I. Элементы векторной алгебры

УДК 51(075.8)(076)

З-15

Составитель Н. А. Смирнова, старший преподаватель кафедры «Высшая математика» Рецензент Н. В. Ракита, доцент кафедры «Высшая математика» Рекомендовано к изданию на заседании кафедры ВМ 11.11.2008 г. Задания по математике в тестовой форме для организации самостоятельной работы: учеб.-метод. пособие. Часть I. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2008. − 28 с. Методическое пособие разработано для использования при самоподготовке студентов к экзамену по дисциплине «высшая математика». Приведены задания в различных формах: открытой, закрытой и на установление соответствия. В конце издания указаны ответы. Пособие предназначено для студентов первого курса очной и заочной форм обучения инженерно-технических направлений ИжГТУ. УДК 51(075.8)(076)

© Издательство ИжГТУ, 2008

I. Элементы векторной алгебры

1. Найти скалярное произведение векторов a и b, а ={1; 1; 5}, b ={3; 5; − 8}.

2. Найти векторное произведение векторов а и b, а ={1; 1; 5}, b ={3; 5; 8}.

3. Выбрать пару коллинеарных векторов:

а) а ={1: }, b ={ };

б) а ={2; }, b ={2; };

в) а ={4; 6; }, b ={ };

г) а ={0; 1; 1}, b ={1; 0; 0}.

4. Выбрать пару перпендикулярных векторов:

а) а = {1; }, b = {3; 5; };

б) а = {1; }, b ={4; 9; 1};

в) а ={0; 1; 0}, b ={1; 0; };

г) а ={2; 7}, b ={ }.

5. Выбрать тройки компланарных векторов:

а) а = {1; }, b = {3; 5; }, с = {1; };

б) а ={1; }, b ={ }, с ={1 };

в) а ={1; 2; 3}, b ={4; 5; 6}, с ={7; 8; 11};

г) а ={1; 0; 0}, b ={0; 1; 0}, с ={0; 0; 1}.

6. Пусть m = 2а + 3b. Тогда, если а = {1; }; b = {2; }, то

а) = ;

б) =2;

в) = ;

г) 1, 5.

7. Найти модуль вектора , если А(12; ), В(16; 0; .

8. Найти направляющие косинусы для вектора а ={1; 2 }.

9. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b:

а ={1; }, b ={2; 0; }.

10. Вычислить площадь треугольника АВС, где А(1; 2; 0), В(3; 2; 1), С( 2; 1; 2).

11. Вычислить объем пирамиды АВСД, где А(5; 1; 4), В(1; 2; 1), С(3; 3; 4), Д(2; 2; 2).

12. Указать левую тройку векторов:

а) а ={ }, b ={ }, с ={1; };

б) а ={ }, b ={ }, с ={ };

в) а ={0; 3; 0}, b ={4; 0; 0}, с ={0; 0; 5}.

13. Выбрать утверждение, не соответствующее определению векторного произведения:

а) векторным произведением векторов а и b является вектор с, перпендикулярный векторам а и b;

б) = ;

в) векторным произведением векторов а и b является вектор с, коллинеарный векторам а и b;

г) векторы а, b, с образуют правую тройку.

14. Орт вектора по определению:

а) проекция вектора на ось ОХ;

б) направление вектора;

в) единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным;

г) любой вектор единичной длины.

15. Заданы векторы: а ={1; 1; 3}, b ={2; 2; 1}, с ={2; 2; 14}.

Разложить вектор с по базису а, b.

16. Выбрать правильный ответ.

Вектор а ={2; 5}повернули на 90° против часовой стрелки, его новые координаты:

а) { };

б) { };

в) {5; };

г) { }.

III. Аналитическая геометрия

1. Установить правильное соответствие:

а) y² = 8x;	1) гипербола;
б) x²+ y² + 8x − 4y + 29 = 0;	2) прямая;
в) x – y + 3 = 0;	3) парабола;
г) x² – y² =8.	4) эллипс.

2. Установить взаимное расположение прямых:

а) 3x + 5y – 9 = 0 и 10x − 6y + 4 = 0;

б) 2x + 5y – 2 = 0 и x + y + 4 = 0;

в) 2x + 3y = 8 и x+ y − 3 = 0;

г) 2/3 x – 3/4 y − 1 = 0 и 3/4 x + 2/3y + 2 = 0;

д) x + 8 = 0 и 2x – 3 = 0.

3. Найти направляющий вектор прямой

4. Указать вид уравнений прямой:

а)

б) ;

в)

г) y = 3x +2;

д) = 0;

е) = 1.

5. Найти площадь квадрата, если две его стороны лежат на прямых

5x – 12y – 65 = 0 и 5x – 12y + 26 = 0.

6. Найти нормальный вектор плоскости 4x + 2y – 11z + 18 = 0.

7. Плоскость задана тремя точками А (1; 0; − 1), В (2; 2; 3), С (0; − 3; 1). Записать ее уравнение.

8. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М (0; − 2; 0) перпендикулярно плоскости 2х − 3у + z + 6 = 0.

9. Найти расстояние от прямой 2x + y – 5 = 0 до начала координат.

10. На каком расстоянии от плоскости x + 2y – 2z − 9 = 0 находится точка М(3; 5; − 2)?

11. Какая поверхность задана уравнением:

а) = z;

б) + =1;

в) + =1;

г) + =1;

д) = z;

е) y²= 2px;

ж) + = 1.

12. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

а) x = ;

б) y = 3 ;

в) y = 2 ;

г) x =

13. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат. Парабола симметрична относительно оси ОХ и проходит через точку А (9; 6).

14. Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет:

а) гиперболы 16 = 144;

б) эллипса 9 25 = 225.

15. Определить, какие линии даны следующими уравнениями в полярных координатах:

а) ρ = ;

б) ρ = ;

в) ρ = ;

г) ρ = .

IV. Введение в анализ

1. Установить правильное соответствие:

а)	1) ограниченная последовательность;
б)	2) неограниченная последовательность;
в) 1, 2, 3, 4, …;	3) бесконечно малая;
г) 2, 4, 8, 16, ….	4) бесконечно большая.

2. Найти область определения функции:

а) y = + 1;

б) y = arccos ;

в) y = ;

г)y= lg (3x− 1) + 2lg (x+1).

3. Вычислить пределы:

a)	д)
б)	е)
в)	ж)
г)	з)

4. Выбрать все верные утверждения. Для функции y = arctg :

а) точка x = 4 является точкой разрыва I рода;

б) точка x = 4 является точкой разрыва II рода;

в) скачок функции в точке х = 4 равен π;

г) в точке х = 4 функция непрерывна.

5. Найти точки разрыва функций:

а) у = ;

б) y = ;

в) y =

6. Выбрать правильный ответ.

Функция y = непрерывна на промежутке:

а) (2; 5);

б) (4; 10);

в) (0; 7);

г) (− .

7. Установить правильное соответствие.

Бесконечно малые эквивалентны (при α → 0, β → ∞ ):

а) sin α;	1) α ;
б) tg α;	2) ;
в) − 1;	3) ;
г) ;	4) ;
д) 1− cos α;	5) ;
е)	6) α .
ж) ;
з) arcsin α;
и) − 1;
к) arctg α.
л) .

8. Вычислить:

б)

в)

г)

Ответы

I. Элементы векторной алгебры

1. − 42.

2. {

3. в).

4. б); в); г).

5. а); б).

6.а).

7. .

9. .

10. .

11. 4.

12. в).

13. в).

14. в).

15. с = − 6а + 4b.

16. а).

II. Элементы линейной алгебры

1. в).

2. б).

3. а), б), в), г).

4. б).

5. г).

6. 12.

7. а6; б3; в2; г5; д8; е1; з4.

8. а3; б2; в1.

9. Cистема совместна.

10. АС; ВС; СД; ДВ; СВ.

11. .

12. .

13. 2.

14. .

15.

16. г).

IV. Введение в анализ

1. а1; б3; в4; г2.

2. а) [ 2; 0) (0; 2]; б) [0; 4]; в)(− ∞; 0) г) ( ; ).

3. а) 2; б) ; г) ; в) 0; д) ; е) 8; ж) 2; з) e⁸.

4. а); в).

5. а) функция непрерывна; б) х = –2; х = –3 − точки разрыва II рода;

в) x = 4 – точка разрыва II рода.

6. а); г).

7. а1; б1; в1; г4; д2; е1; ж5; з1; и6; к1; л3.

8. а) ; б) 3; в) ; г) .

VII. Комплексные числа

1. а2; б3; в1.

2. б).

3. а) 3+ i; б) 4 + 3i; в) i.

4. 2¹⁵.

Список литературы

1. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – CПб.: Профессия, 2006.

2. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1977.

3. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. – В 2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. – 6-е изд. – М.: Мир и образование, 2007.

4. Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: учеб. пособие для втузов. – 17-е изд. – СПб.: Профессия, 2005.

5. Сборник задач по высшей математике. 1–й курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

6. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2004.

7. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1 / под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. – М.: Наука, 1986.

Задания по математике

в тестовой форме

для организации самостоятельной работы

Учебно-методическое пособие

Часть 1

Составитель Смирнова Наталья Анатольевна

В редакции составителя

Корректор Н. К. Швиндт

УДК 51(075.8)(076)

З-15

I. Элементы векторной алгебры

1. Найти скалярное произведение векторов a и b, а ={1; 1; 5}, b ={3; 5; − 8}.

2. Найти векторное произведение векторов а и b, а ={1; 1; 5}, b ={3; 5; 8}.

3. Выбрать пару коллинеарных векторов:

а) а ={1: }, b ={ };

б) а ={2; }, b ={2; };

в) а ={4; 6; }, b ={ };

г) а ={0; 1; 1}, b ={1; 0; 0}.

4. Выбрать пару перпендикулярных векторов:

а) а = {1; }, b = {3; 5; };

б) а = {1; }, b ={4; 9; 1};

в) а ={0; 1; 0}, b ={1; 0; };

г) а ={2; 7}, b ={ }.

5. Выбрать тройки компланарных векторов:

а) а = {1; }, b = {3; 5; }, с = {1; };

б) а ={1; }, b ={ }, с ={1 };

в) а ={1; 2; 3}, b ={4; 5; 6}, с ={7; 8; 11};

г) а ={1; 0; 0}, b ={0; 1; 0}, с ={0; 0; 1}.

6. Пусть m = 2а + 3b. Тогда, если а = {1; }; b = {2; }, то

а) = ;

б) =2;

в) = ;

г) 1, 5.

7. Найти модуль вектора , если А(12; ), В(16; 0; .

8. Найти направляющие косинусы для вектора а ={1; 2 }.

9. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b:

а ={1; }, b ={2; 0; }.

10. Вычислить площадь треугольника АВС, где А(1; 2; 0), В(3; 2; 1), С( 2; 1; 2).

11. Вычислить объем пирамиды АВСД, где А(5; 1; 4), В(1; 2; 1), С(3; 3; 4), Д(2; 2; 2).

12. Указать левую тройку векторов:

а) а ={ }, b ={ }, с ={1; };

б) а ={ }, b ={ }, с ={ };

в) а ={0; 3; 0}, b ={4; 0; 0}, с ={0; 0; 5}.

13. Выбрать утверждение, не соответствующее определению векторного произведения:

а) векторным произведением векторов а и b является вектор с, перпендикулярный векторам а и b;

б) = ;

в) векторным произведением векторов а и b является вектор с, коллинеарный векторам а и b;

г) векторы а, b, с образуют правую тройку.

14. Орт вектора по определению:

а) проекция вектора на ось ОХ;

б) направление вектора;

в) единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным;

г) любой вектор единичной длины.

15. Заданы векторы: а ={1; 1; 3}, b ={2; 2; 1}, с ={2; 2; 14}.

Разложить вектор с по базису а, b.

16. Выбрать правильный ответ.

Вектор а ={2; 5}повернули на 90° против часовой стрелки, его новые координаты:

а) { };

б) { };

в) {5; };

г) { }.

12 3 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 387; Нарушение авторского права страницы