Точка пересечения прямой и плоскости.

Будем считать, что плоскость задана точкой и двумя векторами и Прямая в пространстве задана двумя точками и . Если точка является точкой пересечения плоскости и прямой , то ее координаты должны удовлетворять уравнению . С другой стороны, точка принадлежит прямой : . Подставив в уравнение принадлежности точки к плоскости получим следующее: . Откуда следует, что:

(1.1).
Отметим, что значком мы обозначаем векторное произведение, значком - скалярное произведение двух векторов, а значком - мы обозначаем произведение двух скалярных величин или произведение скаляра на вектор или матрицу.

2. Углом между прямой и плоскостью называется любой из смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Пусть дано уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0 и уравнение прямой l: = = , нормальный вектор плоскости, ={m; n; p} – направляющий вектор прямой.

Обозначим угол между векторами и через , а угол между плоскостью и прямой - через . Найдем cos :

cos =

 

При этом sin = cos , значит sin = или в координатной форме:

 

sin =

 

 

Вопрос 9.

Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Первый и второй замечательные пределы

 

Предел функции.

Число bназывается пределом функции y=f(x) в точке a(b= ), если для любой последовательности соответствующая последовательность сходится к числу b.

2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Функция f(x) называется бесконечно малой в точке а (при x→ a), если = 0.

Функция f(x) называется бесконечно большой при x→ a, если = ∞.

Арифметические операции над функциями.

Теорема. Пусть = а и = b, где a и b - числа, тогда:

± )=a±b

) = a b

= (b≠ 0)

Доказательство?!?!

Первый и второй замечательный пределы.

Первый зам. предел:

= = =1

Замена сомножителей на эквивалентные:

sin x x

ln (x+1) x при x .

tgx x

e^x x

Две функции эквивалентны при x a, если =1

Второй зам. предел:

= = e, где е – основание натурального логарифма. ёё

 

Вопрос 10.

Непрерывность функции в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями. Точки разрыва функции и их классификация.

 

1. Непрерывность функции в точке. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=a, если предел функции в этой точке равен значению ф-ии в этой точке:

=f (a)

2. Арифметические операции над непрерывными функциями. Пусть f(x) и g(x) заданы на множестве {x}. Если эти функции непрерывны в т. х=а, то функции f(x)±g(x), f(x)·g(x), непрерывны в точке х=а.

Доказательство?! (доказывается с помощью пределов:

± )= ±

) =

= ( ≠ 0) )

3. Точки разрыва функции и их классификация. Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке.

а) устранимый разрыв: точка а называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x), если существует , но в т. а f(x) либо не определена, либо f(a) ≠ .

Пример: f(x) =

 

Точка х = 0 – точка устранимого разрыва.

б) разрыв первого рода

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

· Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;

· Эти односторонние пределы конечны.

·

Пример: f(x) = , точка а = 0 – точка разрыва первого рода

в) разрыв второго рода

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример: f(x) = , точка а = 0, функция бесконечно большая при х , следовательно – точка а - точка разрыва второго рода

Вопрос 11.

Понятие производной. Физический и геометрический смысл производной. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций. Производные основных элементарных функций. Дифференцирование сложной функции. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой

1. Производная функции – есть предел отношения приращения ф-ии f(х)-f(x₀) к приращению её аргумента ( x-x₀ ) при условии, что последнее стремится к 0.

f^'’ (x)=

2. Геометрический смысл:

а) s- секущая, k – касательная, s|| k

= – тангенс угла наклона касательной

Физический смысл:

Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени

Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени

Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: