Перпендикуляр и наклонная. Свойства перпендикуляра и наклонной проведенных из одной точки.

1. Перпендикуляром (АВ) опущенным из данной точки на плоскость, называют отрезок соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащей на прямой перпендикулярной этой плоскости. Точка В называется основанием перпендикуляра.

2. Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра опущенного из этой т очки на плоскость.

3. Наклонной проведенной из данной точки к плоскости называют любой отрезок не перпендикулярный плоскости, соединяющий данную точку с плоскостью (АС; АС1). Точки С и С1 называют основаниями наклонных.

4. Отрезок на плоскости соединяющий основание перпендикуляра (В) с основанием наклонной (АС, АС1) проведенных из одной точки называется проекцией наклонной на плоскость (ВС, ВС1).

Свойства наклонных и проекций.

1. Длина перпендикуляра к плоскости меньше длины любой наклонной к плоскости. (АВ< АС; АВ< АС1)

2. Большей наклонной соответствует большая проекция. Если АС1< АС, то ВС1> ВС.

3. Длины наклонных равны тогда и только тогда, когда равны длины их проекций.

 

Теорема о трех перпендикулярах.

Теорема 16. Прямая проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярна ее проекции перпендикулярна и самой наклонной.

Обратная теорема. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

Дано: АВ┴ α; АС-наклонная. С∈ с. Доказать: 1. с┴ АС; 2.с┴ ВС. Доказательство: 1.А^, С┴ α; А^, С| |АВ (по Т15). 2. β: АВ∈ β; А^, С∈ β (по определению параллельных прямых). 3. Пусть СВ ┴ с, А^, С┴ с (по определению перпендикуляра к плоскости), значит по Т13 имеем, что прямая С┴ β, значит по определению с┴ АС. 4. Пусть АС┴ с, А^, С┴ с (по определ. перпендикуляра к плоскости), значит по Т13 имеем, что прямая с┴ β, значит по определению с┴ СВ. чтд.

 

Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство: Пусть - плоскость, b - перпендикулярная ей прямая, - плоскость проходящая через прямую b, и с - прямая по которой пересекаются плоскости и. Докажем, что плоскости и перпендикулярны.

Проведем в плоскости через точку пересечения прямой b с плоскостью прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и b плоскость. Она перпендикулярна прямой с, так как прямые а и b перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. Теорема доказана.

 

Признак скрещивающихся прямых. Взаимное расположение прямых.

2 прямые не лежащие в одной плоскости могут: пересекаться, быть параллельными, совпадать. Две прямые лежащие в одной плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Если прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются, то они будут параллельными.

Теорема 3. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой и притом только одну. Дано: а; А; А∉ а. Доказать: ∃! а1: А∈ а₁, а₁| |а. Доказательство: 1. По Т1 ∃! α: А∈ α; а∈ α. 2. А∈ а₁, а₁| |а (по аксиоме планиметрии о том, что через точку к заданной прямой можно провести параллельную прямую и притом только одну). 3. Пусть ∃ а₂: А∈ а₂, а₂| |а, тогда через прямые а и а₂ проведем плоскость α, но по Т1 эта плоскость проходит через а и А, значит а₁ и а₂ совпадут, а₁-единственная. чтд.

Теорема 4. Признак параллельности прямых (теорема о транзитивности). Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу. Дано: а, в, с. а| |в, а| |с. Доказать: в| |с. Доказательство: 1. β: а∈ β; в∈ β. 2. α: а∈ α; С∈ α. 3. В∈ в (по акстоме С1). 4. По Т1 ∃! α: С∈ α ₁; В∈ α _1. 5. Т.к. В∈ β, В∈ α ₁, то по аксиоме С2 ∃ в: в∈ β; в∈ α ₁; В∈ в.

 

Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности плоскостей.

Параллельность двух плоскостей. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признаки параллельности плоскостей. Теорема 7. Если плоскость параллельна двум пересекающимся прямым лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Дано: α; β; а∈ β; в∈ β; а| |α; в| |α; А∈ а; А∈ в. Доказать: α | |β. Доказательство: 1. Пусть α не параллельна β, тогда ∃ С: С∈ α; С∈ β. 2. Тк а| |α и в| |α, имеем а| |с и в| |с (Т5). 3. Тк а| |с и в| |с то Т4 (о транзитивности) имеем а| |в, но по условию а не параллельна в, значит наше предположение не верно α | |β. чтд.

Теорема 8. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Если А∈ а; А∈ в; а∈ β; в∈ β; А₁∈ а₁; А₁∈ в₁; а₁∈ α; в₁∈ α; а| |а₁; в| |в₁, то α | |β.

 

Угол между плоскостями. Двугранный угол.

Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой с.

Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

Другими словами, в плоскости α мы провели прямую а, перпендикулярную с. В плоскости β — прямую b, также перпендикулярную с. Угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми а и b.

Двугранный угол – это угол образованный двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Угол между прямыми а и б называют линейным углом двугранного угла.

 

Трехгранный угол. Теорема о свойстве плоских углов многогранного угла.

Трехгранный угол – это фигура состоящая из 3 плоских углов. Точка S-вершина угла, a, b, c-ребра. Углы между прямыми ab; bc; ac-это плоские углы трехгранного угла.

Теорема 20. Величина каждого плоского угла, трехгранного угла меньше суммы величин двух других его плоских углов.

Теорема 20. Сумма величин всех трех плоских углов трехгранного угла меньше 360⁰.

Теорема о сумме плоских углов многогранника.

Теорема 20. Сумма величин всех трех плоских углов трехгранного угла меньше 360⁰.

 

Призма. Ее элементы.

Призма – это многогранник, образованный двумя параллельными плоскостями соединенными параллельными отрезками.

Элементы призмы.

Высота призмы – расстояние между плоскостями оснований. Диагональ призмы (CF₁; BE₁; BF₁) – отрезок соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональное сечение (FCC₁F₁) – сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра не принадлежащие одной грани.

1. Основания (ABCDEF, А₁В₁С₁В₁Е₁А₁)

2. Ребра оснований (АВ, ВС, СD, DE, EF, A₁D₁, D₁C₁, C₁D₁, D₁E₁, E₁F₁)

3. Боковые ребра (AA₁, FF₁, EE₁, DD₁, CC₁, BB₁)

4. Боковые грани (параллелограммы) (ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DEE₁D₁, EFF₁E₁, AFF₁A₁)

Виды призм.

1. n-угольная призма (треугольная, четырехугольная).

2. Пряма призма-это призма у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, иначе призма наклонная.

3. Прямая призма называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник.

Sполн=Sбок + Sосн.

Боковой поверхностью призмы называют сумму площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и двух площадей оснований.

Теорема 23. Боковая поверхность правильной (прямой) призмы равна произведению периметра основания на высоту, т.е. длину бокового ребра.

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: