Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными

Рассмотрим систему неравенств

предполагая, что , . Тогда неравенству удовлетворяют точки множества , лежащие по одну сторону от прямой , заданной уравнением .

Аналогично множество - одна из полуплоскостей, на которые разбивается координатная плоскость прямой , заданной уравнением .

Множество решений системы , представляет собой пересечение множеств и .

Аналогично решаются системы неравенств, получаемых из системы , заменой одного или двух знаков неравенств на противоположные.

Если пересекающиеся в точке прямые и (рис. 1) задаются соответственно уравнениями

и , то неравенство определяет либо объединение одной пары и вертикальных углов с вершиной (рис. 1), либо объединение другой пары и вертикальных углов с той же вершиной.

В самом деле, во всех точках каждого из множеств , , , левая часть неравенства принимает либо положительные, либо отрицательные значения, а при переходе от одного из этих множеств к соседним (через одну из прямых , ) знак левой части этого неравенства меняется на противоположный.

Если, например, на множестве левая часть неравенства положительна, то на множествах и она будет отрицательной, а на - положительной.

Чтобы определить, на каком из двух множеств или справедливо неравенство , достаточно определить знак левой части этого неравенства в какой-либо точке одного из множеств , , , .

7.Бесконечные последовательности

Функция f (n), определенная на множестве натуральных чисел, образует последовательность действительных чисел. Значения a_n = f (n), которые принимает эта функция, называются членами последовательности. Множество значений a_n = f (n) обозначается как {a_n}. Числовая последовательность {a_n} имеет предел L, если для каждого ε > 0 существует натуральное числоN > 0, такое, что при всех n ≥ N выполняется неравенство

. В этом случае мы записываем

Числовая последовательность {a_n} имеет предел ∞, если для любого положительного числа M существует натуральное число N > 0, такое, что для всех n ≥ N справедливо неравенство a_n > M. В этом случае используется обозначение

Если предел

существует и L конечно, то говорят, что числовая последовательность сходится. В противном случае последовательность расходится. Теорема " о двух милиционерах" : Предположим, что

и {c_n} является последовательностью, такой что

для всех n > N, где N − натуральное число. Тогда

Последовательность {a_n} является ограниченной, если существует такое число M > 0, что |a_n| ≤ M для любого значения n. Если числовая последовательность сходится, то она ограничена. Любая неограниченная последовательность расходится. Последовательность {a_n} называется монотонно возрастающей, если a_n ≤ a_n+₁ для всех n ≥ 1. Аналогично, последовательность {a_n} называется монотонно убывающей, если a_n ≥ a_n+₁ для всех n ≥ 1. Последовательность {a_n} называется монотонной, если она монотонно возрастает или монотонно убывает.

8.Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому,

предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.

Понятие предела последовательности вещественных чисел формулируется совсем просто, а в случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x₀.

Число A называется пределом функции f(x) при x → x₀ (или в точке x₀), если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x, для которых 0 < |x − x₀| < δ , справедливо неравенство
|f(x) − A| < ε , т.е.

lim

x → x₀

f(x) = A Ü Þ " ε > 0 $ δ > 0: 0 < |x − x₀| < δ Þ |f(x) − A| < ε .

Используем понятие окрестности и учтем, что

0 < |x − x₀| < δ Ü Þ x Î

_δ (x₀ ) и |f(x) − A| < ε Ü Þ f(x) Î O_ε (A).

(Точка над символом окрестности указывает, что это проколотая окрестность.)

Теперь определение предела функции в точке можно представить в виде

lim

x → x₀

f(x) = A Ü Þ " ε > 0 $ δ > 0: x Î

_δ (x₀ ) Þ f(x) Î O_ε (A).

1. Арифметические свойства предела функции.
Пусть функции f и g определены на интервале ( a, b ), кроме быть может точки x₀. Если существует пределы

^{и ,}

то существуют пределы в левых частях равенств и имеют место эти равенства:

^a.
^б.

Эти свойства вытекают из определения Гейне предела функции и соответствующих свойств сходящихся последовательностей.

9. Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой сколь угодно малые изменения аргумента приводят к сколь угодно малым изменениям значения функции.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Функция f(x) непрерывна в точке , принадлежащей области определения функции, если для любой последовательности значений аргумента, принадлежащей области определения и сходящейся к точке , последовательность соответствующих значений функции сходится к f().

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

10.Произво́ дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́ рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Свойства производной

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

2. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций

3. Производная произведения

4. Производная дроби (производная частного)

5. Производная сложной функции

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

11. Производные основных элементарных функций

Производные тригонометрических функций

Производную определим с помощью определения производной и I замечательного предела:

Производная выводится с помощью формул приведения и производной функции .

Производные могут быть определены как производные частного. К примеру,

Производные обратных тригонометрических функций:

Основные правила дифференцирования.

Здесь мы выведем основные формулы, применяющиеся при нахождении производных - формулы для производных суммы, произведения, частного и т.д. Значение функции в точке х+Dx нам удобно будет представлять в виде у(х+Dx)= у(х)+ Dу= у(х)+ у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - БМ при Dх ®0, следующим из определения для приращения функции: Dу = у(х+Dx)- у(x).

Производная от обратно фунции

Пусть - дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале . Если в уравнении y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция , где - функция обратная данной.