры множеств.

Самая маленькая среди всех возможных σ -алгебр, элементами которой являются все интервалы на вещественной прямой, называется борелевской σ -алгеброй на множествевещественных чисел .

[править]Вероятность

Если каждому элементарному событию поставить в соответствие число , для которого выполняется условие:

,

то считается, что заданы вероятности элементарных событий . Вероятность события, как счётного подмножества пространства элементарных событий, определяется как сумма вероятностей тех элементарных событий, которые принадлежат этому событию. Требование счётности важно, так как, иначе сумма будет не определена.

Рассмотрим пример определения вероятности различных случайных событий. Например, если событие является пустым множеством, то его вероятность равна нулю^[3]:

.

Если событием является пространство элементарных событий, то его вероятность равна единице:

.

Вероятность события (подмножества пространства элементарных событий) равна сумме вероятностей тех элементарных событий, которые включает в себя рассматриваемое событие.

 

Определение случайной величины

Случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ -алгебры на ^[4].

Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом^[4]. Функция называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел a и bмножество событий , таких что , принадлежит .

Классификация

Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные).

На схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая система одномерных взаимосвязанных случайных величин (многомерная/векторная).

§ Пример смешанной случайной величины — время ожидания при переходе через автомобильную дорогу в городе на нерегулируемом перекрёстке.

§ В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. п.

§ Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям.

С одной стороны, с одной схемой испытаний и с отдельными событиями в ней одновременно может быть связано сразу несколько числовых величин, которые требуется анализировать совместно.

§ Например, координаты (абсцисса, ордината) какого-то разрыва снаряда при стрельбе по наземной цели; метрические размеры (длина, ширина и т. д.) детали при контроле качества; результаты медобследования (температура, давление, пульс и пр.) при диагностике больного; данные переписи населения (по возрасту, полу, достатку и пр.).

Поскольку значения числовых характеристик схем испытания соответствуют в схеме некоторым случайным событиям (с их определёнными вероятностями), то и сами эти значения являются случайными (с теми же вероятностями). Поэтому такие числовые характеристики и принято называть случайными величинами. При этом расклад вероятностей по значениям случайной величины называется законом распределения случайной величины.

Методы описания

Частично задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности ихарактеристической функции, определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения F(x) является вероятностью того, что значения случайной величины меньшевещественного числа x. Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна F(b)-F(a). Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения.

Если случайная величина дискретная, то полное и однозначное математическое описание её распределения определяется указанием вероятностей p_k = P(ξ = x_k) всех возможных значений этой случайной величины. В качестве примера рассмотрим биномиальный и пуассоновский законы распределения.

Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта N раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью p, «неудача» — с вероятностью q=1-p. Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:

.

При стремлении n к бесконечности произведение np остаётся равной константе λ, а закон распределения сходится к закону Пуассона, который описывается следующей формулой:

,

где

§ символ "! " обозначает факториал,

§ — основание натурального логарифма.

Простейшие обобщения

Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например,

§ Измеримая функция называется n -мерным случайным вектором (относительно борелевской σ -алгебры на ).

§ Измеримая функция называется n -мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей борелевской σ -алгебры).

§ Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.

Вопрос 21.Вероятность случайного события   Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий. Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А. Очевидно, относительная частота и вероятность могут не совпадать. Замечание. Вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.   Пример 2. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым. Решение: Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С. Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем:   Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.   Вообще говоря, классическое определение вероятности – довольно относительное. Это обусловлено тем, что на практике сложно представить результат опыта в виде совокупности элементарных событий, доказать, что события равновероятные. К примеру, при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д. Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Чтобы преодолеть этот недостаток вводится понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства). Так если на отрезке длиной L выделен отрезок длины l, то вероятность попадания наугад взятой точки в отрезок l равна отношению l/L.

Как вычислить вероятность события, т. е. найти чи­сло, соответствующим образом связанное с возможно­стью его появления в опыте?

Это делается различным образом в зависимости от того, о каком событии идет речь, и от условий, в которых осуществляется опыт. В ряде опытов определение ве­роятности может быть произведено путем мысленного расчленения возможных исходов опыта на равновозможные и несовместимые случаи.

 

Пусть, например, в урне находится 10 шаров, из ко­торых 3 красных и 7 синих. Производится опыт, заклю­чающийся в извлечении наугад одного из шаров из урны. Рассмотрим, какие исходы возможны при данном опыте. Для этой цели пронумеруем мысленно красные шары номерами от 1 до 3 и синие—от 1 до 7. В резуль­тате опыта может иметь место один из следующих исхо­дов:

 

 

Все эти исходы являются, очевидно, одинаково возможными, так как нет ни каких оснований утверж­дать, что какой-либо из шаров (если все они одинаковы по весу и на ощупь) имеет больше данных быть извле­ченным по сравнению с другими.

Кроме того, все исходы являются событиями несов­местимыми, так как появление одного какого-либо шара в данном опыте исключает появление других. На­конец, какой-нибудь из шаров, неважно какого цвета, по условиям опыта обязательно будет вынут. Иными словами, совокупность всех исходов составляет полную группу событий.

Такого рода несовместимые, равновозможные, обра­зующие полную группу события (исходы опыта) называ­ются в теории вероятностей случаями (или равновозможными случаями).

Допустим теперь, что нас интересует событие А, со­стоящее в появлении красного шара. Замечаем, что это событие появляется в случаях 1, 2 и 3, обозначенных выше соответствующими номерами.

Случаи, при которых появляется данное, интересую­щее нас событие, называются благоприятствую­щими (или благоприятными) этому событию случаями.

Обозначим число случаев, благоприятствующих со­бытию А, через m_a , а общее число равновозможных в опыте исходов через п. Вероятность события Р(А) в рас­сматриваемой

ситуации полагается равной

Иначе говоря, вероятность события Р(А) определяется в данной ситуации как отношение числа случаев, благо­приятствующих появлению события, к общему числу равновозможных в опыте случаев.

Такое определение вероятности называется класси­ческим.

Формула (1) позволяет находить вероятности в ряде практически важных ситуаций, когда можно расчленить результаты опыта на равновозможные случаи и указать их общее и благоприятствующее количества.

В приведенном выше примере с шарами m_a =3; n=-10

Вероятность извлечь красный шар равна: Р(А) = 3/10 = 0, 3.

Классическая формула (1) подтверждает то, что уже было сказано относительно вероятности, что ее зна­чения заключены в пределах. Это в данном случае вытекает из того, что всегда 0< Р< 1.

Заметим, что одно и то же событие (например, появ­ление красного шара из урны) может иметь различную вероятность в зависимости от условий, в которых оно физически осуществляется. Так, например, вероятность извлечения красного шара из урны, где помещены 3 красных и 5 синих шаров, имеет другое значение, чем из урны, где находятся 3 красных, но 15 синих шаров. Иначе говоря, вероятность события зависит не от физи­чески выполняемой операции (извлечение шара), а от выбора (ассортимента исходов), который предостав­ляется условиями опыта. Значение вероятности иногда выражают в процентах.

Примеры

1. Найти вероятность выпадения герба (событие Р) при бросании монеты.

Решение. Общее число равновозможных случаев n=2 — орел и цифра (решка). Число благоприятствующих случаев равно т_а=1. Вероятность выпадения герба равна:

Р(А)=1/2

2 Найти вероятность выпадения грани с цифрой 3 (три очка) при однократном бросании шестигранной игральной кости.

Решение. п=6 (по числу граней кубика); т_а=1 (выпадение цифры 3). Вероятность выпадения цифры 3 равна:

Р(А)=1/6

3. Найти вероятность выпадения не менее 3 очков при одно­кратном бросании игральной кости.

Решение. Как и в предыдущем примере, общее число равновозможных случаев n=6; число благоприятствующих случаев в дан­ном примере m_a=4, поскольку интересующему нас событию (вы­падение не менее 3 очков) удовлетворяют случаи выпадения 3, 4, 5 и 6 очков. Следовательно, вероятность выпадения не менее 3 очков равна:

Р(А) = 4/6 = 2/3

4. В урне находится 10 шаров, из них 3 красных и 7 синих. Найти вероятность того, что взятые наугад два шара оба ока­жутся красными.

 

Решение. В данном примере общее число равновозможных слу­чаев равно числу сочетаний из всего числа шаров по два n = C²₁₀ поскольку любые два шара могут быть вынуты с равными шансами. Число благоприятствующих случаев равно числу сочетаний из чис­ла красных шаров по два m_a = C³₁₀, ибо только такие сочетания удовлетворяют требованию выбора двух красных шаров. Следова­тельно,

P(A) = C²₁₀ / C³₁₀ =3 / 45 = 1 / 15

5. Код радиолокационной системы опознавания самолетов («свой—чужой») составляется в виде комбинации из тире и точек. Общее число элементов кода берется одинаковым и равным d=4.

Опреде­лить вероятность подделки кода противником, если он с целью проникнуть на защищенный объект, устанавливает на соответствую­щей аппаратуре (ответчике) на своем самолете наугад некоторую четырехзначную кодовую комбинацию из тире и точек.

Решение. Не зная истинной комбинации, противник с равной вероятностью может установить у себя любую из возможных кодо­вых комбинаций из четырех тире и точек. Следовательно, общее число равновозможных случаев п в данной задаче равно числу всех возможных кодовых комбинаций. Это число можно найти, подсчитав последовательно число возможных комбинаций из одного тире (при остальных точках), из двух тире и двух точек, и. т. д. и сложив все числа.

Число возможных комбинаций с одним тире в нашем случае равно четырем, что легко найти, помещая тире поочередно на каж­дую из четырех позиций кода. Оно равно числу сочета­ний из четырех по одному.

Число возможных комбинаций из двух тире и двух точек равно, очевидно, числу сочетаний из четырех по два и т. д. Учтя, кроме других, также комбинацию, состоящую только из одних точек (количество тире равно нулю), в конечном итоге получим:

n = C⁰₄ + C¹₄ + C²₄ + C³₄ +C⁴₄ = 16

Напомним, что число сочетаний из s по q определяется из формулы:

C^q_S = s / [q! (s-q)! ]

Число благоприятствующих случаев в данном примере равно m_a=1, поскольку выбор только одной определенной комбинации принесет противнику удачу. Значит, вероятность подделки кода равна:

Р(А) = m_a / n = 1/ 10

Математическое определение вероятности, данное вы­ше и использованное при решении примеров, совпадает по своему смыслу с распространенным житейским прие­мом оценки степени возможности появления недостовер­ных событий. Например, говорят: «Я имею 10 шансов из 100 выиграть в данном состязании или в данной лотерее». Это равносильно выражению: «вероятность равна 0, 1»

Следует заметить, что знание вероятности не дает ответа на вопрос, как это иногда ожидают, появится ли в действительности некоторое случайное событие в данном конкрет­ном опыте или нет. Например, нельзя предска­зать определенно, выиграет ли данная 10-рублевая облигация займа в предстоящем тираже. Можно лишь сказать, что данное событие (выигрыш) может появиться в данном опыте (розыгрыше) с такой-то вероятностью. Однако если, не меняя условий, произвести многократ­ное повторение одного и того же опыта, то окажется, что относительное число появлений данного события во всей серии опытов, или, как говорят, частота его появлений, будет близка к значению его вероятности. Случаи отклонения от этого значения будут тем более редкими, чем большее число опытов производится.

Так, например, если обратиться к простейшему опы­ту—бросанию монеты, вероятность выпадения герба в котором равна 0, 5, то при выполнении этого опыта практически смогут иметь место случаи, когда несколько раз подряд выпадет только цифра или, наоборот, под-

ряд несколько раз или с небольшими перерывами будет выпадать герб. При небольшом числе опытов такие от­клонения могут привести к тому, что относительное чи­сло появлений герба будет значительно отличаться от 0, 5. Но если увеличить число опытов и довести его, на­пример, до нескольких тысяч, то небольшие отклонения здесь не смогут уже оказать существенного влияния на общий результат из-за относительной их малости. Воз­можность же появления больших отклонений, например выпадения цифры несколько десятков или сотен раз подряд, представляется мало вероятной, хотя в принци­пе ее исключить нельзя.

Опыты с бросанием монеты в свое время действительно про­делывались многими учеными, в том числе Бюффоном (Франция) и Пирсоном (Англия). При этом в частности, получены следующие результаты:

Число бросаний: 4040, 12000, 24000. Частота появлений герба: 0, 50693; 0, 5016; 0, 5005

В последнем случае расхождение с математической вероятно­стью заключено, как видно, лишь в четвертом знаке после запятой.

 

Рис. 2. Опыты МАИ

Аналогичные опыты, результаты которых приведены на рис. 2, были проделаны

группой студентов Московского авиационного института. По оси абсцисс указывается число бросаний п, по оси ординат — относительное число т_а / п появлений герба при данном числе бросаний. Как видно, ломаная линия, представляющая собой зависимость

т_а / п от числа опытов п, в начале опытов ведет себя достаточно «капризно», но постепенно становится все более устой­чивой и в дальнейшем почти сливается с прямой, соответствующей математической вероятности появления герба (0, 5).

То обстоятельство, что при большом числе испытаний относительное число выпадений события (его частота) оказывается в подавляющем большинстве равным или близким к значению вероятности, является законом при­роды. Этот закон носит название закона больших чисел. Он может быть строго доказан (см., например, [Л. 1] или [Л. 5]) и указывает на непосредственную связь теории случайных явлений с практикой.

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: