Интеграл, сводящийся к натуральному логарифму

 

Билет31Интегральная сумма– сумма, через предел которой вводится определённый интеграл.Интегральные суммы бывают разного вида, наиболее известными являются интегральные суммы Римана и интегральные суммы Лебега. Если действительная функция f(x) одного переменного x определена на отрезке [a, b], который разбит точками , и заданы точки k=1, …, n, то интегральной суммой (Римана) называется где k=1, …, n. Интеграл Римана определяется через предел таких интегральных сумм и может с помощью них вычисляться приближённо. Используя интегральные суммы указанного вида и другие понятия предела можно получить и ещё некоторые интегралы (например, интеграл Курцвейля-Хенстока). Понятие интегральных сумм Римана можно ввести и для функций нескольких переменных. Вместе с интегральными суммами Римана часто используются верхняя и нижняя суммы Дарбу, где Суммы Дарбу – точная верхняя и точная нижняя грани интегральных сумм Римана.

Если действительная функция f(x) одного переменного x определена на отрезке [a, b] и принимает значения из полуотрезка [A, B), который разбит точками и заданы точки k=1, …, n, то интегральной суммой Лебега называется где множество а – мера Лебега множества введённое А. Лебегом обобщение понятия длины. Интеграл Лебега от ограниченных функций определяется через предел таких интегральных сумм и может с помощью них вычисляться приближённо. Для неограниченных функций можно разбивать точками всю ось OY и аналогично вводить бесконечные интегральные суммы Лебега.Понятие интегральных сумм Лебега можно ввести и для функций нескольких переменных.Определённый интегралОпределённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).Данное выше определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к привычному пониманию определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке.

Пусть f(x) определена на [a; b]. Разобьём [a; b]на части с несколькими произвольными точками a = x₀ < x₁ < x₂ < x_n = b Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка [a; b] Далее выберем произв. точку , i = 0, Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b]называется предел интегральных сумм Θ _R при , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек ξ _i, т.е. (1) Если существует (1), то функция f(x) называется интегрируемой на [a; b] – определение интеграла по Риману.

• 
• a – нижний предел.
• b – верхний предел.
• f(x) – подынтегральная функция.
• λ _R - длина частичного отрезка.
• σ _R – интегральная сумма от функции f(x) на [a; b] соответствующей разбиению R.
• λ _R - максимальная длина част. отрезка.

Определение интеграла на языке , δ: (по " Коши" ) Число I – называется определённым интегралом от f(x) на [ a; b ], если для любого ε > 0 существует δ =δ (ε )> 0: для любого разбиения R отрезка [ a; b ]: λ _R < δ, выполняется неравенство: |I- σ _R | = |∑ ^n-1_i=0f(ξ i) Δ xi - I| < ε при любом ξ i є [ xi; xi+1] Тогда I = ∫ _a^bf(x)dx

 

Билет 32:

 

Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.

Если функция интегрируема на [ a; b ], то она интегрируема на любом отрезке

Для любых a, b и c

Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f ( x ) и g ( x ) и любой постоянной A

Если f ( x ) и g ( x ) интегрируемы на [ a; b ], то f ( x ) · g ( x ) также интегрируема на этом отрезке.

Если f ( x ) – периодическая функция с периодом T, то для любого a

Для определенных интегралов верны также следующие оценки (предполагается, что функции f и g интегрируемы на [ a; b ]).

Если f ( x ) ≥ g ( x ), то
В частности, если f ( x ) ≥ 0, то

Если f ( x ) ≥ 0 для любого и существует такое, что причем f ( x ) непрерывна в то

| f ( x )| интегрируема на [ a; b ], причем

Если на отрезке [ a; b ] m ≤ f ( x ) ≤ M, то

Билет34:

Пусть f (x) произвольная непрерывная на отрезке [a, b] функция и пусть F (x) какая-нибудь её первообразная. Разобьём отрезок [a, b] на n частей и составим разность F ( b ) - F ( a )значений первообразной на концах интервала [a, b]. Эта разность равна сумме разностей, составленных для каждого отрезка разбиения, ……….. По теореме Лагранжа о " конечном приращении" имеем …………. поэтому …………. Это равенство является точным при любом разбиении отрезка [a, b], но оно справедливо лишь при определённом выборе на каждом отрезке разбиения точек c1 < c2 < … < cn, которые предписывается теоремой Лагранжа. Если размеры всех отрезков разбиения а = х0, x1], [х1, x2], …, [х n - 1, b] будут становиться всё меньше и меньше, то сумма ………… будет являться суммой возрастающего числа стремящихся к нулю слагаемых. Если равенство …………. верно всегда, то оно верно и в пределе: ………… Полученное равенство замечательно тем, что оно справедливо не только при каком-то частном выборе точек c1 < c2 < … < cn по одной на отрезках деления [а = х0, x1], [х1, x2], …, [х n - 1, b] как это предписывается теоремой Лагранжа, но при всяком выборе точек ξ 1 < ξ 2, < … < ξ n по одной на отрезках деления [а = х0, x1], [х1, x2], …, [хn - 1, b]: ………….. Последнее соотношение является замечательным правилом суммирования бесконечно малых, открытых Лейбницем и Ньютоном: для отыскания предела суммы бесконечно малых ………….. когда все отрезки, на которые разбит отрезок [a, b], безгранично умаляются, необходимо выполнить два действия: 1) постараться отыскать конечным образом какую-нибудь первообразную F(х) для функции f (x); 2) найдя первообразную F(х), составить разность F(b) - F(a) её значений на концах основного отрезка [a, b]. Эта разность и есть искомый предел. Сопоставляя это правило с определением определённого интеграла, получим формулу Ньютона—Лейбница ………………………..

 

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться: