Определители третьего порядка

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Метод подстановки.

1) Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например x, через коэффициенты и другое неизвестноеy:

x = ( c – by ) / a. (2)

2) Подставляем во второе уравнение вместо x :

d ( c – by ) / a + ey = f.

3) Решая последнее уравнение, находим y :

y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).

4) Подставляем это значение вместо y в выражение (2):

x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ).

Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.

1) Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на (– d ), а обе части 2-го уравнения на а и складываем их:

Отсюда получаем: y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).

2) Подставляем найденное для y значение в любое уравнение системы (1):

ax + b( af – cd ) / ( ae – bd ) = c.

3) Находим другое неизвестное: x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ).

Решение рациональных неравенств методом интервалов

Пример 1. Решить неравенство

В ответ запишите наибольшее целое решение неравенства.

Решение. Перенесем дробь из правой части в левую

Приводим к общему знаменателю дроби в левой части неравенства.
Общим знаменателем будет произведение знаменателей дробей:
(x - 1)(x - 7)(x - 2). Для приведения к общему знаменателю умножим числетель и знаменатель первой дроби на (х - 2), а числитель и знаменатель второй дроби умножим на (х - 1)(х - 7).

Выполним действия (раскроем скобки) в числителе левой части:

2(x - 4)(x - 2) - (x - 1)(x - 7) = 2(x² - 6x + 8) - (x² - 8x + 7) = 2x² - 12x + 16 - x² + 8x - 7 = x² - 4x + 9.

Дискриминант многочлена x² - 4x + 9 равен 4² - 4·9 = 16 - 36 = -20 < 0. Поэтому разложить на множители числитель дроби нельзя.

Найдем нули числителя и знаменателя. Для этого решим уравнения для каждого множителя в числителе и знаменателе левой части:

x² - 4x + 9 = 0, решений нет,

х - 1 = 0, х = 1,

x - 7 = 0, x = 7,

x - 2 = 0, x = 2.

Наносим нули на числовую ось в порядке возрастания. Они разбивают ось на четыре интервала. Для каждого интервала определим знак левой части.

Для определения знака достаточно выбрать любое число из интервала и подставить в левую часть неравенства. Например, из интервала (2; 7) выбираем число 3 и подставляем влеву часть неравенства в каждую из скобок:

x² - 4x + 9 > 0 (для всех значений х, так как дискримининтотрицателен);

x - 1 > 0 для х = 3,

х - 7 < 0 для х = 3,

х - 2 > 0 для х = 3.

Если число " минусов" (то есть отрицательных скобок) нечетно, то в итоге на интервале ставим " минус", если число " минусов" четно или они отсутствуют, то на интервале ставим знак " плюс". В нашем случае на интервале (2; 7) ставим " минус".

Обратите внимание, что точки на кривой являются " выколотыми" (пустые кружочки). Так отмечаются на оси нули знаменателя левой части.

Теперь проведем через указанные точки кривую знаков (делать это необязательно):

Выбираем те интервалы, где кривая знаков проходит под числовой осью (там где стоят " минусы" ): . Это и есть решение нашего неравенства.

Если бы знак неравенства будет другим ( ), то нужно выбирать интервалы, помеченные знаком " плюс".

Заметим, что число 7 не входит в решения системы (выколотая точка), поэтому самым большим целым числом входящим в множество решений будет число 6. Его и запишем в ответ задачи.

Ответ: 6.

Пример 2. Решить неравенство

В ответ запишите сумму всех целых решений неравенства.

Решение. Разложим числитель левой части неравенства на скобки.
Для этого найдем решения уравнения.

x² + 2x - 8 = 0,

x₁ = -4, x₂ = 2.

Мы получим разложение на множители

x² + 2x - 8 = (x - x₁)(x - x₂) = (x + 4)(x - 2).

Найдем нули числителя и знаменателя: x₁ = -4, x₂ = 2, x₃ = 0.

Нанесем эти числа на ось, при этом нули знаменателя будут выколотыми точками, а нули числителя нет.

Расставим знаки на каждом интервале, с учетом того, что x² всегда больше или равен нуля. В результате должно получиться то, что изображено на рисунке выше.

Поскольку знак неравенства , то мы выбираем те интервалы, над которыми стоит знак " -".

Записываем решение неравенства, при этом выколотые точки соответсвуют круглым скобкам, а закрашенные точки соответсвуют квадратным скобкам.

Целые решения неравенства: -4, -3, -2, -1, 1, 2.

Их сумма равна -7.

Ответ: -7.

Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x₀.

Число A называется пределом функции f(x) при x → x₀ (или в точке x₀), если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x, для которых 0 < |x − x₀| < δ , справедливо неравенство
|f(x) − A| < ε , т.е.

lim

x → x₀

f(x) = A Ü Þ " ε > 0 $ δ > 0: 0 < |x − x₀| < δ Þ |f(x) − A| < ε .

Используем понятие окрестности и учтем, что

0 < |x − x₀| < δ Ü Þ x Î

_δ (x₀ ) и |f(x) − A| < ε Ü Þ f(x) Î O_ε (A).

(Точка над символом окрестности указывает, что это проколотая окрестность.)

Теперь определение предела функции в точке можно представить в виде

lim

x → x₀

f(x) = A Ü Þ " ε > 0 $ δ > 0: x Î

_δ (x₀ ) Þ f(x) Î O_ε (A).

1. Арифметические свойства предела функции.
Пусть функции f и g определены на интервале ( a, b ), кроме быть может точки x₀. Если существует пределы

^{и ,}

то существуют пределы в левых частях равенств и имеют место эти равенства:

^a.
^б.

Эти свойства вытекают из определения Гейне предела функции и соответствующих свойств сходящихся последовательностей.

9. Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой сколь угодно малые изменения аргумента приводят к сколь угодно малым изменениям значения функции.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Функция f(x) непрерывна в точке , принадлежащей области определения функции, если для любой последовательности значений аргумента, принадлежащей области определения и сходящейся к точке , последовательность соответствующих значений функции сходится к f().

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

10.Произво́ дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́ рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Свойства производной

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

2. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций

3. Производная произведения

4. Производная дроби (производная частного)

5. Производная сложной функции

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

11. Производные основных элементарных функций

Производные тригонометрических функций

Производную определим с помощью определения производной и I замечательного предела:

Производная выводится с помощью формул приведения и производной функции .

Производные могут быть определены как производные частного. К примеру,

Производные обратных тригонометрических функций:

Основные правила дифференцирования.

Здесь мы выведем основные формулы, применяющиеся при нахождении производных - формулы для производных суммы, произведения, частного и т.д. Значение функции в точке х+Dx нам удобно будет представлять в виде у(х+Dx)= у(х)+ Dу= у(х)+ у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - БМ при Dх ®0, следующим из определения для приращения функции: Dу = у(х+Dx)- у(x).

Производная от обратно фунции

Пусть - дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале . Если в уравнении y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция , где - функция обратная данной.

Производная сложной функции

Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция (1)

имеет производную (по ) в точке и справедливо равенство

(2)

или

12.

Неопределенные интегралы

В дифференциальном исчислении основной операцией является нахождение производной заданной функции. Сущность здесь заключается в установлении скорости изменения этой функции по сравнению с аргументом.

Функция F (х) называется первообразной функцией для данной функции f(х) (или, короче, первообразной данной функции f(х)) на данном промежутке, если на этом промежутке

определёный

неопределёный

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал — подынтегральному выражению.
Действительно

По определению дифференциала имеем

Неопределенный интеграл от дифференциала функции f (x) равен функции f (x) с точностью до постоянного слагаемого, т. е.

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a, b], то

15. Геометрический смысл определенного интеграла

Если а < b, f(x) > = 0, то

т.е. определенный интеграл от функции у = f(x) по отрезку [а, b] равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у = f{x), слева и справа - отрезками прямых х = а, х = b, снизу — отрезком оси Ох (см. рис.).

Если а < b и f(x) < = 0, то

т. е. определенный интеграл от функции, принимающей неположительные значения, равен площади соответствующей криволинейной трапеции, взятой со знаком минус (см. рис.).

Если а < b и f(х) меняют знак на отрезке [а, b], то определенный интеграл равен алгебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций.

16.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями. 1. Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые. 2. Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются. 3. В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны). Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются. На рис. 26 прямая a лежит в плоскости

, а прямая с пересекает

в точке N. Прямые a и с — скрещивающиеся. Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой.

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

- прямые в пространстве, не лежащие в одной плоскости.

Углом между С. п. наз. любой из углов между двумя параллельными им прямыми, проходящими через произвольную точку пространства. Если а и b - направляющие векторы С. п., то косинус угла между С. п. выражается формулой

Общим перпендикуляром двух С. п. наз. прямая, пересекающая каждую из прямых и им перпендикулярная. Для любых двух С. п. существует единственный общий перпендикуляр. Уравнения (как линии пересечения двух нек-рых плоскостей) общего перпендикуляра к двум С. п. r=r₁+at₁ и r=r₂+bt₂ имеют вид

Расстоянием между С. п. наз. длина отрезка общего перпендикуляра к этим двум прямым, концы к-рого лежат на этих прямых (или расстояние между параллельными плоскостями, в к-рых лежат С. п.). Расстояние dмежду С. п. выражается формулой

Теорема

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Доказательство

Пусть α - плоскость, a – не лежащая в ней прямая и a1 – прямая в плоскости α, параллельная прямой a. Проведем плоскость α 1 через прямые a и a1. Плоскости α и α 1 пересекаются по прямой a1. Если бы прямая a пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой a1. Но это невозможно, так как прямые a и a1 параллельны. Следовательно, прямая a не пересекает плоскостью α, а значит, параллельна плоскости α. Теорема доказана.

Признак параллельности прямой и плоскости Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Теорема.Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

18. ПЛОСКОСТЕЙ

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны (рис. 333).

Действительно, согласно определению параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Наши прямые лежат в одной плоскости — секущей плоскости. Они не пересекаются, так как не пересекаются содержащие их параллельные плоскости.

Значит, прямые параллельны, что и требовалось доказать

Свойства

§ Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны

§ Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны

§ Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну

§ Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны

§ Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях

19.

20.

Если две прямые лежат в одной плоскости, угол между ними легко измерить — например, с помощью транспортира. А как измерить угол между прямой и плоскостью?

Пусть прямая пересекает плоскость, причем не под прямым, а под каким-то другим углом. Такая прямая называется наклонной.

Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на нашу плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получили проекцию наклонной на плоскость.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обратите внимание — в качестве угла между прямой и плоскостью мы выбираем острый угол.

Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Это определение. Но как же с ним работать? Как проверить, что данная прямая перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости? Ведь их там бесконечно много.

На практике применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

21.Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями.^[1]

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90 градусам.

§ Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

§ Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.

§ Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром: пары вертикальных углов равны, а сумма двух смежных углов равна 180°. Если один из четырех углов прямой, то три остальных также равны и прямые. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними прямой.

Теорема. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Пусть и - две плоскости такие, что проходит через прямую АВ, перпендикулярную к и пересекающуюся с ней в точке А (рис. 49). Докажем, что _|_ . Плоскости и пересекаются по некоторой прямой AC, причем AВ _|_ AC, т.к. AB _|_ . Проведем в плоскости прямую AD, перпендикулярную прямой АС.

Тогда угол BAD — линейный угол двугранного угла, образованного и . Но < ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.

22. Многогранником называется такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

1. любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.

Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника. Простейшими примерами многогранников являются выпуклые многогранники, то есть граница ограниченного подмножества евклидова пространства являющееся пересечением конечного числа полупространств.

Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник, для которого возможны следующие два варианта:

§ Плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся);

§ Части плоскости, ограниченные ломаными.

В первом случае мы получаем понятие звёздчатый многогранник. Во втором — многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником. Отсюда возникает третье определение многогранника, как самого геометрического тела

23.

Прямая призма

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Призма называется наклонной, если ее боковые ребра не перпендикулярны основаниям.
У прямой призмы грани – прямоугольники.

Призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.
Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей боковых граней.
Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований

Элементы призмы:
Точки — называются вершинами
Отрезки называются боковыми ребрами
Многоугольники и — называютсяоснованиями. Также основаниями называют сами плоскости и

24. Параллелепи́ пед (от греч. π α ρ ά λ λ ο ς — параллельный и греч. ε π ι π ε δ ο ν — плоскость) — призма, основанием которой служитпараллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

§ Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

§ Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

§ Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

§ Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трех граней этого параллелепипеда:

1.	S=2(S_a+S_b+S_c)=2(ab+ bc+ ac)

25. Пирамида и ее элементы

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Программа предназначена для расчета площади боковой поверхности правильной пирамиды.
Пирамида является многогранником, имеющим основание в виде многоугольника, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной.

Формула для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды:

где p - периметр основания (многоугольника ABCDE),
а - апофема (OS);

Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, которая проведена из её вершины.

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды, введите значения периметра пирамиды и апофемы, затем нажмите кнопку " ВЫЧИСЛИТЬ".Программа определит площадь боковой поверхности правильной пирамиды, значение которой может быть помещено в буфер обмена.

Усеченная пирамида

Усеченной пирамидой называется часть полной пирамиды, заключенная между основанием и параллельным ему сечением.
Сечение называют верхним основанием усеченной пирамиды, а основание полной пирамиды —нижним основанием усеченной пирамиды. (Основания подобны.) Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции. В усеченной пирамиде 3 n ребер, 2 n вершин, n + 2 грани, n (n - 3) диагонали. Расстояние между верхним и нижним основаниями — высота усеченной пирамиды (отрезок, отсеченный от высоты полной пирамиды).
Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее граней.
Объем усеченной пирамиды ( S и s - площади оснований, Н — высота )

26.

Телом вращения называется тело, образованное в результате вращения какой - либо линии вокруг прямой.

Прямой круговой цилиндр вписан в шар, если окружности его оснований лежат на сфере. Основания цилиндра являются малыми кругами шара, центр шара совпадает с серединой оси цилиндра. [2]

Прямой круговой цилиндр вписан в шар, если окружности его оснований лежат на сфере. Очевидно, центр шара лежит ни середине оси цилиндра. [3]

Объем всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

V=π r² h

Полная площадь поверхности цилиндра равна сумме боковой поверхности цилиндра и двойной площади основания цилиндра.

Формула для вычисления полной площади поверхности цилиндра:

27. Круглый конус может быть получен вращениемпрямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называют также конусом вращения. См. также Объем круглого конуса

Полная площадь поверхности круглого конуса равна сумме площадей боковой поверхности конуса и его основания. Основание конуса есть круг и его площадь вычисляется по формуле площади круга:

2.	S=π r l+π r²=π r (r+ l)

28.Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом. См. также Объем усеченного конуса

Полная площадь поверхности усеченного конуса равна сумме площадей боковой поверхности усеченного конуса и его оснований. Основания усеченного конуса есть круги и их площадь вычисляется поформуле площади круга: S=π (r₁²+(r₁+ r₂) l+ r₂²)

29. Шар – геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара.

Сфе́ ра (греч. σ φ α ῖ ρ α — мяч) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара.

Площадь сферической поверхности шарового сегмента (шарового сектора) и шарового слоя зависит только от их высоты и радиуса шара и равна длине окружности большого круга шара, умноженной на высоту

Объем шара равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и поверхность шара, а высота есть радиус шара

Объем шара в полтора раза меньше, чем объем описанного вокруг него цилиндра.

Элементы шара

Шаровой сегмент Секущая плоскость разбивает шар на два шаровых сегмента. Н — высота сегмента, 0 < Н < 2 R, r — радиус основания сегмента, Объем шарового сегмента Площадь сферической поверхностишарового сегмента
Шаровой слой Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными сечениями. Расстояние (Н) между сечениями называется высотой слоя, а сами сечения — основаниями слоя. Площадь сферической поверхности(объем) шарового слоя может быть найдена как разность площадей сферических поверхностей (объемов)шаровых сегментов.

30. Понятие вектора Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором. Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления. Нулевой вектор обозначается символом

10.1

1. Умножение вектора на число (рис. 56).

рис. 56

Произведением вектора А на число λ называется вектор В, модуль которого равен произведению модуля вектора А на модуль числа λ:

направление не изменяется, если λ > 0; изменяется на противоположное, если λ < 0. Если λ = − 1, то вектор

называется вектором, противоположным вектору А, и обозначается

2. Сложение векторов. Для того чтобы найти сумму двух векторов А и В вектор

Тогда суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец − с концом второго. Это правило сложения векторов называется «правилом треугольника» (рис. 57). необходимо изобразить векторы-слагаемые так, чтобы начало второго вектора совпадало с концом первого.

рис. 57

Легко доказать, что для векторов «от перемены мест слагаемых сумма не изменяется».
Укажем еще одно правило сложения векторов − «правило параллелограмма». Если совместить начала векторов-слагаемых и построить на них параллелограмм, то суммой будет вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма (рис. 58).

рис. 58

12 3 4 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 361; Нарушение авторского права страницы