Уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение прямой, проходящей через две точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂), имеет вид:

=

Угол между прямыми

Угол между прямыми с угловыми коэффициентами k1 и k2 определяется формулой:

=

+ Если прямые заданы общими уравнениями, то тангенс угла между ними определяется по формуле: =

Вопрос 6

Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору и проходящей через данную точку. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельной двум неколлинеарным векторам. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Уравнение плоскости в отрезках.

Общее уравнение плоскости.

Уравнение любой плоскости, перпендикулярной вектору {A, B, C}≠ 0, имеет вид:

Ax+By+Cz+D=0

(хотя бы одно из чисел A, B или C не равно нулю). Сам вектор наз. нормальным по отношению к этой плоскости.

2. Уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору N{A, B, C}:

A(x-x_M)+B(y-y_M)+C(z-z_M)=0.

3. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M и параллельной двум неколлинеарным векторам

 

0

4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М, А, В:

= 0

5. Угол между двумя плоскостями.

Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями к этим плоскостям:

=

6. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

а) условие параллельности двух плоскостей:

Две плоскости α ₁ и α ₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей. Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, следовательно, или .Т.е.

7. Уравнение плоскости в отрезках. Плоскость отсекает на координатных осях " отрезки" x₁, y_1, z₁. Коэффициенты x₁, y_1, z₁ (≠ 0) определяют на координатных осях точки, через которые проходит плоскость:

+ + = 1

Вопрос 7.

Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Прямая как линия пересечения двух плоскостей (общие уравнения прямой). Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

 

Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве.

Пусть N(x, y, z) — произвольная точка пространства. Построим вектор MN = {x − x₀, y − y₀, z − z₀} (рис.1).

Очевидно, что точка N принадлежит прямой тогда и только тогда, когда вектор MN коллинеарен вектору {m; n; p}, т.е. когда их координаты пропорциональны:

= = (1)

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Одна или две координаты направляющего вектора прямой могут быть равны нулю, это означает, что числитель соответствующей дроби тоже равен нулю.Если в (1) ввести параметр t

= = = t

то уравнения прямой можно записать в виде

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Прямая как линия пересечения двух плоскостей (общие уравнения прямой).

При условии, что две плоскости непараллельные, т.е их нормальные векторы неколлинеарные.

 

Угол между двумя прямыми в пространстве.

Углом между двумя прямыми в пространстве называют любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными из одной точки, параллельно данным прямым. Если прямые параллельны, то угол между ними считается равным 0 или .

Пусть даны уравнения двух прямых:

= = и = =

Обозначим угол между прямыми через , а угол между их направляющими векторами и – через . При этом = . Так как , или = то cos = cos .

Следовательно, cos = или в координатной форме:

cos =

Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

Для того, чтобы две прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы их направляющие векторы и были коллинеарны, т.е. соответствующие координаты векторов и были пропорциональны:

= = – условие параллельности

Для того, чтобы прямые были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их направляющие векторы и были ортогональны:

m1m2+n1n2+p1p2=0 – условие перпендикулярности

 

 

Вопрос 8.

Точка пересечения прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

1234Следующая ⇒

Поделиться: