Производная постоянной величины.

Предел функции в точке.

Пусть функция f(x) определена на множестве X = {x}, имеющем точку сгущения a. Запись

(1)

обозначает, что для каждого числа ε > 0 существует число δ = δ (ε ) > 0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 < |x - a|< δ, справедливо неравенство

|f(x) – A| < ε.

Для существования предела функции (1) необходимо и достаточно, чтобы для каждой последовательности x_n → a, x_n ≠ a (x_n є X; n = 1, 2, …), было выполнено равенство

Имеют место два замечательных предела:

1) , 2) .

Критерий Коши. Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0 найдется δ = δ (ε ) > 0 такое, что

|f(x’) – f(x’’)| < ε,

Как только 0< |x’ - a|< δ и 0< |x’’ - a|< δ, где x’ и x’’ – любые точки из области определения функции f(x).

билет 10:
Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.
(последний вопрос(вроде))Правило Бернулли[1]-Лопита́ ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и бесконечность/бесконечность. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
билет 12:

Свойства пределов функции Пусть XÌ ¡, x0 – точка прикосновения множества X. Справедливы следующие свойства пределов функций. Свойство. Если функции…. И…… таковы, что….., то найдётся проколотая окрестность точки x0, на пересечении которой с множеством X выполнено неравенство f(x) < g(x).Определение бесконечно малых и бесконечно больших функций Все рассматриваемые в этом и следующем пункте функции будем предполагать определёнными на множестве XÌ ¡ и рассматривать их конечные и бесконечные пределы при стремлении аргумента к конечной или к бесконечно удалённой точке x0. Взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциямиКлассификация бесконечно малых функций Во многих случаях представляет интерес сравнение бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. Рассмотрим две бесконечно малые a(x) и b(x) при x®x0 и предположим, что b(x) не обращается в ноль в некоторой проколотой окрестности точки x0. Будем сравнивать эти бесконечно малые, изучая поведение их отношения при x®x0.Классификация бесконечно больших функций Для бесконечно больших величин может быть развита та же классификация. Точки непрерывности и точки разрыва функцииТочки разрыва функции и их классификация Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой этой точки. Точка x0 называется точкой разрыва функции f, если функция f не определена в точке x0 или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.Критерий существования предела функции Существование предела монотонной функции Вопрос о существовании предела функции особенно просто решается для функций частного типа, представляющих обобщение понятия монотонной последовательности.Критерий Коши существования предела функции В настоящем пункте по аналогии со случаем последовательностей будет получено необходимое и достаточное условие того, что функция имеет конечный предел в данной точке x0.Предел и непрерывность композиции функции Рассмотрим вопрос о существовании конечных и бесконечных пределов композиции функций, каждая из которых имеет соответствующий предел. Можно показать, что все рассмотренные ранее элементарные функции и их суперпозиции непрерывны на области их определения. Свойства функций, непрерывность на отрезке Предел всякой подпоследовательности последовательности, имеющей конечный или бесконечный предел, равен пределу всей последовательностиПромежуточные значения непрерывных на отрезке функций Теорема (теорема Больцано–Коши). Непрерывность на отрезке Функция f, определённая на числовом множестве X, называется строго возрастающей (строго убывающей), если для любых двух чисел x1Î X и x2Î X таких, что x1< x2, выполняется неравенство f(x1)< f(x2) (соответственно f(x1)> f(x2)). Функция, строго возрастающая или строго убывающая, называется строго монотонной. В силу леммы 6, функция однозначная и строго возрастает на отрезке Равномерная непрерывность.

Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х0, если (на листочке1) Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x0 – 0, x → x0 + 0.Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке ε – δ: функция f (x) называется бесконечно малой в точке х = х0, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ (ε ) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х – x0 | < δ, выполняется неравенство | f (x) | < ε. Или в символьном виде ( ε > 0) ( δ = δ (ε ) > 0)( 0 < |х – х0| < δ ): | f (x) | < ε. Имеет место следующая теорема: функция f (x) в окрестности точки х0 отличается от своего предельного значения A на бесконечно малую функцию. Доказательство. Пусть (на листочке 2) Рассмотрим разность f (x) – А = α (х). Так как (на листочке 3) то функция α (х) является бесконечно малой при x → х0.Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x0 (или x → x0), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ (K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х0 | < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К. В этом случае пишут (на листочке 4) и говорят, что функция стремится к бесконечности при х → х0, или что она имеет бесконечный предел в точке х = х0. Если же в определении выполняется неравенство f (x) > K (f (x) < – K), то пишут(на листочке 5) или (на листочке 6)и говорят, что функция имеет в точке х0 бесконечный предел, равный + ∞ (– ∞ ). По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и бесконечные односторонние пределы: (на листочке 7)Так, например, пишут (на листочке 8) если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ (K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию х0 < x < х0 + δ , выполняется неравенство f (x) > К. Или в символической записи ( K > 0) ( δ = δ (K)> 0)( x0 < х < x0+δ ): f (x) > K.

Билет13:

билет 14:
Произво́ дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́ рованием. Обратный процесс — интегрирование

Билет15:

ЭЛАСТИЧНОСТЬ ФУНКЦИИ (иногда ее называют относительной производной) — предел отношения относительного приращения функции y (зависимой переменной)… к относительному приращению независимой переменной x ….когда Δ x и Δ y→ 0 обозначается символом Ex(y) и выражается следующей формулой: ……Э. ф. является, таким образом, мерой реагирования одной переменной величины на изменения другой, и из практических соображений ее в ряде экономико-математических моделей интерпретируют как приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%

билет 16:

основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́ рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Билет 17:

Производная суммы функций.

Пусть f(x) и g(x) являются дифференцируемыми функциями. Тогда сумма двух функций также дифференцируема и

Пусть n функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) являются дифференцируемыми. Тогда их сумма также дифференцируема и

Из этого и предыдущего правил следует, что производная разности функций равна разности производных при условии дифференцируемости данных функций:

Можно сформулировать более общее правило:

Интеграл от константы