V. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

 

1. Найти производную функции у:

 

а) у = (1 + 4x²)³;

б) у = sin²x;

в) у = x arcsin(ln x);

г) у = x² e^{− 2x};

д) у = ;

е) у = ln (x + ;

ж) у = x^sinx;

з) у = x^lnx;

и) y = ;

к)

л)

м) x³+ y³= sin(x− 2y);

н) =1.

2. Установить правильное соответствие:

 

a)	1)
б)	2) ;
в)	3) – sin x;
г)	4) ex;
д)	5) ;
е)	6) m xm-1;
ж)	7) cos x;
з)	8)
и)	9) −
к)	10)

 

3. Выбрать правильный ответ.

Уравнение касательной к параболе y² = 4x в точке M(1; 2) имеет вид:

 

а) y = − x + 3;

б) y = x + 1;

в) y = 2x + 1;

г) y = x +1.

 

4. Выбрать правильный ответ.

Уравнение нормали к кривой x² + 2x y² + 3y⁴ = 6 в точке В(1; − 1) имеет вид:

а) 4x + y – 3 = 0;

б) x – 4y – 5 = 0;

в) 4x – y – 3 = 0;

г) –x – 4y – 5 = 0.

 

5. Найти дифференциал функции:

а) y = arctg x;

б) y = .

 

6. Вычислить приближенно, используя дифференциал:

a) ;

б) ln 1, 02.

 

7. Найти дифференциал второго порядка для функций:

а) y =

б) y = .

 

8. Найти точки, в которых касательная к гиперболе y = параллельна прямой y = − x + 3.

9. Вычислить с применением правила Лопиталя:

a)

 

б)

 

в)

 

г)

 

 

10. Найти производную n-го порядка функции y:

 

а) y = sin x;

б)

 

1. Исследование функций и построение графиков

1.Установить правильное соответствие:

 

а) четная функция;	1) y = cos 8x;
б) периодическая функция;	2) y = x2 + 5x;
в) нечетная функция;	3) y = x2 + 2sinx;
г) функция не является ни четной, ни нечетной.	4) y = − 5 .

 

2. Найти обратную функцию для y = .

 

3. Какие из следующих функций являются монотонными:

а) y = c;

б) y = arctg x;

в) y = sin² x;

г) y =

д) y = ;

ж) y = – x² + 2x.

 

4. Выбрать правильный ответ.

Вертикальная асимптота графика функции у = :

а) x = 2;

б) y = 2;

в) x = − ;

г) x = – 2.

 

5. Выбрать правильный ответ.

Наклонная асимптота графика функции у = :

а) y = x + 2;

б) x = – 2;

в) y = x + 4;

г) y = x – 4.

 

6. В каких из перечисленных точек функция у = возрастает:

а) x = 3;

б) x = 1;

в) x = – 1;

г) x = 0, 5.

 

7. Найти точки перегиба функции y = (x + 1)²(x − 2).

 

8. Исследовать на экстремум функцию y = (x – 5)e^x.

 

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 3x – x² на отрезке [− 2; 3].

10. Функция f(x) = представлена в виде многочлена пятой степени относительнодвучлена x – 1:

 

= 1+ (x – 1) − ² + (x – 1)³ − (x – 1)⁴ + (x – 1)⁵+ R₅,

 

где R₅ = (x – 1)⁶, 1 < ξ < x. Найти А.

 

1. Комплексные числа

1.Установить правильное соответствие:

 

а) z = x + iy;	1) тригонометрическая форма;
б) z = riφ ;	2) алгебраическая форма;
в) z =(cos φ +isin φ ).	3) показательная форма.

 

2. На комплексной плоскости число z = − 1 + i расположено:

а) в I четверти;

б) во II четверти;

в) в III четверти;

г) в IV четверти.

 

3. Для чисел z₁ = − 1+2i и z₂ = 2− i вычислить:

а) сумму;

б) произведение;

в) частное.

 

4. Вычислить по формуле Муавра ( )¹⁵.

 

 

1. Интегральное исчисление функций одной переменной

 

1.Установить правильное соответствие:

 

а) ;	1) arcsin + C;
б) ;	2) − cos x + C;
в) ;	3) sin x+ C;
г) ;	4) ex + C;
д) ;	5) + С;
е) ;	6) ln + C;
ж) ;	7) – ln +C;
з) ;	8) ln + C;
и) ;	9) arctg + C;
к) ;	10) + C;
л) ;	11) + C;
м) ;	12) − ctg x+ C;
н) .	13) ln + C.

 

2. Вычислить:

 

а) ;	и) ;
б) x dx;	к) ;
в) dx;	л)
г) ;	м) dx;
д) ;	н) ;
е) ;	о) ;
ж) dx;	п) ;
з) dx;	р) .

 

3. Почему, не вычисляя интеграла dx, можно сказать, что он равен нулю?

4. Выбрать все правильные ответы.

Определенный интеграл применяется для нахождения:

а) объeма тела вращения;

б) площади плоской фигуры;

в) ускорения тела;

г) длины дуги кривой;

д) площади поверхности вращения;

е) работы переменной силы.

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у =sin x, у =cos x, x = 0.

6. Исследовать сходимость интегралов, сходящиеся вычислить:

 

а) ;

б) ;

в) ;

г)

 

7. Вычислить среднее значение y = + на отрезке [1; 4].

8. Вычислить длину дуги кривой от t = 0 до t = .

9. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями y² = x и x² = y.

 

10. Оценить интеграл .

 

IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. Найти область определения функций:

а) u = ;

б) u = arcsin (x + y);

в) u = y + .

 

2. Найти частные производные для функций:

а) u = x² + 2y² – 3xy ;

б) u = ;

в) z = ;

г) u = + ;

д) z = arctg .

3. Найти полный дифференциал функции z = arctg .

4. Найти , если z = , x = a cos t, y = a sin t.

 

5. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

z = x² – 2xy+ y²− x + 2y в точке М (1; 1; 1).

 

6. Вычислить приближенно с помощью дифференциала .

 

7. Выбрать правильный ответ.

Градиент функции z =x² + 3y² в точке А(1; 1) равен:

а) {1; 6};

б) 9;

в) {1; 8};

г) {− 1; 8}.

8. Найти экстремум функции z = x²+ xy+ y² 3x 6y.

 

9. Выбрать правильный ответ.

Наибольшее и наименьшее значения функции z = xy + x + y в квадрате, ограниченном прямыми x = 1, x = 2, y = 2, y = 3:

а) z_наим = 5; z_наиб = 11;

б) z_наим = 3; z_наиб = 5;

в) z_наим =5; z_наиб = 13;

г) z_наим = − 3; z_наиб = 4.

 

Ответы

I. Элементы векторной алгебры

1. − 42.

2. {

3. в).

4. б); в); г).

5. а); б).

6.а).

7. .

8.

 

9. .

10. .

11. 4.

12. в).

13. в).

14. в).

15. с = − 6а + 4b.

16. а).

II. Элементы линейной алгебры

1. в).

2. б).

3. а), б), в), г).

4. б).

5. г).

6. 12.

7. а6; б3; в2; г5; д8; е1; з4.

8. а3; б2; в1.

9. Cистема совместна.

10. АС; ВС; СД; ДВ; СВ.

 

11. .

 

12. .

13. 2.

14. .

15.

16. г).

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться: