Следствия аксиом стереометрии. Теоремы 1,2.

Аксиомы стереометрии.

Стереометрия-раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

Основные фигуры стереометрии:

1. Точка А

2. Прямая

3. Плоскость

Свойство 1. Какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости и принадлежащие ей. ∃ α: А∈ α; В∈ α; D∉ α. ∃ -существует.

Свойство 2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Если А∈ α; А∈ β, то ∃ α: а ∈ α; α ∈ β, А∈ а

Свойство 3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну. Если А∈ а; А∈ в, то ∃! α: а∈ α; в∈ α; А∈ α

Свойство 4. Если две различны точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Если А∈ α; В∈ α, то АВ∈ α

Следствия аксиом стереометрии. Теоремы 1, 2.

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и притом только одну. Дано: а; С∉ а. Доказать: ∃! α: а∈ α; С∈ α. Доказательство: 1. В∈ а (по аксиоме о том, что существует точки принадлежащие прямой и не принадлежащие ей). 2. ВС (по аксиоме о том, что через две точки можно провести одну прямую). 3. Т.к. В∈ ВС, В∈ а, то по Свойству 3 ∃ α: ВС∈ α, а∈ α. 4. Пусть ∃ α ₁: а∈ α ₁; С∈ α ₁, тогда С∈ α; С∈ α ₁, по свойству 2 имеем, что С ∈ а, но по условию С∉ а, значит наше предположение не верно и α ₁совпадают с Сα, т.е. α -единственная. чтд.

Теорема 2. Через 3 любые точки, не лежащие на 1 прямой можно провести плоскость и притом только 1. Дано: точка А, точка В, точка С. Доказать: ∃! α: А∈ α; В∈ α; С∈ α. Доказательство: 1. АВ, АС (по аксиоме о том, что через 2 точки можно провести 1 прямую). 2. Т.к. А∈ АВ, А∈ АС, то по Свойству 3 ∃ α: АВ∈ α, ВС∈ α. 4. Пусть ∃ α ₂: а∈ α ₁; А∈ α ₁, тогда В∈ α ₁; С∈ α ₁, тогда по свойству 2 А, В, С лежат на одной прямой, но это противоречит условию, значит α -единственная. чтд.

Взаимное расположение прямых в пространстве.

2 прямые не лежащие в одной плоскости могут: пересекаться, быть параллельными, совпадать. Две прямые лежащие в одной плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Если прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются, то они будут параллельными.

Теорема 3. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой и притом только одну. Дано: а; А; А∉ а. Доказать: ∃! а1: А∈ а₁, а₁| |а. Доказательство: 1. По Т1 ∃! α: А∈ α; а∈ α. 2. А∈ а₁, а₁| |а (по аксиоме планиметрии о том, что через точку к заданной прямой можно провести параллельную прямую и притом только одну). 3. Пусть ∃ а₂: А∈ а₂, а₂| |а, тогда через прямые а и а₂проведем плоскость α, но по Т1 эта плоскость проходит через а и А, значит а₁и а₂совпадут, а₁-единственная. чтд.

Теорема 4. Признак параллельности прямых (теорема о транзитивности). Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу. Дано: а, в, с. а| |в, а| |с. Доказать: в| |с. Доказательство: 1. β: а∈ β; в∈ β. 2. α: а∈ α; С∈ α. 3. В∈ в (по акстоме С1). 4. По Т1 ∃! α: С∈ α ₁; В∈ α _1.5. Т.к. В∈ β, В∈ α ₁, то по аксиоме С2 ∃ в: в∈ β; в∈ α ₁; В∈ в.

Взаимное расположение прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости.

Прямая и плоскость будут параллельны, если они не пересекаются.

Теорема 5. Если прямая не лежащая в плоскости параллельна, какой нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Дано: α; а; а∈ α; в∈ α; а| |в. Доказать: а| |α. Доказательство: 1. ∃ β: а∈ β; в∈ β (Т1). 2. Пусть а непараллельная α, тогда ∃ М: М∈ а, М∈ β; М∈ α; значит по С2 М∈ в. 3. Получим что М∈ а, М∈ в, но по условию а| |в, значит наше предположение не верно, ; а| |α. чтд.

Теорема 6. Справедлива обратная теорема: Если плоскость β, проходящая через прямую а, параллельную плоскости α, пересекает эту плоскость по прямой в, то прямые а и в параллельны. Дано: а; в; α; β; а∈ β; а| |α; в∈ α; в∈ β. Доказать: а| |в. Доказательство: Пусть а непараллельная в, тогда ∃ М: М∈ а; М∈ в; М∈ β; М∈ α. 2. Получит что М∈ а, М∈ α, значит а пересекает α, но по условию а| |в, значит наше предположение не верно. чтд.

Параллельность двух плоскостей. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Теорема 8. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Если А∈ а; А∈ в; а∈ β; в∈ β; А₁∈ а₁; А₁∈ в₁; а₁∈ α; в₁∈ α; а| |а₁; в| |в₁, то α | |β.

Параллельное проектирование и его свойства. Изображение фигур в стереометрии.

Для изображения пространственных фигур на плоскости обычно пользуются параллельным проектированием. Этот способ состоит в следующем. Берем произвольную прямую h, пересекающую плоскость чертежа а, проводим через произвольную точку А фигуры прямую, параллельную h. Точка А1 пересечение этой прямой с плоскостью чертежа будет изображением точки А.

Свойства: 1. Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа отрезками.

2. Параллельные отрезки изображаются на плоскости чертежа параллельными отрезками.

3. Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняется при параллельном проектировании.

Изображение фигур в стереометрии. 1. Прямоугольные, равнобедренные и равносторонние треугольники изображаются в стереометрии произвольными треугольниками.

2. Квадрат, прямоугольник, ромб изображаются в стереометрии в виде параллелограмма.

3. Окружность или круг изображаются в стереометрии в виде эллипса.

Перпендикуляр и наклонная. Свойства перпендикуляра и наклонной проведенных из одной точки.

1. Перпендикуляром (АВ) опущенным из данной точки на плоскость, называют отрезок соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащей на прямой перпендикулярной этой плоскости. Точка В называется основанием перпендикуляра.

2. Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра опущенного из этой т очки на плоскость.

3. Наклонной проведенной из данной точки к плоскости называют любой отрезок не перпендикулярный плоскости, соединяющий данную точку с плоскостью (АС; АС1). Точки С и С1 называют основаниями наклонных.

4. Отрезок на плоскости соединяющий основание перпендикуляра (В) с основанием наклонной (АС, АС1) проведенных из одной точки называется проекцией наклонной на плоскость (ВС, ВС1).

Свойства наклонных и проекций.

1. Длина перпендикуляра к плоскости меньше длины любой наклонной к плоскости. (АВ< АС; АВ< АС1)

2. Большей наклонной соответствует большая проекция. Если АС1< АС, то ВС1> ВС.

3. Длины наклонных равны тогда и только тогда, когда равны длины их проекций.

Теорема о трех перпендикулярах.

Теорема 16. Прямая проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярна ее проекции перпендикулярна и самой наклонной.

Обратная теорема. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

Дано: АВ┴ α; АС-наклонная. С∈ с. Доказать: 1. с┴ АС; 2.с┴ ВС. Доказательство: 1.А^,С┴ α; А^,С| |АВ (по Т15). 2. β: АВ∈ β; А^,С∈ β (по определению параллельных прямых). 3. Пусть СВ ┴ с, А^,С┴ с (по определению перпендикуляра к плоскости), значит по Т13 имеем, что прямая С┴ β, значит по определению с┴ АС. 4. Пусть АС┴ с, А^,С┴ с (по определ. перпендикуляра к плоскости), значит по Т13 имеем, что прямая с┴ β, значит по определению с┴ СВ. чтд.

Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство: Пусть - плоскость, b - перпендикулярная ей прямая, - плоскость проходящая через прямую b, и с - прямая по которой пересекаются плоскости и. Докажем, что плоскости и перпендикулярны.

Проведем в плоскости через точку пересечения прямой b с плоскостью прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и b плоскость. Она перпендикулярна прямой с, так как прямые а и b перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. Теорема доказана.

Трехгранный угол. Теорема о свойстве плоских углов многогранного угла.

Трехгранный угол – это фигура состоящая из 3 плоских углов. Точка S-вершина угла, a, b, c-ребра. Углы между прямыми ab; bc; ac-это плоские углы трехгранного угла.

Теорема 20. Величина каждого плоского угла, трехгранного угла меньше суммы величин двух других его плоских углов.

Теорема 20. Сумма величин всех трех плоских углов трехгранного угла меньше 360⁰.

Теорема о сумме плоских углов многогранника.

Теорема 20. Сумма величин всех трех плоских углов трехгранного угла меньше 360⁰.

Призма. Ее элементы.

Призма – это многогранник, образованный двумя параллельными плоскостями соединенными параллельными отрезками.

Элементы призмы.

Высота призмы – расстояние между плоскостями оснований. Диагональ призмы (CF₁; BE₁; BF₁) – отрезок соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональное сечение (FCC₁F₁) – сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра не принадлежащие одной грани.

1. Основания (ABCDEF, А₁В₁С₁В₁Е₁А₁)

2. Ребра оснований (АВ, ВС, СD, DE, EF, A₁D₁, D₁C₁, C₁D₁, D₁E₁, E₁F₁)

3. Боковые ребра (AA₁, FF₁, EE₁, DD₁, CC₁, BB₁)

4. Боковые грани (параллелограммы) (ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DEE₁D₁, EFF₁E₁, AFF₁A₁)

Виды призм.

1. n-угольная призма (треугольная, четырехугольная).

2. Пряма призма-это призма у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, иначе призма наклонная.

3. Прямая призма называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник.

Sполн=Sбок + Sосн.

Боковой поверхностью призмы называют сумму площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и двух площадей оснований.

Теорема 23. Боковая поверхность правильной (прямой) призмы равна произведению периметра основания на высоту, т.е. длину бокового ребра.

Виды пирамиды.

1. n-угольная пирамида (треугольная, четырехугольная)

2. Правильная пирамида-это пирамида в основании которой лежит правильный многоугольник и ее вершина проектируется в центр данного многоугольника.

Апофема-высота боковой грани правильной пирамиды. (SK)

Теорема27. Плоскость параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее отсекает подобную пирамиду.

Sполн=Sбок+Sосн.

Теорема 28. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Правильные многогранники.

Многогранником называется тело ограниченное конечным числом плоскостей. Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону каждой из ограниченных его плоскостей.

Элементы многогранника.

1. Вершины (точки)

2. Ребра (отрезки)

3. Грани (плоскости)

Многогранник называется правильным если его грани являются правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одинаковое число ребер.

Существует 5 видов многогранников:

1. Тетраэдр - грани правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.

2. Куб – все грани квадраты; в каждой вершине сходятся по три ребра. Куб представляет собой треугольный параллелепипед с равными ребрами.

3. У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.

4. У додекаэдра грани - правильные пятиугольники.

5. У икосаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.

Теорема 22. Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника с числом вершин β, числом граней Г и числом ребер Р выполняется следующие равенство: В+Г-Р=2.

Для тетраэдра В=4, Г=4, Р=6. Имеем: 4+4-6=2. Для куба В=8, Г=6, Р=12. Имеем 8+6-12=2. Для октаэдра В=6, Г=8, Р=12. Имеем: 6+8-12=2. Для додекаэдра В=20, Г=12, Р=30. Имеем: 20+12-30=2. Для икосаэдра В=12, Г=20, Р=30. Имеем: 12+20-30=2.

Объем шара и его частей.

V= ПR³