Формула Ньютона-Лейбница вычисления определенного интеграла

Замена переменной под знаком определенного интеграла.

Пусть f(z) - непрерывная функция, заданная на промежутке [p, q], а φ (x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], имеющая там непрерывную же производную φ '(x) и удовлетворяющая неравенству p ≤ φ (x) ≤ q.

В таком случае

(1)

Формула (1) выражает собой правило замены переменной в определенном интеграле.

3. По частям:

Вопрос 18.

Геометрические приложения определенного интеграла (вычисление длины дуги плоской кривой, вычисление площади плоской фигуры, вычисление объема тела вращения.

Площадь трапеции

Значение (с точностью до знака) есть площадь криволинейной трапеции, заключенной между графиком функции , осью абсцисс и прямыми , . В частности, если на отрезке заданы две функции и , причем , то площадь криволинейной трапеции, заключенной между графиками этих двух функций, равна .

Длина дуги

Пусть известна функция и требуется найти длину дуги, заданной функцией , где .

Для определения длины дуги необходимо вычислить определенный интеграл:

Объем тела вращение

 

Вопрос 19.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (общие понятия; сходимость и расходимость). Несобственные интегралы от неограниченных функций (общие понятия; сходимость и расходимость)

Несобственный интеграл с бесконечными пределами

Будем предполагать, что функция f(x) непрерывна на полупрямой а≤ x< +∞, тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b], где b> a и, следовательно, существует интеграл

Этот интеграл является функцией своего верхнего предела , определенной на промежутке a≤ b< +∞. Если при b→ +∞ F(b) стремится к конечному пределу, то этот предел обозначают и называют несобственным интегралом по бесконечному промежутку (от а до бесконечности) от функции f(x). Таким образом, по определению

если этот предел существует и конечен. В этом случае принято говорить, что несобственный интеграл существует или сходится. В противном случае: если предел не существует или предел бесконечен, то символу никакого числового смысла не приписывают и, называя его снова несобственным интегралом, говорят, что этот несобственный интеграл не существует или расходится.

Аналогичным образом для функции f(x), непрерывной на полупрямой -∞ < x≤ b, определяется несобственный интеграл

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть теперь функция f(x) задана на полуинтервале [a, b). Точку b будем называть особой, если функция f(x) не ограничена на [a, b), но ограничена на любом [a; b-α ]⊂ [a, b).

Будем также предполагать, что на любом таком сегменте функция f(x) интегрируема.

В наших предположениях на [a; b-α ] задана функция аргумента α

Исследуем вопрос о правом предельном значении функции F(x) в точке α =0, то

есть вопрос о существовании предела:

При этом для обозначения этого выражения будем использовать обозначение:

В дальнейшем этот символ будем называть несобственным интегралом второго рода от функции f(x) по полуинтервалу [a; b). Если указанный предел существует, интеграл будем называть сходящимся, если предел не существует или равен ∞, то интеграл будем называть расходящимся.

Аналогично для функции f(x), непрерывной на полуинтервале (a; b] и неограниченной вблизи а, вводится понятие несобственного интеграла

Полагают, что , если этот предел существует и конечен.

Несобственный интеграл от функции f(x), непрерывной на интервале (a; b) и неограниченной вблизи его концов а и b, определяется равенством:

где с – любая точка интервала (a; b), если каждый из несобственных интегралов и сходится. При этом несобственный называется сходящимся, его величина не зависит от выбора числа с. Если хотя бы один из интегралов и расходится, то несобственный интеграл называют расходящимся.

 

Вопрос 20.

Понятие функции 2-х переменных. Дифференцируемость функции 2-х переменных. Частные производные высших порядков функции 2-х переменных.

 

1. Частной производной функции по переменной в точке называется предел

.

Аналогично определяются частные производные по и по . При дифференцировании по одной переменной все остальные считаются постоянными.

Графиком функции двух переменных является поверхность в трехмерном пространстве.

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: